私自身、いまだによく理解できていないのがニュートン算です。中学受験でたまに出題されますが、問題自体もわかりにくいし、こうやったら絶対解けるという秘策もつかめていません。小学生に教えるとき、中学入試の問題が解けないことはないけれども、その場その場の弥縫策で切り抜けているのが現状です。

ニュートン算は、中学校の数学ではあまり出てこない。ところがある年、地元の中学校の先生が、何を思ったかニュートン算を試験範囲にしました。中2の塾生に質問されたのですが、教える立場の辛いところで、「私もわからん」とは死んでも言えない。そこでまとめたのが以下の説明です。


例題1:ある井戸は一定の割合で水がわき出ています。毎分15ℓずつくみ上げると、水がなくなるのに50分かかり、毎分18ℓずつくみ上げると水がなくなるのに40分かかります。毎分23ℓずつくみ上げると何分で水はなくなりますか。

ポイント:中学生の場合、未知数をxやyとして等式を作り、方程式をたてて解くことを考える

この問題では、今すでにたまっている水の量をxℓ、毎分わき出てくる水の量をyℓとするとよい。
たまっている水(x)とわき出た水(y×分)の合計と、くみ出した水の量が等しいから、次のような等式を作ることができる。

まず、50分のほうで、x+50y=15×50
次に、40分のほうで、x+40y=18×40

この連立方程式を解くと、x=600ℓ、y=3ℓ

求めた、たまっている水の量600ℓ、1分にわき出てくる水の量3ℓを使って、毎分23ℓずつくみ上げるとa分で水がなくなるとして1次方程式をつくると、

600+3×a=23×a

この方程式を解くとa=30

答え30分


例題2:水そうに、栓を抜いたまま水を入れていきます。水を毎分30ℓずつ入れると48分、毎分40ℓずつ入れると32分で水そうがいっぱいになります。水は毎分何ℓずつ水そうから出ていますか。

この問題では、水そういっぱいの水の量をxℓ、毎分yℓずつ抜けるものとして連立方程式を立てる。

水そういっぱいの水の量と抜けていった水の量の和と、入れた水の量が等しいから次のような連立方程式を作ることができる。

x+48y=30×48
x+32y=40×32

この連立方程式を解くとx=960、y=10

答え10 ℓ


例題3:満水の状態になった水そうに一定の割合で水を入れていきます。この水そうの水をポンプ4台でくみ出すと36分、5台でくみ出すと28分かかります。ポンプ11台では何分かかりますか。

この問題では単位が難しい。
ポンプ1台で1分にくみ出す量を1として、最初に満水の状態で入っていた水の量をそのx倍、毎分、単位量1のy倍ずつ水を入れるとして方程式を立てる。

36分のとき、x+36y=4×36
28分のとき、x+28y=5×28

この方程式を解くとx=126、y=0.5
満水の状態の水の量がポンプ1台1分ぶんの126倍で、毎分0.5倍ずつ水を入れたことがわかる。

次に、ポンプ11台でa分くみ出すとすると
126+0.5a=11a

この方程式を解いてa=12

答え12分


例題4:ある牧草地には、1日に一定の割合で草がのびていて、牛が1頭ずつ同じ割合で草を食べています。25頭の牛では80日で食べつくし、40頭の牛では20日で食べつくします。30頭の牛では何日で牧草がなくなりますか。

牛1頭が1日に食べる草の量を1と決めてしまう。最初にもとからあった牧草の量をそのx倍、1日に伸びる牧草の量をy倍とする。

80日のほうで、x+80y=25×80
20日のほうで、x+20y=40×20
この連立方程式を解くとx=400、y=20

最初にあった牧草の量が400、1日に伸びる牧草の量が20であることがわかる。

次に30頭の牛がa日で食べつくすとして方程式を立てると、
400+20a=30×a

この方程式を解いてa=40

答え40日


ニュートン算のまとめ

1、もとからある量をx、一定の割合で増えたり減ったりする量をyとして方程式を立てる。

2、どの方程式も、x+日数(分)y=数字×日数(分)になっている。


余録:
例題1:ある井戸は一定の割合で水がわき出ています。毎分15ℓずつくみ上げると、水がなくなるのに50分かかり、毎分18ℓずつくみ上げると水がなくなるのに40分かかります。毎分23ℓずつくみ上げると何分で水はなくなりますか。

まず、50分のほうで、x+50y=15×50
次に、40分のほうで、x+40y=18×40

2つの連立方程式を、
(15−y)×50=x
(18−y)×40=x
と、変形できるので、
結局、(15−y)×50=(18−y)×40となります。

15−y:18−y=4:5とも置けるわけで、このあたりを突き詰めて追究すると中学受験の小学生に教える際に原理的なことを教えてあげられそうな気がするのですが、まだ解決策には到達できていません。
やはり、ニュートン算は苦手です。