中３の「２乗に比例（２次関数）」の単元で入試によく出る全問題（ａの値・直線の式・交点の座標・２点間の距離・変化の割合・変域・面積・面積の２等分・等積変形・回転体の体積・発展問題の基礎）を、出る順序にそってまとめてみました。これだけをしっかりと理解しておけば、２次関数の高校入試問題の全てをほぼカバーできます。
下の図のように、放物線ｙ＝ａｘ2と、傾き２の直線が、２点Ａ（−１,１）とＢで交わっている。次の各問いに答えなさい。
（１）ａの値を求めよ。
（２）直線の式を求めよ。
（３）交点Ｂの値を求めよ。
（４）２点ＡＢの距離を求めよ。
（５）ｘの値が−１から３まで変化するとき、それぞれの変化の割合を求めなさい。
（６）定義域（ｘの変域）が−１≦ｘ≦２のとき、値域（ｙの変域）をそれぞれについて求めなさい。
（７）△ＡＯＢの面積を求めなさい。
（８）点Ｏを通る直線で△ＡＯＢの面積を２等分するとき、その直線の式を求めなさい。
（９）△ＡＯＢの面積と△ＡＰＢの面積が等しくなるように放物線のＯＢ間に点Ｐをとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
（１０）直線とｘ軸との交点をＣとする。△ＢＣＯをｘ軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めなさい。
（１１）放物線上に点Ｑをとり、△ＱＣＯの面積と△ＡＯＢの面積が等しくなるようにしたい。点Ｑのｘ座標を求めなさい。
解き方
（１）ａの値
放物線は点Ａを通っています。点Ａが放物線上にあると言ってもよい。「通る」・「グラフ上にある」→「代入」せよ、ということです。
ｙ＝ａｘ2に（−１,１）、すなわちｘ＝−１、ｙ＝１を代入。
１＝１ａ
ａ＝１
（２）直線の式
傾きが２とわかっているので、直線の式をｙ＝２ｘ＋ｂとします。その直線が点Ａを「通る」から（−１,１）を代入。
１＝２×（−１）＋ｂ
１＝−２＋ｂ
−ｂ＝−３
ｂ＝３
（３）交点Ｂの座標
（１）と（２）より、放物線の式はｙ＝ｘ2、直線の式はｙ＝２ｘ＋３。この２式の連立方程式を解きます。
点Ｂ（３,９）が求められます。
（４）２点ＡＢ間の距離
斜めの線の長さは、三平方の定理を使って求めます。
三平方の定理を使いたいので直角三角形を書いて、
ｘ＝４√５
（５）変化の割合
２乗に比例ｙ＝ａｘ2の変化の割合は、「ｘをたしてａをかける」で求められる（その理由についてはこちらを参照）。
よって（−１＋３）×１より変化の割合は２
直線ｙ＝ａｘ＋ｂの変化の割合は、ｙ＝ａｘ＋ｂのａと一致する。
よってｙ＝２ｘ＋３の変化の割合は２
（６）変域
−１≦ｘ≦２の両端の数値、ｘ＝−１とｘ＝２をそれぞれの式に代入する。
放物線では、ｘ＝−１のときｙ＝１、ｘ＝２のときｙ＝４、ところが２乗に比例でｘの変域が負の数≦ｘ≦正の数のとき、ｘ＝０のときのｙ＝０が最小値になるから、答は０≦ｙ≦４
直線では、ｘ＝−１のときｙ＝１、ｘ＝２のときｙ＝７、１次関数ではこの答のままで、１≦ｙ≦７
（変域の求め方の違いについてはこちらを参照。）
（７）△ＡＯＢの面積
グラフ上で三角形の面積を求める方法は、３つある。
この問題では、ｙ軸で２分し、左の三角形と右の三角形を別々に求めて足すのが一番簡単。
ｙ軸の左の三角形は、３×１÷２＝３／２
ｙ軸の右の三角形は、３×３÷２＝９／２
よって、３／２＋９／２＝６
（８）面積を２等分する直線の式
点ＡＢの中点を求める（２等分と中点の関係についてはこちらを参照）。
中点の公式より
点ＡＢの中点は（１，５）
よって、原点を通る直線の式ｙ＝ａｘに（１，５）を代入してｙ＝５ｘ
（９）等積変形
面積が等しい→ｙ＝２ｘ＋３に平行（＝傾きが等しい）で、点Ｏを通る、直線の式ｙ＝２ｘと、放物線の交点の座標を求める（等積変形と平行の関係についてはこちらを参照）。
（１０）回転体の体積
先にＣの座標を求めないといけない。ｙ＝２ｘ＋３とｘ軸の交点だからｙ＝０を代入してｘ＝−３／２
求める回転体は下図のようになる。
底面の半径９、高さ３／２＋３の大きい円錐から、底面の半径９、高さ３の小さい円錐をくりぬけばよい。
９×９×π×９／２÷３−９×９×π×３÷３＝８１／２π
（１１）応用問題の基礎
（１）〜（１０）以外の応用問題は、ほとんどがたった１つの方法で解ける。
を使う。
求めたい点Ｑのｘ座標をｔとする。
点Ｑは放物線上にあるから、点Ｑのｙ座標はｔ２
△ＱＣＯの面積が△ＡＯＢの面積と等しい６となる。
下の図のように、放物線ｙ＝ａｘ2と、傾き２の直線が、２点Ａ（−１,１）とＢで交わっている。次の各問いに答えなさい。
（１）ａの値を求めよ。
（２）直線の式を求めよ。
（３）交点Ｂの値を求めよ。
（４）２点ＡＢの距離を求めよ。
（５）ｘの値が−１から３まで変化するとき、それぞれの変化の割合を求めなさい。
（６）定義域（ｘの変域）が−１≦ｘ≦２のとき、値域（ｙの変域）をそれぞれについて求めなさい。
（７）△ＡＯＢの面積を求めなさい。
（８）点Ｏを通る直線で△ＡＯＢの面積を２等分するとき、その直線の式を求めなさい。
（９）△ＡＯＢの面積と△ＡＰＢの面積が等しくなるように放物線のＯＢ間に点Ｐをとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
（１０）直線とｘ軸との交点をＣとする。△ＢＣＯをｘ軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めなさい。
（１１）放物線上に点Ｑをとり、△ＱＣＯの面積と△ＡＯＢの面積が等しくなるようにしたい。点Ｑのｘ座標を求めなさい。
解き方
（１）ａの値
放物線は点Ａを通っています。点Ａが放物線上にあると言ってもよい。「通る」・「グラフ上にある」→「代入」せよ、ということです。
ｙ＝ａｘ2に（−１,１）、すなわちｘ＝−１、ｙ＝１を代入。
１＝１ａ
ａ＝１
（２）直線の式
傾きが２とわかっているので、直線の式をｙ＝２ｘ＋ｂとします。その直線が点Ａを「通る」から（−１,１）を代入。
１＝２×（−１）＋ｂ
１＝−２＋ｂ
−ｂ＝−３
ｂ＝３
（３）交点Ｂの座標
（１）と（２）より、放物線の式はｙ＝ｘ2、直線の式はｙ＝２ｘ＋３。この２式の連立方程式を解きます。
点Ｂ（３,９）が求められます。
（４）２点ＡＢ間の距離
斜めの線の長さは、三平方の定理を使って求めます。
三平方の定理を使いたいので直角三角形を書いて、
ｘ＝４√５
（５）変化の割合
２乗に比例ｙ＝ａｘ2の変化の割合は、「ｘをたしてａをかける」で求められる（その理由についてはこちらを参照）。
よって（−１＋３）×１より変化の割合は２
直線ｙ＝ａｘ＋ｂの変化の割合は、ｙ＝ａｘ＋ｂのａと一致する。
よってｙ＝２ｘ＋３の変化の割合は２
（６）変域
−１≦ｘ≦２の両端の数値、ｘ＝−１とｘ＝２をそれぞれの式に代入する。
放物線では、ｘ＝−１のときｙ＝１、ｘ＝２のときｙ＝４、ところが２乗に比例でｘの変域が負の数≦ｘ≦正の数のとき、ｘ＝０のときのｙ＝０が最小値になるから、答は０≦ｙ≦４
直線では、ｘ＝−１のときｙ＝１、ｘ＝２のときｙ＝７、１次関数ではこの答のままで、１≦ｙ≦７
（変域の求め方の違いについてはこちらを参照。）
（７）△ＡＯＢの面積
グラフ上で三角形の面積を求める方法は、３つある。
この問題では、ｙ軸で２分し、左の三角形と右の三角形を別々に求めて足すのが一番簡単。
ｙ軸の左の三角形は、３×１÷２＝３／２
ｙ軸の右の三角形は、３×３÷２＝９／２
よって、３／２＋９／２＝６
（８）面積を２等分する直線の式
点ＡＢの中点を求める（２等分と中点の関係についてはこちらを参照）。
中点の公式より
点ＡＢの中点は（１，５）
よって、原点を通る直線の式ｙ＝ａｘに（１，５）を代入してｙ＝５ｘ
（９）等積変形
面積が等しい→ｙ＝２ｘ＋３に平行（＝傾きが等しい）で、点Ｏを通る、直線の式ｙ＝２ｘと、放物線の交点の座標を求める（等積変形と平行の関係についてはこちらを参照）。
（１０）回転体の体積
先にＣの座標を求めないといけない。ｙ＝２ｘ＋３とｘ軸の交点だからｙ＝０を代入してｘ＝−３／２
求める回転体は下図のようになる。
底面の半径９、高さ３／２＋３の大きい円錐から、底面の半径９、高さ３の小さい円錐をくりぬけばよい。
９×９×π×９／２÷３−９×９×π×３÷３＝８１／２π
（１１）応用問題の基礎
（１）〜（１０）以外の応用問題は、ほとんどがたった１つの方法で解ける。
を使う。
求めたい点Ｑのｘ座標をｔとする。
点Ｑは放物線上にあるから、点Ｑのｙ座標はｔ２
△ＱＣＯの面積が△ＡＯＢの面積と等しい６となる。
ものすごく分かりやすいです、ありがとうございます
