今日は、子どもたちの苦手分野、平行線と比です。基本的な入試問題を使って、いつものように、楽に解くコツを考察します。
解くための道具
形が等しいものが相似である。
実は、相似な図形の基本形は２種類しかない。
左の相似形（基本形１）はわりと見つけやすい。
右の相似形（基本形２）がからむと、苦手になる。「形が等しい」のが相似だから、当然２つの三角形は相似。出るぞ、出るぞと警戒しておくことです。
まず、もっとも基本的な問題から。
例題１：左の図で、ＡＢ//ＰＱ//ＤＣである。次の問いに答えなさい。
（１）ＢＰ：ＰＤを求めなさい。
（２）ＰＱの長さを求めなさい。
解き方：
この種類の問題を解く過程を、５ｃｍ、８ｃｍの長さが書いてある場所から推測できるようになれば数学の達人に近づいていると言えます。
５ｃｍ、８ｃｍから、左図の相似形を使うんだな、と気づいてください。ただし、「気づく」と「できる」は別問題。気づいたことを「書き込み」できて、初めて解くことができます。
相似形で、比が等しいはずだから、ＢＰ：ＰＤも５：８。これを図に記入します。
そうして問題の（１）を見ると、ＢＰ：ＰＤが問いになっている（これが数学の問題を解くときの至福の瞬間なんですね）。
答えは５：８です。
次に問い（２）ですが、問題を見た瞬間に、求めたいＰＱにｘと書き込みます（これができない人は予選落ち）。
もう一つ、頭の中で、（１）で求めたものを（２）で絶対使うはずと再確認しておきます（これも数学の問題の大原則）。
そうすると、書き込みは左図のようになります。
比の５と８を、実際の長さの５ｃｍ、８ｃｍと区別できるように、マルで囲むなどの工夫をしておくと、変なミスを減らすことができます。
あとは、△ＢＱＰと△ＢＣＤが相似であることを利用して比例式を作るだけです。
５：１３＝ｘ：８
１３ｘ＝４０
ｘ＝４０／１３
解き方のまとめ
１：（問題に隠されたヒントを手がかりに）相似な三角形の組（基本形２のほう）を見つける
２：相似な三角形の辺の比を（基本形２の）別の辺にも書き込んでおく
３：書き込みを利用して別の相似形（基本形１）を使って答えを求める
次に、確認の意味で、もう少し難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題２：左の図の平行四辺形で、辺ＡＤ上にＡＥ：ＥＤ＝１：２となる点Ｅをとり、ＣＥとＢＡの延長との交点をＦとする。また、ＢＤとＣＦとの交点をＧとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）ＢＦ：ＤＣを求めなさい。
（２）ＦＧ：ＧＣを求めなさい。
（３）ＥＧ：ＧＣを求めなさい。
（４）ＧＣ＝６のとき、ＥＦの長さを求めなさい。
問題の本文を読んだ段階では、まだ書き込みは１：２のみです。
ただし、「自分のために」、わかりきった当然のこと、ＢＣ＝３を書き込んだ人だけが、あとを楽に解くことができます。
また、図中に含まれる相似な図形の組み合わせはおそらく次のようなものです。
左図の基本形１は多分、見つけやすいはずです。
左図の、基本形２が気づきにくい相似形です。
おそらく、こちらを上手に見つけて活用できるかどうかが、解けるかどうかの分岐点でしょう。
解き方：
（１）ＢＦ：ＤＣを求めなさい。
ＡＥ：ＢＣ＝１：３より、ＦＡ：ＦＢ＝１：３に気づきます。
そうすると、ＡＢ＝２。
ＡＢ＝ＤＣなのでＤＣ＝２。
よって、ＢＦ：ＤＣ＝３：２
（２）ＦＧ：ＧＣを求めなさい。
△ＦＢＧ∽△ＣＤＧを活用します。
ＦＢ：ＣＤ＝３：２より
ＦＧ：ＧＣ＝３：２
（３）ＥＧ：ＧＣを求めなさい。
△ＥＧＤ∽△ＣＧＢを利用します。
ＥＤ：ＣＢ＝２：３より
ＥＧ：ＧＣ＝２：３
（４）ＧＣ＝６のとき、ＥＦの長さを求めなさい。
青色どうしの△ＦＢＧ∽△ＣＤＧよりＦＧ：ＣＧ＝３：２、ＧＣ＝６だからＦＧ＝９
黄色どうしの△ＥＧＤ∽△ＣＧＢより
ＥＧ：ＣＧ＝２：３、ＣＧ＝６だからＥＧ＝４
ＥＦ＝ＦＧ−ＥＧ＝５
最後に、入試問題でまとめです。
例題３：左の図のような、∠Ｃ＝９０度の直角三角形ＡＢＣがある。点Ｄ、ＥはそれぞれＡＢ、ＡＣ上の点であり、ＤＥ//ＢＣである。また、点Ｆは、∠ＡＢＣの２等分線とＤＥを延長した直線との交点であり、点Ｇは、ＢＦとＡＣとの交点である。このとき、次の問いに答えなさい。（佐賀県の問題を一部改題）
（１）△ＤＢＦが二等辺三角形であることを証明しなさい。
（２）ＢＣ＝１０ｃｍ、ＤＥ＝４ｃｍ、ＡＢ＝１５ｃｍとして、ＢＤの長さと、ＥＧ：ＧＣの比を求めなさい。
解き方：
（１）二等辺三角形の定理は２つです。１つ目は、「二等辺三角形の底角は等しい」、２つ目は、「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」。前者の「底角が等しい」のほうを使うことがほとんどです。
この問題も、「二等辺三角形の底角は等しい」の逆、「２つの角が等しければ二等辺三角形である」を使って証明するのが目標です。
（証明）
仮定ＤＥ//ＢＣより、錯角が等しいから∠ＦＢＣ＝∠ＤＦＢ
また、仮定の、ＢＦは∠ＡＢＣの二等分線より∠ＤＢＦ＝∠ＦＢＣ
ともに∠ＦＢＣと等しいから∠ＤＦＢ＝∠ＤＢＦ
２つの角が等しいから、△ＤＢＦは二等辺三角形である。
証明し終わったら、結論の「△ＤＢＦは二等辺三角形である」を次の問題で活用するはず、使うはずと、あらかじめ予想しておきましょう。
（２）ＢＣ＝１０ｃｍ、ＤＥ＝４ｃｍ、ＡＢ＝１５ｃｍとして、ＢＤの長さと、ＥＧ：ＧＣの比を求めなさい。
問題（２）を読んだ段階で、左の図の状態まで書き込んでおきます。
特に、求めたいＢＤにｘ、ＡＤに１５−ｘを書きこんでいない人は「予選落ち」で、おそらく解けません。
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣより
１５−ｘ：１５＝４：１０
この比例式を解いて
１０（１５−ｘ）＝６０
１５０−１０ｘ＝６０
−１０ｘ＝−９０
ｘ＝９ｃｍ
（１）の証明を絶対使うはずですから、ＢＤ＝９がわかった段階でＤＦ＝９も書き込んだ人だけが「決勝進出」です。
そうすると、ＥＦ＝９−４＝５ｃｍ
△ＥＧＦ∽△ＣＧＢで、ＥＦ＝５、ＢＣ＝１０より、相似比は１：２
よって、ＥＧ：ＧＣ＝１：２
解くための道具
形が等しいものが相似である。
実は、相似な図形の基本形は２種類しかない。
左の相似形（基本形１）はわりと見つけやすい。右の相似形（基本形２）がからむと、苦手になる。「形が等しい」のが相似だから、当然２つの三角形は相似。出るぞ、出るぞと警戒しておくことです。
まず、もっとも基本的な問題から。
例題１：左の図で、ＡＢ//ＰＱ//ＤＣである。次の問いに答えなさい。
（１）ＢＰ：ＰＤを求めなさい。
（２）ＰＱの長さを求めなさい。
解き方：
この種類の問題を解く過程を、５ｃｍ、８ｃｍの長さが書いてある場所から推測できるようになれば数学の達人に近づいていると言えます。
５ｃｍ、８ｃｍから、左図の相似形を使うんだな、と気づいてください。ただし、「気づく」と「できる」は別問題。気づいたことを「書き込み」できて、初めて解くことができます。
相似形で、比が等しいはずだから、ＢＰ：ＰＤも５：８。これを図に記入します。
そうして問題の（１）を見ると、ＢＰ：ＰＤが問いになっている（これが数学の問題を解くときの至福の瞬間なんですね）。
答えは５：８です。
次に問い（２）ですが、問題を見た瞬間に、求めたいＰＱにｘと書き込みます（これができない人は予選落ち）。
もう一つ、頭の中で、（１）で求めたものを（２）で絶対使うはずと再確認しておきます（これも数学の問題の大原則）。
そうすると、書き込みは左図のようになります。比の５と８を、実際の長さの５ｃｍ、８ｃｍと区別できるように、マルで囲むなどの工夫をしておくと、変なミスを減らすことができます。
あとは、△ＢＱＰと△ＢＣＤが相似であることを利用して比例式を作るだけです。
５：１３＝ｘ：８
１３ｘ＝４０
ｘ＝４０／１３
解き方のまとめ
１：（問題に隠されたヒントを手がかりに）相似な三角形の組（基本形２のほう）を見つける
２：相似な三角形の辺の比を（基本形２の）別の辺にも書き込んでおく
３：書き込みを利用して別の相似形（基本形１）を使って答えを求める
次に、確認の意味で、もう少し難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題２：左の図の平行四辺形で、辺ＡＤ上にＡＥ：ＥＤ＝１：２となる点Ｅをとり、ＣＥとＢＡの延長との交点をＦとする。また、ＢＤとＣＦとの交点をＧとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）ＢＦ：ＤＣを求めなさい。（２）ＦＧ：ＧＣを求めなさい。
（３）ＥＧ：ＧＣを求めなさい。
（４）ＧＣ＝６のとき、ＥＦの長さを求めなさい。
問題の本文を読んだ段階では、まだ書き込みは１：２のみです。ただし、「自分のために」、わかりきった当然のこと、ＢＣ＝３を書き込んだ人だけが、あとを楽に解くことができます。
また、図中に含まれる相似な図形の組み合わせはおそらく次のようなものです。
左図の基本形１は多分、見つけやすいはずです。
左図の、基本形２が気づきにくい相似形です。
おそらく、こちらを上手に見つけて活用できるかどうかが、解けるかどうかの分岐点でしょう。
解き方：
（１）ＢＦ：ＤＣを求めなさい。
ＡＥ：ＢＣ＝１：３より、ＦＡ：ＦＢ＝１：３に気づきます。そうすると、ＡＢ＝２。
ＡＢ＝ＤＣなのでＤＣ＝２。
よって、ＢＦ：ＤＣ＝３：２
（２）ＦＧ：ＧＣを求めなさい。
△ＦＢＧ∽△ＣＤＧを活用します。ＦＢ：ＣＤ＝３：２より
ＦＧ：ＧＣ＝３：２
（３）ＥＧ：ＧＣを求めなさい。
△ＥＧＤ∽△ＣＧＢを利用します。ＥＤ：ＣＢ＝２：３より
ＥＧ：ＧＣ＝２：３
（４）ＧＣ＝６のとき、ＥＦの長さを求めなさい。
青色どうしの△ＦＢＧ∽△ＣＤＧよりＦＧ：ＣＧ＝３：２、ＧＣ＝６だからＦＧ＝９黄色どうしの△ＥＧＤ∽△ＣＧＢより
ＥＧ：ＣＧ＝２：３、ＣＧ＝６だからＥＧ＝４
ＥＦ＝ＦＧ−ＥＧ＝５
最後に、入試問題でまとめです。
例題３：左の図のような、∠Ｃ＝９０度の直角三角形ＡＢＣがある。点Ｄ、ＥはそれぞれＡＢ、ＡＣ上の点であり、ＤＥ//ＢＣである。また、点Ｆは、∠ＡＢＣの２等分線とＤＥを延長した直線との交点であり、点Ｇは、ＢＦとＡＣとの交点である。このとき、次の問いに答えなさい。（佐賀県の問題を一部改題）
（１）△ＤＢＦが二等辺三角形であることを証明しなさい。（２）ＢＣ＝１０ｃｍ、ＤＥ＝４ｃｍ、ＡＢ＝１５ｃｍとして、ＢＤの長さと、ＥＧ：ＧＣの比を求めなさい。
解き方：
（１）二等辺三角形の定理は２つです。１つ目は、「二等辺三角形の底角は等しい」、２つ目は、「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」。前者の「底角が等しい」のほうを使うことがほとんどです。
この問題も、「二等辺三角形の底角は等しい」の逆、「２つの角が等しければ二等辺三角形である」を使って証明するのが目標です。
（証明）
仮定ＤＥ//ＢＣより、錯角が等しいから∠ＦＢＣ＝∠ＤＦＢ
また、仮定の、ＢＦは∠ＡＢＣの二等分線より∠ＤＢＦ＝∠ＦＢＣ
ともに∠ＦＢＣと等しいから∠ＤＦＢ＝∠ＤＢＦ
２つの角が等しいから、△ＤＢＦは二等辺三角形である。
証明し終わったら、結論の「△ＤＢＦは二等辺三角形である」を次の問題で活用するはず、使うはずと、あらかじめ予想しておきましょう。
（２）ＢＣ＝１０ｃｍ、ＤＥ＝４ｃｍ、ＡＢ＝１５ｃｍとして、ＢＤの長さと、ＥＧ：ＧＣの比を求めなさい。
問題（２）を読んだ段階で、左の図の状態まで書き込んでおきます。特に、求めたいＢＤにｘ、ＡＤに１５−ｘを書きこんでいない人は「予選落ち」で、おそらく解けません。
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣより
１５−ｘ：１５＝４：１０
この比例式を解いて
１０（１５−ｘ）＝６０
１５０−１０ｘ＝６０
−１０ｘ＝−９０
ｘ＝９ｃｍ
（１）の証明を絶対使うはずですから、ＢＤ＝９がわかった段階でＤＦ＝９も書き込んだ人だけが「決勝進出」です。
そうすると、ＥＦ＝９−４＝５ｃｍ
△ＥＧＦ∽△ＣＧＢで、ＥＦ＝５、ＢＣ＝１０より、相似比は１：２
よって、ＥＧ：ＧＣ＝１：２
