角度のやや難しい問題は、等しい角度を見つけて図に書き込むことで簡単に解けるようになります。

角度の問題の必殺技・・・等しい角を見つけて書き込む

等しい角を見つけるための3つのアイテム

(1)二等辺三角形の角は等しい→書き込む

二等辺三角形





(2)折り返した角は等しい→書き込む

折り返し





(3)平行線の角は等しい→書き込む

同位角・錯角緑とピンクが等しい(対頂角)

赤と緑が等しい(同位角)

青と青が等しい(さっ角)

印のついた角はすべて等しい


例題1:四角形ABCDは正方形で、三角形CEDは正三角形です。xとyの角の大きさを求めなさい。

正方形と正三角形
(準備)正方形の角度は90度正三角形の角度は60度であることを確認しておく

二等辺三角形を見つけたら、等しい角度を書き込むことができることを確認しておく





正方形と正三角形の2

(解く)二等辺三角形を見つけて、色のついた部分にわかった角度を書き込む

三角形の外角丸と四角をたすと外側の角度と同じになります(なぜそうなるのか、考えてみよう)





(書き込む)
正方形と正三角形の3











(解答:x=75度、y=60度)



例題2:円の中に正八角形を書いた。正八角形の1つの角xの大きさは何度ですか。また、角yの大きさを求めなさい。

正八角形
(準備)円の中に正八角形を書くとき、どうしたら書けるかを考える(中心の360度を8等分したら書ける)

二等辺三角形を見つけたら、等しい角度を書き込めることを確認しておく





正八角形の2
(解く)色のついた部分に、わかった角度を書き込む

まず赤丸・・・正多角形の問題では、まず赤丸の中心角の部分を求めます
この問題だと、360÷8で求められます

次に、青色でぬった部分が二等辺三角形であることに気づき(半径と半径でできた三角形はすべて二等辺三角形です)、青丸の角度を求める

最後に、yの含まれる三角形も二等辺三角形であることに気づき、書き込みます


(書き込む)

正八角形の3











(解答:x=135度、y=22.5度)


参考:正多角形の角の和を求めて解く方法もあります。

例えば、正八角形だと、まず、1つの頂点から何本の対角線が引けるかを考えます。対角線は、引き始めの点と、左のとなりの点右のとなりの点には引けません。だから、1つの頂点から引ける対角線は8−3=5本です。
八角形の対角線
次に、1つの頂点から対角線を引いたら、中にいくつの三角形ができたかを見つけます。対角線は、三角形と三角形の間の線ですから、いつも三角形の数よりは1、小さいはずです(いわゆる植木算と同じ)。言い換えれば、三角形の個数は対角線よりは1多いことになります。

八角形だと、対角線は8−3=5本。そのときできる三角形は1多い6個。三角形の角の合計は180度で、それが中に6個あるから、八角形の角の和は180×6=1080度。
1つの角は1080÷8=135度。

公式として、角形だと、1つの頂点から引ける対角線の数はn−3、中にできる三角形の個数は1多いn−3+1=n−2
だから、角の合計は180度×(n−2)

(小学生の場合、公式を覚えて使う方法はあまり役に立ちません。正多角形の問題が出てきたら、どんなときでも360度をわって、中心の角度を求めてから解くほうがよいと思います。)



例題3:左の図のように、長方形ABCDの頂点Cが辺AB上にくるように、直線EFを折り目として折り返した。x、yの角度を求めなさい。

折り返し

(準備)折り返しの問題は、角も同じ大きさで移ったと考える











折り返しの2

(解く)長方形の角度90度を書き込む

折り返した、等しい角度を書き込む









(書き込む)
折り返しの3














(解答:x=44度、y=46度)


例題4:左の図は長方形ABCDを、BEを折り目として折り曲げたものです。xとyの角の大きさを求めなさい。


折り返し2

(準備)折り返しのとき、等しい角度が移ることを確認しておく

平行線があれば、等しい角度が見つかることを確認しておく




折り返し2の2


(解く)長方形の角、90度を書き込む

折り返しで等しい角を見つけて書き込む

平行線だから等しくなる角を見つけて書き込む



(書き込む)

折り返し2の3












(解答:x=54度、y=144度)