今日は連立方程式の応用の典型問題、「速さ」、「食塩水」、「去年と今年の増減」について、どのように解いたら確実に、やさしく解けるのか、考えてみましょう。
速さの問題
例題１
ある人がＡ地から峠をこえて２.７km離れたＢ地に向かった。Ａ地から峠までは分速５０m、峠からＢ地までは分速７０mで歩いて、全体で４６分かかった。Ａ地から峠までと、峠からＢ地までの道のりをそれぞれ求めよ。
問題の最後の部分を見て、Ａ地から峠までをx、峠からＢ地までをyと決めます。
ここで単位を意識してください。問題を見直すと、２.７km、５０m、７０mとあります。mをkmになおしてもよいのですが、素直に２.７kmをmにするほうが簡単なようです。ですから、x、yの単位はxm、ymです。
数学の鉄則、「単位をそろえないと計算できない」も、ここで再確認しておきましょう。
次に式を作ります。
「日本語の１つの文を素直に１つの式に置き換えていけばよい」から、
合わせて２.７km＝２７００mより
x＋y＝２７００
「全体で４６分かかった」から、全体＝４６、
４６は分だから、左辺も時間（分）を求める式にすればよい。
時間＝距離÷速さより
x／５０＋y／７０＝４６ （／は分数の横棒）
とわかれば、これで式は完成です。
速さの問題と思っただけで頭が痛くなる人は、図を書くことをおすすめします。
速さの問題では、左の土偶の顔のような図を書きます。
コツは、横棒の上に距離、下に速さと時間を書くくせをつけることです。
そうすると、横棒の上だけで一つ目の式、x＋y＝２７００ができます。
次に、横棒は分数の横棒と思ってよいので、それをそのまま使って、x／５０＋y／７０＝４６ともう一つの式も簡単に導き出せます。
式ができたので解いていきましょう。
２番目の式の両辺に分母５０と７０の最小公倍数３５０をかけて７x＋５y＝１６１００としてから計算します（右辺にかけることを忘れて４６のままで計算しないようにご注意を）。
形算すると、答えはx＝１３００、y＝１４００となり、問題の解答は、Ａから峠までが１３００m、峠からＢまでが１４００mです。
類題１
Ａさんは８時に家を出発して、１２００m離れた駅に向かった。はじめは毎分５０mの速さで歩いていたが、列車に遅れそうだったので、途中から毎分２００mの速さで走ったら、駅には８時１８分に着いた。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めよ。
式
x＋y＝１２００
x／５０＋y／２００＝１８
答え
歩いた道のり８００m、走った道のり４００m
食塩水の問題
例題２
２％の食塩水xｇと５％の食塩水をyｇ混ぜて、４％の食塩水を３００ｇつくりたい。２種類の食塩水をそれぞれ何ｇ混ぜればよいか。
食塩水の問題では、最初に言葉の意味をはっきりさせておかなければなりません。
「２％の食塩水xｇ」とは、xｇの食塩水があってそのうちの２％がその中に溶けている食塩の量だという意味です。ですから、「４％の食塩水を３００ｇ」だと、食塩水全体が３００ｇでそのうちの４％、つまり３００×０.０４＝１２ｇが３００ｇの中に溶けてしまっている食塩の量だということになります。
式の立て方ですが、ここでも図を書いてそれを見て式を作るのがもっとも簡単な方法です。
左のように、食塩水を表す容器の上に％を、容器の中に食塩水のｇを書くように決めておきます。
まず、食塩水の量から、x＋y＝３００という式ができます。これは簡単ですね。
次に、中に溶けている食塩の量を表す式を作ります。
先ほど述べたように、２％の食塩中の食塩はxｇ×０.０２、５％の食塩水中の食塩はyｇ×０.０５、４％の食塩水３００ｇ中の食塩の量は３００×０.０４です。
したがって、式はx×０.０２＋y×０.０５＝３００×０.０４
つまり、０.０２x＋０.０５y＝３００×０.０４
または、０.０２x＋０.０５y＝１２
ということになります。
教科書だと２％を２／１００と分数にするものが多いようです。％が文字だと分数を使わないといけませんが、（例：a％＝a／１００）、私は小数が使えるときは小数のほうがよいと思っています。小数のほうが分数よりわかりやすく、計算間違いも少ないからです。
x＋y＝３００
０.０２x＋０.０５y＝１２
という式ができたので、下の式の両辺を１００倍して２x＋５y＝１２００にしてから解いていきます。
答えはx＝１００、y＝２００、問題の解答は２％の食塩水１００ｇ、５％の食塩水２００ｇです。
類題２
Ａ、Ｂ２種類の合金がある。Ａは銅を３０％含み、Ｂは銅を４５％含んでいる。この２種類の合金を混ぜて、銅を３５％含む合金を１２０ｇ作るには、それぞれ何ｇずつ混ぜればよいか。
式
x＋y＝１２０
０.３x＋０.４５y＝１２０×０.３５
解答
Ａが８０ｇ、Ｂが４０ｇ
去年と今年の増減の問題
例題３
ある中学校の昨年の生徒数は４２０人だった。今年は昨年に比べ、男子は８％増え、女子は５％減ったので、全体として５人増えている。今年の男子、女子の生徒数を求めよ。
この問題はある程度練習して注意点を覚えておく必要があります。
まず、普通は問題の終わりの部分を見て「求めなさい」と書いてあるものをx、yで表します。しかし、この問題では、問題文の終わりに書いてある「今年の男子、女子」をx、yとすると、解けないことはありませんが非常にややこしくなります。「去年・今年の問題」では、去年をx、yとしないと解けないと知っておく必要があります。
式を立てます。
まず、昨年の生徒数からx＋y＝４２０
２つ目の式ですが、２通りの方法が考えられます。
まず、「日本語の通りに文を素直に式になおしていく」だと、８％＝０.０８、増えたは＋、５％＝０.０５、減ったは−で、
０.０８x−０.０５y＝５
もう一つの式は、生徒数全体に着目して立てる式です。「８％増えた」は１＋０.０８で１.０８になったと考えます。「５％減った」は１−０.０５で０.９５です。
生徒数全体ですから右辺の「５人増えた」は４２０＋５＝４２５です。
１.０８x＋０.９５y＝４２５
前者の式のほうが計算は簡単ですが、式を立てるときの符号間違いが多かったり、答えで悩むという欠点があります。
後者の式は、式を立てるとき立てやすく、問題の解答との共通点もあってわかりやすいという長所があるかわりに計算がやや複雑になります。
どちらでもいいのですが、強いて言えば後者がおすすめでしょうか。
x＋y＝４２０
１.０８x＋０.９５y＝４２５
解くと、x＝２００、y＝２２０となります。
この問題は最後まで意地悪です。
この、２００人、２２０人を解答欄に書くと、「間違い」になってしまいます。
なぜかはわかりますね。最初に注意したように、x、yは去年の数であり、求めないといけないのは今年の数だからです。
今年、男子は８％増えたのだから２００×１.０８、女子は５％減ったのだから２２０×０.９５の計算を最後にしないと正解にはなりません。
解答は、男子２１６人、女子２０９人です。
ややこしいので、去年・今年の増減の問題の要点をもう一度まとめておきます。
１、去年をx、yとおかないと解けない
２、２つ目の式は２種類できる、どちらかを自分で選ぶ
３、計算の答えと問題の答えが一致しない、連立方程式を解いた後、しないといけない計算が残る
類題３
ある学校の今年の生徒数は３０８人である。これは昨年に比べて、男子は５％減少し、女子は４％増加したことになるが、全体では２人減少した。今年の男子、女子の人数をそれぞれ求めよ。
式
去年の男子をx、女子をyとする。
x＋y＝３０８＋２
０.９５x＋１.０４y＝３０８
解答
連立方程式を解くとx＝１６０、y＝１５０
今年の男子は１６０×０.９５＝152人、女子は１５０×１.０４＝１５６人
速さの問題
例題１
ある人がＡ地から峠をこえて２.７km離れたＢ地に向かった。Ａ地から峠までは分速５０m、峠からＢ地までは分速７０mで歩いて、全体で４６分かかった。Ａ地から峠までと、峠からＢ地までの道のりをそれぞれ求めよ。
問題の最後の部分を見て、Ａ地から峠までをx、峠からＢ地までをyと決めます。
ここで単位を意識してください。問題を見直すと、２.７km、５０m、７０mとあります。mをkmになおしてもよいのですが、素直に２.７kmをmにするほうが簡単なようです。ですから、x、yの単位はxm、ymです。
数学の鉄則、「単位をそろえないと計算できない」も、ここで再確認しておきましょう。
次に式を作ります。
「日本語の１つの文を素直に１つの式に置き換えていけばよい」から、
合わせて２.７km＝２７００mより
x＋y＝２７００
「全体で４６分かかった」から、全体＝４６、
４６は分だから、左辺も時間（分）を求める式にすればよい。
時間＝距離÷速さより
x／５０＋y／７０＝４６ （／は分数の横棒）
とわかれば、これで式は完成です。
速さの問題と思っただけで頭が痛くなる人は、図を書くことをおすすめします。
速さの問題では、左の土偶の顔のような図を書きます。コツは、横棒の上に距離、下に速さと時間を書くくせをつけることです。
そうすると、横棒の上だけで一つ目の式、x＋y＝２７００ができます。
次に、横棒は分数の横棒と思ってよいので、それをそのまま使って、x／５０＋y／７０＝４６ともう一つの式も簡単に導き出せます。
式ができたので解いていきましょう。
２番目の式の両辺に分母５０と７０の最小公倍数３５０をかけて７x＋５y＝１６１００としてから計算します（右辺にかけることを忘れて４６のままで計算しないようにご注意を）。
形算すると、答えはx＝１３００、y＝１４００となり、問題の解答は、Ａから峠までが１３００m、峠からＢまでが１４００mです。
類題１
Ａさんは８時に家を出発して、１２００m離れた駅に向かった。はじめは毎分５０mの速さで歩いていたが、列車に遅れそうだったので、途中から毎分２００mの速さで走ったら、駅には８時１８分に着いた。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めよ。
式
x＋y＝１２００x／５０＋y／２００＝１８
答え
歩いた道のり８００m、走った道のり４００m
食塩水の問題
例題２
２％の食塩水xｇと５％の食塩水をyｇ混ぜて、４％の食塩水を３００ｇつくりたい。２種類の食塩水をそれぞれ何ｇ混ぜればよいか。
食塩水の問題では、最初に言葉の意味をはっきりさせておかなければなりません。
「２％の食塩水xｇ」とは、xｇの食塩水があってそのうちの２％がその中に溶けている食塩の量だという意味です。ですから、「４％の食塩水を３００ｇ」だと、食塩水全体が３００ｇでそのうちの４％、つまり３００×０.０４＝１２ｇが３００ｇの中に溶けてしまっている食塩の量だということになります。
式の立て方ですが、ここでも図を書いてそれを見て式を作るのがもっとも簡単な方法です。
左のように、食塩水を表す容器の上に％を、容器の中に食塩水のｇを書くように決めておきます。まず、食塩水の量から、x＋y＝３００という式ができます。これは簡単ですね。
次に、中に溶けている食塩の量を表す式を作ります。
先ほど述べたように、２％の食塩中の食塩はxｇ×０.０２、５％の食塩水中の食塩はyｇ×０.０５、４％の食塩水３００ｇ中の食塩の量は３００×０.０４です。
したがって、式はx×０.０２＋y×０.０５＝３００×０.０４
つまり、０.０２x＋０.０５y＝３００×０.０４
または、０.０２x＋０.０５y＝１２
ということになります。
教科書だと２％を２／１００と分数にするものが多いようです。％が文字だと分数を使わないといけませんが、（例：a％＝a／１００）、私は小数が使えるときは小数のほうがよいと思っています。小数のほうが分数よりわかりやすく、計算間違いも少ないからです。
x＋y＝３００
０.０２x＋０.０５y＝１２
という式ができたので、下の式の両辺を１００倍して２x＋５y＝１２００にしてから解いていきます。
答えはx＝１００、y＝２００、問題の解答は２％の食塩水１００ｇ、５％の食塩水２００ｇです。
類題２
Ａ、Ｂ２種類の合金がある。Ａは銅を３０％含み、Ｂは銅を４５％含んでいる。この２種類の合金を混ぜて、銅を３５％含む合金を１２０ｇ作るには、それぞれ何ｇずつ混ぜればよいか。
式
x＋y＝１２０
０.３x＋０.４５y＝１２０×０.３５
解答
Ａが８０ｇ、Ｂが４０ｇ
去年と今年の増減の問題
例題３
ある中学校の昨年の生徒数は４２０人だった。今年は昨年に比べ、男子は８％増え、女子は５％減ったので、全体として５人増えている。今年の男子、女子の生徒数を求めよ。
この問題はある程度練習して注意点を覚えておく必要があります。
まず、普通は問題の終わりの部分を見て「求めなさい」と書いてあるものをx、yで表します。しかし、この問題では、問題文の終わりに書いてある「今年の男子、女子」をx、yとすると、解けないことはありませんが非常にややこしくなります。「去年・今年の問題」では、去年をx、yとしないと解けないと知っておく必要があります。
式を立てます。
まず、昨年の生徒数からx＋y＝４２０
２つ目の式ですが、２通りの方法が考えられます。
まず、「日本語の通りに文を素直に式になおしていく」だと、８％＝０.０８、増えたは＋、５％＝０.０５、減ったは−で、
０.０８x−０.０５y＝５
もう一つの式は、生徒数全体に着目して立てる式です。「８％増えた」は１＋０.０８で１.０８になったと考えます。「５％減った」は１−０.０５で０.９５です。
生徒数全体ですから右辺の「５人増えた」は４２０＋５＝４２５です。
１.０８x＋０.９５y＝４２５
前者の式のほうが計算は簡単ですが、式を立てるときの符号間違いが多かったり、答えで悩むという欠点があります。
後者の式は、式を立てるとき立てやすく、問題の解答との共通点もあってわかりやすいという長所があるかわりに計算がやや複雑になります。
どちらでもいいのですが、強いて言えば後者がおすすめでしょうか。
x＋y＝４２０
１.０８x＋０.９５y＝４２５
解くと、x＝２００、y＝２２０となります。
この問題は最後まで意地悪です。
この、２００人、２２０人を解答欄に書くと、「間違い」になってしまいます。
なぜかはわかりますね。最初に注意したように、x、yは去年の数であり、求めないといけないのは今年の数だからです。
今年、男子は８％増えたのだから２００×１.０８、女子は５％減ったのだから２２０×０.９５の計算を最後にしないと正解にはなりません。
解答は、男子２１６人、女子２０９人です。
ややこしいので、去年・今年の増減の問題の要点をもう一度まとめておきます。
１、去年をx、yとおかないと解けない
２、２つ目の式は２種類できる、どちらかを自分で選ぶ
３、計算の答えと問題の答えが一致しない、連立方程式を解いた後、しないといけない計算が残る
類題３
ある学校の今年の生徒数は３０８人である。これは昨年に比べて、男子は５％減少し、女子は４％増加したことになるが、全体では２人減少した。今年の男子、女子の人数をそれぞれ求めよ。
式
去年の男子をx、女子をyとする。
x＋y＝３０８＋２
０.９５x＋１.０４y＝３０８
解答
連立方程式を解くとx＝１６０、y＝１５０
今年の男子は１６０×０.９５＝152人、女子は１５０×１.０４＝１５６人
