となりあった三角形の面積の問題は、比を上手に使うと解きやすくなります。

となりあった三角形の面積を求める必殺技・・・底辺で解く


面積を比で解くための2つのアイテム

(1)底辺と高さが等しいとき面積等しい

1:1左の三角形の面積は1×高さ÷2
右の三角形の面積も1×高さ÷2

底辺の長さが同じで高さが等しければ、当然、面積は等しくなります。


等積変形同じことは、左の図のときもいえる。

高さ(平行線の幅)はどこも同じだから、底辺が共通であれば面積は等しい。



(2)となりあった三角形の底辺面積は等しい

1:2左の三角形と右の三角形の底辺の比は1:2

左の三角形の面積は1×高さ÷2
右の三角形の面積は2×高さ÷2

高さが共通なので、面積の比は底辺の比1:2と同じ1:2になります。

1:3

つまり、となりあった三角形で、底辺の比がa:bであれば、当然面積の比もa:bになります。



例題1:図の四角形ABCDは平行四辺形である。三角形ABEと四角形ABCDの面積の比を求めなさい。

平行四辺形と比
三角形の面積は6×高さ÷2=(6÷2)×高さ=3×高さ
平行四辺形の面積は16×高さ
高さが共通なので面積の比は3:16としてもよいが、線を引いてとなりあった三角形をつくり、底辺の比を使って解いてみましょう。



平行四辺形と比の2
対角線を引くと、色のついた三角形ABCの面積はちょうど平行四辺形の半分になります。

三角形ABE(青色)と三角形AEC(黄色)の底辺の比が6:10=3:5だから、面積の比も3:5。
また、三角形ACD(白色)の面積は平行四辺形の半分だから三角形ABCと同じ。

求められた面積の比を図に書き込むと簡単にわかっていきます。

平行四辺形と比の3
左の図のように、三角形ABCの面積は3
三角形AECは5
三角形ACDは3+5の8

平行四辺形ABCDの面積は3+5+8=16

だから答は3:16


例題2:図で、点Dは辺ABの真ん中の点、AEとECの長さの比は2:1、DFとFCの長さの比は1:2です。三角形ABCの面積が162平方cmのとき、三角形DEFの面積はいくらになりますか。

やや複雑な比
比を書き込んで、考えてみよう。

コツは、となりあった三角形だけに注目することです。
となりあっていないと、比が使えません。




やや複雑な比の2
AD:DBが1:1ですから、色のついた部分全体と白い部分の比も1:1。
つまり色のついた部分全体は三角形ABCの半分です。色のついた部分全体は162÷2=81。

次に、色のついた三角形のうち、緑の三角形ADEですが、AE:ECが2:1なので緑:赤+青の面積の比も2:1。
81を2:1に分けるから、赤+青の三角形つまり三角形DCEは81÷3=27。

さらに、DF:FCが1:2なので、赤の三角形DEFの面積:青の三角形EFCの面積の比も1:2。
27をさらに3等分した1つ分だから、三角形DEFの面積は27÷3=9平方cm

答えは出ましたが、ちょっとわかりにくいですね。


一番小さいものを1と決めると、さらにやさしくなる

ややこしい問題を解くときのコツの1つに、一番小さいところの面積をとして考えるという方法があります(一番小さいところを1とおいて解く解き方は、面積以外でも使える賢い方法です)。

やや複雑な比の3
三角形の中で一番小さい三角形DFE(赤色)の大きさをとします。

(以下の、青色で表わした数字は、一番小さいところを1としたときの割合を表わしています。実際の面積ではないことに注意。)

DF:FCが1:2なので、三角形EFC(青色)の大きさはです。
すると、赤色+青色の三角形DCEの大きさは合わせたになります。

次に、CE:AEが1:2ですから、赤色+青色:緑色(三角形DCE:三角形ADE)も1:2。赤色が3だったので、三角形ADEはです。

ここまでで、色のついた部分の合計である三角形ADCの大きさがとわかりました。

さらに、AD:DBが1:1なので、三角形ADEの面積と三角形DBCの面積も1:1。
つまり、三角形DBCの面積はです。

以上より三角形ABCの大きさは、1+2+6+9=18
一番小さい三角形DEFの18倍だとわかりました。
言い換えれば、三角形DEFは全体の18分の1です。

162平方cm÷18で、三角形DEFの面積は9平方cmと求められます。

このやり方(一番小さいものを1とする)のほうがわかりやすくありませんか?