ポイント１、式と座標を書き込め
問題文を読み直すようでは解けない。
座標が決め手、座標を書き込めば絶対に解ける。
ポイント２、「座標→式→座標」が最強の技
難しい問題は、この技１種類ですべて解ける。
例題１（放物線と面積）：放物線ｙ＝１／２ｘ2上に３点Ａ、Ｂ、Ｐがある。点Ａのｘ座標を−４、点Ｂのｘ座標を４、点Ｐのｘ座標をｔとする。また、直線ＡＰとｘ軸の交点をＱとし、図のようにそれぞれの点を線分で結ぶとき、次の問いに答えなさい。ただし、０＜ｘ＜４とする。
（１）△ＡＱＢの面積を求めなさい。
（２）△ＡＰＢの面積を文字ｔを用いて表しなさい。
（３）△ＰＱＢの面積を文字ｔを用いて表しなさい。
（４）△ＡＰＢ＝３△ＰＱＢとなるときのｔの値を求めなさい。
解き方
問題を解き始める前に、必ず式と座標をグラフに書き込んでおく。
放物線の式
にｘ＝−４、ｘ＝４、ｘ＝ｔを代入して、Ａ（−４,８）、Ｂ（４,８）、Ｐ（ｔ,１／２ｔ2)
（１）座標さえ書き込んでおけば、グラフを見たらすぐに解ける。
△ＡＱＢの、底辺はＡＢの長さ８、高さはｘ軸からＡＢまでの距離８、求める面積は８×８÷２＝３２
（２）グラフを見て、丁寧に解いていく。
△ＡＰＢの底辺はＡＢの８、高さはＡＢからｘ軸までの距離８からＰのｙ座標をひけばよいから８−１／２×ｔ2、よって面積は８×（８−１／２×ｔ2）÷２＝３２−２ｔ2
（３）三角形ＰＱＢの面積を直接求めようとするのは無謀、相当手間がかかる。何か工夫できないかを考える。
このとき、「応用問題は先に解いた問題を使って次の問題を解くように作ってある」の鉄則から、（１）、（２）を使って（３）を解くことがひらめくと非常に楽になる。
△ＰＱＢの面積は、（１）で求めた△ＡＱＢの面積から、（２）で求めた△ＡＰＢの面積をひけばよいだけ。
よって、３２−（３２−２ｔ2）＝２ｔ2
（４）やはり、（１）〜（３）を利用して解く。
（２）より、△ＡＰＢ＝３２−２ｔ2、（３）より△ＰＱＢ＝２ｔ2、
よって、
△ＡＰＢ＝３△ＰＱＢ
３２−２ｔ2＝３×２ｔ2
−８ｔ2＝−３２
ｔ2＝４
ｔ＝±２
０＜ｘ＜４より、ｔ＝２
例題２（面積の二等分）：図のように、放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝２ｘ＋３との交点をＡ、C、点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｙ＝ｘ2との点Ａ以外の交点をBとし、四角形ＡBCＤを平行四辺形とするとき、次の直線の式を求めよ。
（１）点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式
（２）原点Ｏを通り、平行四辺形ＡBCＤの面積を２等分する直線の式
解き方
問題を解き始める前に、必ず式と座標を書き込む。
この問題の場合、点Ａと点Cの座標を「交点＝連立方程式の解」により、先に求めておかなければならない。
点Ａ（−１,１）より、点Bの座標は（１,１）であることがわかる。
さらに、ＡBの長さが２だから、点Ｄの座標は点Cより左に２となり、（１,９）である。
こうして、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの座標をグラフ中に書き込んで準備完了。
（１）点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式
「面積を２等分」の問題の場合、三角形の面積を求めてそれを半分にする問題はきわめて例外。
面積を求めなくても、底辺の中点を通る直線で三角形の面積は２等分される。面積を二等分する直線の問題は、実は、「中点」を求める問題である。
重要：面積を二等分する問題は、中点を求める問題である
だから、この問題も、ＢとＣの中点を考えてそれをＭとし、点Ｍの座標を求めればよい。
では、中点の座標はどうやって求めればよいのか？
中点は、２つの点の真ん中、２つの点の平均であり、座標はｘ座標とｙ座標に分かれるから、それぞれの真ん中、平均を求める。つまり、中点のｘ座標は、２つの点Ｂ、Ｃのｘ座標の平均、（一方のｘ座標＋他方のｘ座標）÷２、ｙ座標も、（一方のｙ座標＋他方のｙ座標）÷２で求められる。
中点を求める公式より、点Ｍのｘ座標は、Ｂ、Ｃのｘ座標をたして２で割って（１＋３）÷２＝２、点Ｍのｙ座標は、Ｂ、Ｃのｙ座標をたして２で割って（１＋９）÷２＝５
ゆえに、Ｍ（２,５）となる。
Ｍの座標（２,５）を書き込むと、２等分する直線は、２点Ａ（−１,１）、Ｍ（２,５）を通る直線だから、この２点の座標を１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの式に代入して、
１＝−ａ＋ｂ
５＝２ａ＋ｂ
この連立方程式を解いて、ａ＝４／３、ｂ＝７／３
答えは、ｙ＝４／３ｘ＋７／３
（２）原点Ｏを通り、平行四辺形ＡＣＢＤの面積を２等分する直線の式
四角形の面積を２等分する直線にはどんな性質があるだろうか？
青い線が面積を２等分していることはわかりやすい。黄色でぬった三角形が合同であれば、黄色の三角形の面積は等しいから、赤い線も面積を２等分している。
また、中２の平行四辺形で学んだように、対角線は中点で交わっている。
黄色の三角形が合同のとき、青の線と赤の線は四角形の対角線の交点、すなわち中点で交わっていることになる。
言い換えれば、「四角形の対角線の中点を通る直線を引けば、四角形の面積を２等分する」。
三角形の面積の２等分の問題と同様、四角形の面積の２等分の問題も、中点を求める問題であったわけである。
この問題では、対角線ＡCの中点を求める。
Ａ（−１,１）、C（３,９）を中点を求める公式に代入して、中点（１,５）
原点を通る直線ｙ＝ａｘが点（１,５）を通るから、代入して、５＝ａ、
したがって、答えはｙ＝５ｘ
例題３（等積変形）：放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝ｘ＋２の交点をＡ、Ｂとする。△ＡＯＢと面積が等しい△ＡＰＢを考える。点Ｐが放物線上で点ＡとＢの間にあるとき、点Ｐの座標を求めよ。
解き方
面積の等しい図形を考える問題は、「等積変形」の問題と呼ばれます。
教科書では、中２の平行四辺形の単元の最後に出てきます。
図で、黒色の２本の直線が平行であれば、緑色で描いた三角形と青色で描いた三角形の面積は等しくなります（底辺が共通で、高さは等しくなるから）。
重要なのはその逆で、「面積を等しくしようと思えば、平行線を引けばよい」。
この問題でも、直線ＡＢと直線ＯＰが平行であれば、△ＡＯＢと△ＡＰＢの面積は等しいといえます。
さらに、この問題は関数の問題であり、グラフ上で「平行」とは、「直線の傾きが等しい」と読み替えなくてはいけません。
以上より、まず直線ＡＢと傾きが等しく原点Ｏを通る直線ＯＰの式を求め、最後に放物線と直線ＯＰの交点の座標を求める、という順序になります。
直線ＯＰの式
直線ｙ＝ｘ＋２と「平行＝傾きが等しい」から傾きは１、原点を通る比例のグラフだから切片は０。
よって、ｙ＝ｘ
放物線と直線ＯＰの交点
放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝ｘの連立方程式を解けばよい。
ｘ＝０,ｘ＝１
ｘ＝０は原点のことだからｘ＝１
もとの式に代入してｙ＝１
よって、Ｐ（１,１）
この等積変形の問題は、いろいろな応用問題で類題が出題されます。
問題文を読み直すようでは解けない。
座標が決め手、座標を書き込めば絶対に解ける。
ポイント２、「座標→式→座標」が最強の技
難しい問題は、この技１種類ですべて解ける。
例題１（放物線と面積）：放物線ｙ＝１／２ｘ2上に３点Ａ、Ｂ、Ｐがある。点Ａのｘ座標を−４、点Ｂのｘ座標を４、点Ｐのｘ座標をｔとする。また、直線ＡＰとｘ軸の交点をＱとし、図のようにそれぞれの点を線分で結ぶとき、次の問いに答えなさい。ただし、０＜ｘ＜４とする。
（１）△ＡＱＢの面積を求めなさい。
（２）△ＡＰＢの面積を文字ｔを用いて表しなさい。
（３）△ＰＱＢの面積を文字ｔを用いて表しなさい。
（４）△ＡＰＢ＝３△ＰＱＢとなるときのｔの値を求めなさい。
解き方
問題を解き始める前に、必ず式と座標をグラフに書き込んでおく。
放物線の式
にｘ＝−４、ｘ＝４、ｘ＝ｔを代入して、Ａ（−４,８）、Ｂ（４,８）、Ｐ（ｔ,１／２ｔ2)
（１）座標さえ書き込んでおけば、グラフを見たらすぐに解ける。
△ＡＱＢの、底辺はＡＢの長さ８、高さはｘ軸からＡＢまでの距離８、求める面積は８×８÷２＝３２
（２）グラフを見て、丁寧に解いていく。
△ＡＰＢの底辺はＡＢの８、高さはＡＢからｘ軸までの距離８からＰのｙ座標をひけばよいから８−１／２×ｔ2、よって面積は８×（８−１／２×ｔ2）÷２＝３２−２ｔ2
（３）三角形ＰＱＢの面積を直接求めようとするのは無謀、相当手間がかかる。何か工夫できないかを考える。
このとき、「応用問題は先に解いた問題を使って次の問題を解くように作ってある」の鉄則から、（１）、（２）を使って（３）を解くことがひらめくと非常に楽になる。
△ＰＱＢの面積は、（１）で求めた△ＡＱＢの面積から、（２）で求めた△ＡＰＢの面積をひけばよいだけ。
よって、３２−（３２−２ｔ2）＝２ｔ2
（４）やはり、（１）〜（３）を利用して解く。
（２）より、△ＡＰＢ＝３２−２ｔ2、（３）より△ＰＱＢ＝２ｔ2、
よって、
△ＡＰＢ＝３△ＰＱＢ
３２−２ｔ2＝３×２ｔ2
−８ｔ2＝−３２
ｔ2＝４
ｔ＝±２
０＜ｘ＜４より、ｔ＝２
例題２（面積の二等分）：図のように、放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝２ｘ＋３との交点をＡ、C、点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｙ＝ｘ2との点Ａ以外の交点をBとし、四角形ＡBCＤを平行四辺形とするとき、次の直線の式を求めよ。
（１）点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式
（２）原点Ｏを通り、平行四辺形ＡBCＤの面積を２等分する直線の式
解き方
問題を解き始める前に、必ず式と座標を書き込む。
この問題の場合、点Ａと点Cの座標を「交点＝連立方程式の解」により、先に求めておかなければならない。
点Ａ（−１,１）より、点Bの座標は（１,１）であることがわかる。
さらに、ＡBの長さが２だから、点Ｄの座標は点Cより左に２となり、（１,９）である。
こうして、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの座標をグラフ中に書き込んで準備完了。
（１）点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式
「面積を２等分」の問題の場合、三角形の面積を求めてそれを半分にする問題はきわめて例外。
面積を求めなくても、底辺の中点を通る直線で三角形の面積は２等分される。面積を二等分する直線の問題は、実は、「中点」を求める問題である。
重要：面積を二等分する問題は、中点を求める問題である
だから、この問題も、ＢとＣの中点を考えてそれをＭとし、点Ｍの座標を求めればよい。
では、中点の座標はどうやって求めればよいのか？
中点は、２つの点の真ん中、２つの点の平均であり、座標はｘ座標とｙ座標に分かれるから、それぞれの真ん中、平均を求める。つまり、中点のｘ座標は、２つの点Ｂ、Ｃのｘ座標の平均、（一方のｘ座標＋他方のｘ座標）÷２、ｙ座標も、（一方のｙ座標＋他方のｙ座標）÷２で求められる。
中点を求める公式より、点Ｍのｘ座標は、Ｂ、Ｃのｘ座標をたして２で割って（１＋３）÷２＝２、点Ｍのｙ座標は、Ｂ、Ｃのｙ座標をたして２で割って（１＋９）÷２＝５
ゆえに、Ｍ（２,５）となる。
Ｍの座標（２,５）を書き込むと、２等分する直線は、２点Ａ（−１,１）、Ｍ（２,５）を通る直線だから、この２点の座標を１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの式に代入して、
１＝−ａ＋ｂ
５＝２ａ＋ｂ
この連立方程式を解いて、ａ＝４／３、ｂ＝７／３
答えは、ｙ＝４／３ｘ＋７／３
（２）原点Ｏを通り、平行四辺形ＡＣＢＤの面積を２等分する直線の式
四角形の面積を２等分する直線にはどんな性質があるだろうか？
青い線が面積を２等分していることはわかりやすい。黄色でぬった三角形が合同であれば、黄色の三角形の面積は等しいから、赤い線も面積を２等分している。
また、中２の平行四辺形で学んだように、対角線は中点で交わっている。
黄色の三角形が合同のとき、青の線と赤の線は四角形の対角線の交点、すなわち中点で交わっていることになる。
言い換えれば、「四角形の対角線の中点を通る直線を引けば、四角形の面積を２等分する」。
三角形の面積の２等分の問題と同様、四角形の面積の２等分の問題も、中点を求める問題であったわけである。
この問題では、対角線ＡCの中点を求める。
Ａ（−１,１）、C（３,９）を中点を求める公式に代入して、中点（１,５）
原点を通る直線ｙ＝ａｘが点（１,５）を通るから、代入して、５＝ａ、
したがって、答えはｙ＝５ｘ
例題３（等積変形）：放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝ｘ＋２の交点をＡ、Ｂとする。△ＡＯＢと面積が等しい△ＡＰＢを考える。点Ｐが放物線上で点ＡとＢの間にあるとき、点Ｐの座標を求めよ。
解き方
面積の等しい図形を考える問題は、「等積変形」の問題と呼ばれます。
教科書では、中２の平行四辺形の単元の最後に出てきます。
図で、黒色の２本の直線が平行であれば、緑色で描いた三角形と青色で描いた三角形の面積は等しくなります（底辺が共通で、高さは等しくなるから）。
重要なのはその逆で、「面積を等しくしようと思えば、平行線を引けばよい」。
この問題でも、直線ＡＢと直線ＯＰが平行であれば、△ＡＯＢと△ＡＰＢの面積は等しいといえます。
さらに、この問題は関数の問題であり、グラフ上で「平行」とは、「直線の傾きが等しい」と読み替えなくてはいけません。
以上より、まず直線ＡＢと傾きが等しく原点Ｏを通る直線ＯＰの式を求め、最後に放物線と直線ＯＰの交点の座標を求める、という順序になります。
直線ＯＰの式
直線ｙ＝ｘ＋２と「平行＝傾きが等しい」から傾きは１、原点を通る比例のグラフだから切片は０。
よって、ｙ＝ｘ
放物線と直線ＯＰの交点
放物線ｙ＝ｘ2と直線ｙ＝ｘの連立方程式を解けばよい。
ｘ＝０,ｘ＝１
ｘ＝０は原点のことだからｘ＝１
もとの式に代入してｙ＝１
よって、Ｐ（１,１）
この等積変形の問題は、いろいろな応用問題で類題が出題されます。
読者に誤解を与えないように、かける×の記号を入れて修正しました。