形の同じ三角形を見つけたら、比を使って解いていきます（形が同じ図形のことを相似（そうじ）といいます）。
辺の長さは違っても角度がそれぞれ等しいとき、２つの三角形は形が等しいといえます。
そして、形が等しいとき、２つの三角形の辺の比は等しくなります。
例題１：２つの三角形の形が等しいとき、ｘの値を求めなさい。
図で、同じ色の角は角度が等しいことを表わしています。角度の等しい三角形は、形が等しいといえます。形が等しいとき、対応する辺の比も等しくなります。
（２つの角の大きさが等ければ、三角形の３つの角の和は１８０度なので、色のついていない角どうしも同じ大きさです。）
左の三角形の１２ｃｍが、右の三角形だと１８ｃｍにあたりますから、右の三角形の辺の長さは左の三角形の辺の１８÷１２＝１.５倍です。
だから、ｘは８×１.５＝１２ｃｍ。
比例式を使って解くのもよい方法です。
１２：１８＝８：ｘ
比例式では、内側同士の積と外側同士の積は等しいので
１２×ｘ＝１８×８
ｘ＝１８×８÷１２
ｘ＝１２
例題１の２つの三角形は、見ただけですぐに形が等しい（相似）とわかりますが、気づきにくいもののほうがよく出題されます。
形が等しい三角形を見つけるコツは、角の等しい三角形を発見することです。
例題２：次の図形で、どの三角形とどの三角形の形が等しいか（＝相似か）、見つけてください。
１、
平行に気づき、等しい角を見つける（その１）
左の図で、赤色の直線どうしは平行です。どの図形とどの図形が相似でしょうか？
平行な２本の直線があるとき、等しい角を見つけておきます。
左下の角どうし、右下の角どうしが等しくなります（同位角といいます。頂上の角も共通な角なので等しくなります。）
角度が等しいので、小さい三角形と大きい三角形の形が等しくなります。
２、
平行に気づき、等しい角を見つける（その２）
左の図の四角形は長方形（正方形でも考え方は同じ）です。
左の図の中には、お互いの形が等しい三角形の組が３組あります。見つけてください。
１番の問題と同じ要領で、平行な２本の直線を手がかりに、等しい角をもつ三角形どうしを見つけます。
左の３組が、形の等しい三角形の組み合わせになります。
赤色と赤色、青色と青色の角どうしが等しい角です（さっ角といいます）。
１番と違い、ここで見つけた図形は、問題を解くときに、形が等しいこと、比を使えることに気づきにくいものばかりです。ある程度問題数をこなして、問題に慣れることが必要です。
３、
直角三角形で、等しい角を見つける
左の図の中には、形の等しい三角形が何個あるでしょうか？
直角で１つの角が等しくなり、あと１つ、角が共通であれば、すべての角が等しいことになります。
つまり、直角三角形の中にある直角三角形は、すべて、もとの三角形と相似です。
では、確認問題をしてみましょう。
例題３：次の図形で、辺ｘの長さはいくらになりますか。
（１）
（解答）形の等しい三角形どうしの辺を考えないといけません。１２ｃｍは三角形の辺ではありません。大きな三角形の辺は６＋１２＝１８ｃｍです。
小さい三角形の６ｃｍが大きい三角形の１８ｃｍにあたるから、３倍。
９ｃｍの３倍だから２７ｃｍ。
比例式を使って解くと、９：ｘ＝６：１８
６×ｘ＝９×１８
ｘ＝９×１８÷６
ｘ＝２７ｃｍ
（２）
（解答）１２ｃｍと９ｃｍの辺をもつ直角三角形と、ｘｃｍ、３ｃｍの辺をもつ直角三角形とが相似です。
大きい三角形の９ｃｍが小さい三角形の３ｃｍにあたるから、小さい三角形は１／３。
１２÷３＝４ｃｍ。
比例式で解くと、９：３＝１２：ｘ
９×ｘ＝３×１２
ｘ＝３×１２÷９
ｘ＝４ｃｍ
（３）
（解答）大きい三角形の５ｃｍが右半分の三角形の４ｃｍ、大きいほうの４ｃｍが右半分のｘｃｍにあたります。
５ｃｍと４ｃｍの比と４ｃｍとｘｃｍの比が等しくなるから、小さいほうは４÷５の０.８倍。
４×０.８＝３.２ｃｍ。
比例式で解くと、５：４＝４：ｘ
５×ｘ＝４×４
ｘ＝４×４÷５
ｘ＝３.２ｃｍ
最後に、よく出る、やや難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題４：堤防の横に幅３ｍの道路があり、道路にそって高い木と低い木が立っています。高い木の影が堤防の上にも１ｍのびています。また、低い木の高さは１.５ｍで、その影の長さは２ｍでした。堤防の影の長さは１.６ｍでした。高い木の高さは何ｍですか。
（解答）まず、堤防の高さを求めます。
小さい木とその影でできた三角形と、堤防とその影でできた三角形の形が等しいので、２：１.６と１.５：堤防の高さの比が等しくなります。
１.６÷２＝０.８倍。
１.５×０.８＝１.２ｍ。
比例式だと２：１.６＝１.５：ｘ
ｘ＝１.６×１.５÷２＝１.２ｍ
堤防がなかったらできたであろう影の図を書いてみるのがコツです（左の赤で示した図）。
底辺が５.６ｍの三角形ができます。
赤色で書いた大きな三角形と、低い木とその影でできた小さい三角形とが相似です。
小さい三角形の２ｍが大きい三角形の５.６ｍにあたりますから、大きい三角形は５.６÷２＝２.８倍。
高い木の高さは、１.５×２.８＝４.２ｍ。
比例式だと、２：５.６＝１.５：ｘ
ｘ＝５.６×１.５÷２
ｘ＝４.２ｍ
辺の長さは違っても角度がそれぞれ等しいとき、２つの三角形は形が等しいといえます。
そして、形が等しいとき、２つの三角形の辺の比は等しくなります。
例題１：２つの三角形の形が等しいとき、ｘの値を求めなさい。
図で、同じ色の角は角度が等しいことを表わしています。角度の等しい三角形は、形が等しいといえます。形が等しいとき、対応する辺の比も等しくなります。（２つの角の大きさが等ければ、三角形の３つの角の和は１８０度なので、色のついていない角どうしも同じ大きさです。）
左の三角形の１２ｃｍが、右の三角形だと１８ｃｍにあたりますから、右の三角形の辺の長さは左の三角形の辺の１８÷１２＝１.５倍です。
だから、ｘは８×１.５＝１２ｃｍ。
比例式を使って解くのもよい方法です。
１２：１８＝８：ｘ
比例式では、内側同士の積と外側同士の積は等しいので
１２×ｘ＝１８×８
ｘ＝１８×８÷１２
ｘ＝１２
例題１の２つの三角形は、見ただけですぐに形が等しい（相似）とわかりますが、気づきにくいもののほうがよく出題されます。
形が等しい三角形を見つけるコツは、角の等しい三角形を発見することです。
例題２：次の図形で、どの三角形とどの三角形の形が等しいか（＝相似か）、見つけてください。
１、
平行に気づき、等しい角を見つける（その１）左の図で、赤色の直線どうしは平行です。どの図形とどの図形が相似でしょうか？
平行な２本の直線があるとき、等しい角を見つけておきます。左下の角どうし、右下の角どうしが等しくなります（同位角といいます。頂上の角も共通な角なので等しくなります。）
角度が等しいので、小さい三角形と大きい三角形の形が等しくなります。
２、
平行に気づき、等しい角を見つける（その２）左の図の四角形は長方形（正方形でも考え方は同じ）です。
左の図の中には、お互いの形が等しい三角形の組が３組あります。見つけてください。
１番の問題と同じ要領で、平行な２本の直線を手がかりに、等しい角をもつ三角形どうしを見つけます。左の３組が、形の等しい三角形の組み合わせになります。
赤色と赤色、青色と青色の角どうしが等しい角です（さっ角といいます）。
１番と違い、ここで見つけた図形は、問題を解くときに、形が等しいこと、比を使えることに気づきにくいものばかりです。ある程度問題数をこなして、問題に慣れることが必要です。
３、
直角三角形で、等しい角を見つける左の図の中には、形の等しい三角形が何個あるでしょうか？
直角で１つの角が等しくなり、あと１つ、角が共通であれば、すべての角が等しいことになります。つまり、直角三角形の中にある直角三角形は、すべて、もとの三角形と相似です。
では、確認問題をしてみましょう。
例題３：次の図形で、辺ｘの長さはいくらになりますか。
（１）
（解答）形の等しい三角形どうしの辺を考えないといけません。１２ｃｍは三角形の辺ではありません。大きな三角形の辺は６＋１２＝１８ｃｍです。
小さい三角形の６ｃｍが大きい三角形の１８ｃｍにあたるから、３倍。
９ｃｍの３倍だから２７ｃｍ。
比例式を使って解くと、９：ｘ＝６：１８
６×ｘ＝９×１８
ｘ＝９×１８÷６
ｘ＝２７ｃｍ
（２）
（解答）１２ｃｍと９ｃｍの辺をもつ直角三角形と、ｘｃｍ、３ｃｍの辺をもつ直角三角形とが相似です。
大きい三角形の９ｃｍが小さい三角形の３ｃｍにあたるから、小さい三角形は１／３。
１２÷３＝４ｃｍ。
比例式で解くと、９：３＝１２：ｘ
９×ｘ＝３×１２
ｘ＝３×１２÷９
ｘ＝４ｃｍ
（３）
（解答）大きい三角形の５ｃｍが右半分の三角形の４ｃｍ、大きいほうの４ｃｍが右半分のｘｃｍにあたります。
５ｃｍと４ｃｍの比と４ｃｍとｘｃｍの比が等しくなるから、小さいほうは４÷５の０.８倍。
４×０.８＝３.２ｃｍ。
比例式で解くと、５：４＝４：ｘ
５×ｘ＝４×４
ｘ＝４×４÷５
ｘ＝３.２ｃｍ
最後に、よく出る、やや難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題４：堤防の横に幅３ｍの道路があり、道路にそって高い木と低い木が立っています。高い木の影が堤防の上にも１ｍのびています。また、低い木の高さは１.５ｍで、その影の長さは２ｍでした。堤防の影の長さは１.６ｍでした。高い木の高さは何ｍですか。
（解答）まず、堤防の高さを求めます。
小さい木とその影でできた三角形と、堤防とその影でできた三角形の形が等しいので、２：１.６と１.５：堤防の高さの比が等しくなります。
１.６÷２＝０.８倍。
１.５×０.８＝１.２ｍ。
比例式だと２：１.６＝１.５：ｘ
ｘ＝１.６×１.５÷２＝１.２ｍ
堤防がなかったらできたであろう影の図を書いてみるのがコツです（左の赤で示した図）。底辺が５.６ｍの三角形ができます。
赤色で書いた大きな三角形と、低い木とその影でできた小さい三角形とが相似です。
小さい三角形の２ｍが大きい三角形の５.６ｍにあたりますから、大きい三角形は５.６÷２＝２.８倍。
高い木の高さは、１.５×２.８＝４.２ｍ。
比例式だと、２：５.６＝１.５：ｘ
ｘ＝５.６×１.５÷２
ｘ＝４.２ｍ
