１、相似
最初に、相似の単元に出てくる要点と定理をまとめておきます。
（１）一方の図形が他方の図形の拡大または縮小した図形であるとき、２つの図形は相似であるという。
（２）２つの相似な図形の対応する点をむすぶ直線が１点で交わるとき、２つの図形は相似の位置にあるといい、まじわる１点を相似の中心という。（３）相似な図形では、対応する線分の長さの比は等しい（線分の長さの比を相似比という）。
相似な図形では、対応する角の大きさは等しい。
（４）三角形の相似条件
３組の辺の比がすべて等しい
２組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
２組の角がそれぞれ等しい
２、平行線と比
３、中点連結定理
△ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣの中点をＤ、Ｅとするとき、ＤＥとＢＣは平行で、ＤＥはＢＣの２分の１
４、（発展）重心
三角形の頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線といい、３本の中線は1点で交わる。この点を重心といい、重心は3本の中線を２：１に分ける。５、（発展）角の二等分線
△ＡＢＣの∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとすると、ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
相似な図形で成り立つ基本的な定理を、三角形の相似条件を利用して証明してみよう。
例題１（平行線と比）：三角形ＡＢＣで、ＤＥ//ＢＣのとき、ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝ＤＥ：ＢＣであることを証明せよ。
（解答例）
△ＡＢＣと△ＡＤＥにおいて、
∠Ａは２つの三角形に共通に含まれる・・・（１）
またＤＥ//ＢＣより、同位角は等しいので∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ・・・（２）
（１）（２）より、２組の角がそれぞれ等しいから△ＡＢＣ∽△ＡＤＥだといえる。
相似な図形の対応する辺の比は等しいので、ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝ＤＥ：ＢＣである。
例題２（平行線と比）：３本の平行な直線と、１本の直線がＡ、Ｂ、Ｃで交わり、もう1本の直線がＤ、Ｅ、Ｆで交わっている。このとき、ＡＢ：ＢＣ＝ＤＥ：ＥFであることを証明せよ。
（解答例）点Ａを通り直線ＤＦに平行な直線と、直線ＢＥ、直線ＣＦとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。
△ＡＢＧと△ＡＣＨにおいて、
共通に含まれる角だから、∠ＢＡＧ＝∠ＣＡＨ・・・（１）
ＢＧ//ＣＨより、同位角は等しいので∠ＡＢＧ＝∠ＡＣＨ・・・（２）
（１）（２）より、２組の角がそれぞれ等しいので△ＡＢＧ∽△ＡＣＨだといえる。
相似な図形の対応する辺の比は等しいから、ＡＢ：ＡＣ＝ＡＧ：ＡＨ・・・（３）
ところが、仮定のＡＤ//ＧＥ、ＡＧ//ＤＥより、２組の対辺が平行だから四角形ＡＧＥＤは平行四辺形である。
よって、対辺の長さが等しいのでＡＧ＝ＤＥ・・・（４）
同様に、四角形ＧＨＦＥも平行四辺形だから、ＧＨ＝ＥＦ・・・（５）
（３）（４）（５）より、
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＧ：ＡＨ＝ＤＥ：ＥＦ
例題３（中点連結定理）：三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣの中点をＤ、Ｅとする。このとき、ＤＥ//ＢＣ、ＤＥ＝１／２ＢＣであることを証明せよ。
（解答例）
三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣにおいて、点Ｄは辺ＡＢの中点だからＡＤ：ＡＢ＝１：２・・・（１）
同様に点Ｅは辺ＡＣの中点だからＡＥ：ＡＣ＝１：２・・・（２）
また、∠ＤＡＥと∠ＢＡＣは共通な角である・・・（３）
（１）（２）（３）より、２組の辺の比が等しく、その間の角が等しい。
だから、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
相似な三角形の対応する角は等しいから、∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ
同位角が等しいので、ＤＥ//ＢＣ
また、△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比は１：２なので、ＤＥ＝１/２ＢＣ
例題４（重心）：三角形ＡＢＣで辺ＢＣの中点をＤ、辺ＡＣの中点をＥ、辺ＡＢの中点をＦとする。線分ＡＤと線分ＢＥの交点をＧとするとき、ＢＧ：ＧＥ＝ＣＧ：ＧＦ＝２：１になることを証明せよ。
（解答例）
辺ＡＢの中点Ｆと辺ＡＣの中点Ｅを結ぶ。
△ＧＥＦと△ＧＢＣにおいて、中点連結定理よりＦＥ//ＢＣ
平行線の錯角は等しいので
∠ＧＦＥ＝∠ＧＣＢ・・・（１）
同様に∠ＧＥＦ＝∠ＧＢＣ・・・（２）
（１）（２）より、２組の角がそれぞれ等しいので△ＧＥＦと△ＧＢＣは相似である。
また、中点連結定理よりＢＣ：ＦＥ＝２：１であり、△ＧＥＦと△ＧＢＣの対応する辺の比は等しいから、ＢＧ：ＧＥ＝ＣＧ：ＧＦ＝２：１
（別解：中点連結定理を使わない証明）辺ＡＢの中点Ｆと辺ＡＣの中点Ｅを結ぶ。
△ＡＦＥと△ＡＢＣは、ＡＦ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝１：２・・・（１）
共通に含まれるから∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＣ・・・（２）
（１）（２）より、２組の辺の比が等しく、その間の角が等しいから、△ＡＦＥ∽△ＡＢＣ
２つの相似な三角形の相似比は１：２なのでＦＥ：ＢＣ＝１：２・・・（３）
また、相似な図形の対応する角は等しいので∠ＡＦＥ＝∠ＡＢＣ
同位角が等しいのでＦＥ//ＢＣ
△ＧＥＦと△ＧＢＣいおいて、ＦＥ//ＢＣより錯角が等しいので∠ＧＦＥ＝∠ＧＣＢ・・・（４）
同様に∠ＧＥＦ＝∠ＧＢＣ・・・（５）
（４）（５）より、２組の角がそれぞれ等しいから△ＧＥＦ∽△ＧＢＣ
（３）より、ＦＥ：ＢＣ＝１：２であり、△ＧＥＦ∽△ＧＢＣだからＢＧ：ＧＥ＝ＣＧ：ＧＦ＝２：１
例題５（角の二等分線）：三角形ＡＢＣの∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとする。このとき、ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣであることを証明せよ。
（解答例）点Ｃを通り、ＡＤに平行な直線と、辺ＡＢを延長した直線との交点をＥとする。
ＡＤ//ＥＣだからＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ・・・（１）
ところで、平行線の同位角は等しいので∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＣ
また、錯角も等しいので∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ
仮定より∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣだから∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ
△ＡＣＥで∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥだから、△ＡＣＥは二等辺三角形である。
ゆえにＡＥ＝ＡＣ・・・（２）
（１）（２）より、ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ＝ＡＢ：ＡＣ
重心の証明ではAGの2倍のばしから導く方法もあります。