相似ではない（形が同じわけではない）のですが、相似の分野で、あるいは相似の問題中に出題されるものに、「となりあった三角形の面積の比」の問題があります。
左の図で、左の三角形の面積Ｓ１＝a×ｈ÷２
右の三角形の面積Ｓ２＝ｂ×ｈ÷２
よって、Ｓ１：Ｓ２＝a:b
つまり、となりあった三角形の面積の大きさは高さが共通なので底辺の比に比例する、
となりあった三角形で底辺の比がa：ｂであれば面積もa：ｂになる、ということです。
この定理（定理といえるほどたいしたものかどうかはおいといて）を使うときの注意点は、となりあった三角形でしか使えない、言い換えればとなりあった三角形を見つけていけば簡単に面積の比がわかる、ということです。
では、もっとも基本的な問題から練習していきましょう。
例題１：左の図の三角形ＡＢＣで、辺ＢＣ上の３等分点をＤ、Ｅとし、点ＡとＥを結ぶ。点ＤからＡＥに平行な直線をひきへんＡＢとの交点をＦとし、点ＥとＦを結ぶ。このとき、次の（１）〜（４）の面積が△ＡＢＣの面積の何倍になるかを答えなさい。
（１）△ＡＥＣ
（２）△ＡＦＥ
（３）△ＦＤＥ
（４）△ＦＢＤ
解答：
順にとなりあった三角形を見つけていけば（慣れたら簡単に）解ける問題です。
（１）△ＡＥＣ
仮定の３等分を、１という数字を入れて記入しておきます（比を使いたいので、数字を書きこんだほうが便利）。
△ＢＤＦ∽△ＢＥＡですからＢＦ：ＦＡも１：１です。ＢＤ：ＤＥ：ＥＣの１：１：１とは別の比なので、違う比だということがわかるように、私はマルで囲むようにしています。
△ＡＢＥと△ＡＥＣがとなりあっていて、底辺ＢＥ：ＥＣ＝２：１なので、２つの三角形の面積の比も△ＡＢＥ：△ＡＥＣ＝２：１
全体の三角形ＡＢＣの比は２＋１＝３
△ＡＥＣが△ＡＢＣの何倍かという問題なので、△ＡＥＣのの比を、基準になる△ＡＢＣの比でわり算して１÷３＝１／３（なぜこんな面倒くさい説明を？と思われるかもしれませんが、実際の入試問題をやらせてみると何倍かという問題で間違って逆数を答える例が続出します（この問題だと３倍という誤答）。式をきちんと確認しておくと間違いを防ぐことができます。）
（２）△ＡＦＥ
今度は、△ＡＦＥととなりあっている三角形は△ＦＢＥなので、この２つで解いていきます。
ＡＦとＦＢが底辺であることに気づけば簡単です。
（１）で、△ＡＢＥの面積の比が２であったことも使います。
底辺ＡＦ：ＦＢ＝１：１で、２つの三角形を合わせた△ＡＢＥの面積が２なので、△ＡＦＥの比も△ＦＢＥの比も１：１で２を分けて１。
よって、１÷３より、△ＡＦＥは１／３倍。
（３）△ＦＤＥ
（２）で、△ＦＢＥの面積の比が１であったことを使います。
底辺ＢＤ：ＤＥ＝１：１より、１の比を１：１で分けて△ＦＤＥの比は０.５（分数だと１／２）。
０.５÷△ＡＢＣの３で、１／６。
（４）△ＦＢＤ
（３）と同様で、１／６
コツがつかめたでしょうか？
次は、面積の比のもっとも典型的な問題で、できるかどうか確認してみましょう。
ここでは、一番小さいところの面積を１とおくと、やっかいだった問題が格段に解きやすくなることも学んでください。
例題２：左の図で、△ＡＢＣの２辺ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとし、ＭＣ、ＮＢの交点をＯとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）△ＡＭＮと△ＭＢＯの面積の比
（２）△ＡＢＣと△ＯＢＣの面積の比
（３）△ＡＢＣと台形ＭＢＣＮの面積の比
解答：
（１）△ＡＭＮ：△ＭＢＯ
まず、ＡＭ：ＭＢ＝１：１より、△ＡＭＮ：ＭＢＮ＝１：１
次に、△ＡＭＮ∽△ＡＢＣで相似比１：２だからＭＮ：ＢＣ＝１：２（または、中点連結定理よりＭＮ：ＢＣ＝１：２）
△ＭＯＮ∽△ＣＯＢだからＮＯ：ＯＢも１：２
よって△ＭＯＮ：△ＭＢＯ＝１：２
以上より、一番小さい△ＭＯＮの面積を１とすると、△ＭＢＯの面積は２、△ＡＭＮの面積は△ＭＢＮと同じで１＋２の３。
以上より、△ＡＭＮ：△ＭＢＯ＝３：２
（２）△ＡＢＣ：△ＯＢＣ
△ＮＯＣの面積を１と考える。
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＮＯＭ：△ＯＢＣ＝１：２
よって、△ＯＢＣの面積は２
そうすると△ＮＢＣの面積は△ＮＯＣ＋△ＯＢＣだから１＋２＝３
さらに、ＡＮ：ＮＣ＝１：１だから△ＮＢＣ：△ＡＢＮ＝１：１
つまり、△ＡＢＮの面積も△ＮＢＣと同じ３
最後に、△ＡＢＣの面積は△ＡＢＮ＋△ＮＢＣだから３＋３＝６
よって、△ＡＢＣ：△ＯＢＣ＝６：２＝３：１
（３）△ＡＢＣ：台形ＭＢＣＮ
一番小さい三角形の面積を１とおいて、他の三角形の面積を数字で表してみます。
ＭＯ：ＯＣ＝１：２より△ＮＯＣは２
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＭＢＯも２
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＯＢＣは４
ＡＭ：ＭＢ＝１：１だから△ＡＭＮは１＋２＝３
以上の数字を使って、△ＡＢＣ＝１２
台形ＭＢＣＮ＝１＋２＋２＋４＝９
よって、△ＡＢＣ：台形ＭＢＣＮ＝１２：９＝４：３
最後に、ややむずかしめの入試問題に挑戦です。
例題３：図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、Ｅは辺ＢＣ上の点で、Ｆは線分ＡＣと線分ＤＥの交点である。また、点Ｇ、Ｈはそれぞれ線分ＡＥ、辺ＤＣ上にあり、線分ＧＨと線分ＡＣ、ＤＥとの交点をそれぞれＩ、Ｊとする。∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ、ＡＧ：ＧＥ＝ＤＨ：ＨＣ＝３：５、ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍであるとき、次の問いに答えなさい。（清風南海高）
（１）線分ＩＪの長さを求めなさい。
（２）△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍かを求めなさい。
（１）線分ＩＪの長さの求め方
私が受験生なら、解き始める前に左の図の状態まで準備をします。
∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ（図の赤丸）を書き込んだとき、錯角で∠ＡＥＢにも同じ印（図の黒丸）をつけておくかどうかが解けるかどうかの分岐点です。
そうすると、△ＢＥＡが二等辺三角形だとわかりますから、ＢＥ＝４を書き込むことができ、ＥＣ＝２もわかってきます。
この書き込みで、△ＡＣＤと△ＤＥＣで解けそうだという見通しがたちます。
ＩＪはＩＨ−ＪＨで求められるからです。
まず、△ＩＣＨ∽△ＡＣＤよりＩＨ：６＝５：８
８ＩＨ＝３０
ＩＨ＝１５／４
次に△ＤＪＨ∽△ＤＥＣより、ＪＨ：２＝３：８
８ＪＨ＝６
ＪＨ＝３／４
以上より、ＩＪ＝ＩＨ−ＪＨ＝１２／４＝３
（２）△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍かの求め方
いくつかの求め方ができるんですが、今日のテーマに忠実に解いていきましょう。
まず、必ず（１）の答えを使うはずなので（数学の問題の大原則）ＩＪに３ｃｍを記入します。
次に、一番小さい△ＦＥＣを１とおきます。
求めないといけないのは△ＦＩＪですが、「となりあう三角形」がありません。そこで、△ＦＥＣから解いていくこと、ＥＦ：ＦＪを使いたいことから、ＪＣを結びます。
そうすると、ＥＣ＝２ｃｍ、ＩＪ＝３ｃｍより、ＥＦ：ＦＪ＝２：３
△ＦＥＣ：△ＪＦＣも２：３だから、△ＦＥＣ＝１なら△ＪＦＣ＝３／２（＝１.５）
次にＣＦ：ＦＩも２：３だから、△ＪＦＣ：△ＦＩＪも２：３
よって△ＦＩＪは３／２×３／２で９／４（＝２.２５）
ここまでで、△ＦＩＪの（△ＦＥＣをもとにしたときの）比９／４を求めることができました。
次に、平行四辺形の面積の（△ＦＥＣをもとにしたときの）比を求めます。
ＥＦ：ＦＤ＝２ｃｍ：６ｃｍ＝１：３
だから、△ＦＥＣ＝１なので、△ＤＦＣ＝３
さらに、ＣＦ：ＦＡ＝１：３だから△ＤＦＣ：△ＡＦＤ＝１：３、△ＤＦＣ＝３なので△ＡＦＤ＝９
△ＡＦＤ＋△ＤＦＣ＝９＋３＝１２
△ＡＦＤ＋△ＤＦＣ＝△ＡＣＤ＝１２
平行四辺形ＡＢＣＤの半分の△ＡＣＤＧが１２だから、平行四辺形の（△ＦＥＣをもとにしたときの）面積の比は２４
やっと、こっちもやっつけることができました。
最後は慎重に、「△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か」だから、９／４÷２４＝３／３２
左の図で、左の三角形の面積Ｓ１＝a×ｈ÷２右の三角形の面積Ｓ２＝ｂ×ｈ÷２
よって、Ｓ１：Ｓ２＝a:b
つまり、となりあった三角形の面積の大きさは高さが共通なので底辺の比に比例する、
となりあった三角形で底辺の比がa：ｂであれば面積もa：ｂになる、ということです。
この定理（定理といえるほどたいしたものかどうかはおいといて）を使うときの注意点は、となりあった三角形でしか使えない、言い換えればとなりあった三角形を見つけていけば簡単に面積の比がわかる、ということです。
では、もっとも基本的な問題から練習していきましょう。
例題１：左の図の三角形ＡＢＣで、辺ＢＣ上の３等分点をＤ、Ｅとし、点ＡとＥを結ぶ。点ＤからＡＥに平行な直線をひきへんＡＢとの交点をＦとし、点ＥとＦを結ぶ。このとき、次の（１）〜（４）の面積が△ＡＢＣの面積の何倍になるかを答えなさい。
（１）△ＡＥＣ
（２）△ＡＦＥ
（３）△ＦＤＥ
（４）△ＦＢＤ
解答：
順にとなりあった三角形を見つけていけば（慣れたら簡単に）解ける問題です。
（１）△ＡＥＣ
仮定の３等分を、１という数字を入れて記入しておきます（比を使いたいので、数字を書きこんだほうが便利）。
△ＢＤＦ∽△ＢＥＡですからＢＦ：ＦＡも１：１です。ＢＤ：ＤＥ：ＥＣの１：１：１とは別の比なので、違う比だということがわかるように、私はマルで囲むようにしています。
△ＡＢＥと△ＡＥＣがとなりあっていて、底辺ＢＥ：ＥＣ＝２：１なので、２つの三角形の面積の比も△ＡＢＥ：△ＡＥＣ＝２：１
全体の三角形ＡＢＣの比は２＋１＝３
△ＡＥＣが△ＡＢＣの何倍かという問題なので、△ＡＥＣのの比を、基準になる△ＡＢＣの比でわり算して１÷３＝１／３（なぜこんな面倒くさい説明を？と思われるかもしれませんが、実際の入試問題をやらせてみると何倍かという問題で間違って逆数を答える例が続出します（この問題だと３倍という誤答）。式をきちんと確認しておくと間違いを防ぐことができます。）
（２）△ＡＦＥ
今度は、△ＡＦＥととなりあっている三角形は△ＦＢＥなので、この２つで解いていきます。
ＡＦとＦＢが底辺であることに気づけば簡単です。
（１）で、△ＡＢＥの面積の比が２であったことも使います。
底辺ＡＦ：ＦＢ＝１：１で、２つの三角形を合わせた△ＡＢＥの面積が２なので、△ＡＦＥの比も△ＦＢＥの比も１：１で２を分けて１。
よって、１÷３より、△ＡＦＥは１／３倍。
（３）△ＦＤＥ
（２）で、△ＦＢＥの面積の比が１であったことを使います。
底辺ＢＤ：ＤＥ＝１：１より、１の比を１：１で分けて△ＦＤＥの比は０.５（分数だと１／２）。
０.５÷△ＡＢＣの３で、１／６。
（４）△ＦＢＤ
（３）と同様で、１／６
コツがつかめたでしょうか？
次は、面積の比のもっとも典型的な問題で、できるかどうか確認してみましょう。
ここでは、一番小さいところの面積を１とおくと、やっかいだった問題が格段に解きやすくなることも学んでください。
例題２：左の図で、△ＡＢＣの２辺ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとし、ＭＣ、ＮＢの交点をＯとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）△ＡＭＮと△ＭＢＯの面積の比
（２）△ＡＢＣと△ＯＢＣの面積の比
（３）△ＡＢＣと台形ＭＢＣＮの面積の比
解答：
（１）△ＡＭＮ：△ＭＢＯ
まず、ＡＭ：ＭＢ＝１：１より、△ＡＭＮ：ＭＢＮ＝１：１
次に、△ＡＭＮ∽△ＡＢＣで相似比１：２だからＭＮ：ＢＣ＝１：２（または、中点連結定理よりＭＮ：ＢＣ＝１：２）
△ＭＯＮ∽△ＣＯＢだからＮＯ：ＯＢも１：２
よって△ＭＯＮ：△ＭＢＯ＝１：２
以上より、一番小さい△ＭＯＮの面積を１とすると、△ＭＢＯの面積は２、△ＡＭＮの面積は△ＭＢＮと同じで１＋２の３。
以上より、△ＡＭＮ：△ＭＢＯ＝３：２
（２）△ＡＢＣ：△ＯＢＣ
△ＮＯＣの面積を１と考える。
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＮＯＭ：△ＯＢＣ＝１：２
よって、△ＯＢＣの面積は２
そうすると△ＮＢＣの面積は△ＮＯＣ＋△ＯＢＣだから１＋２＝３
さらに、ＡＮ：ＮＣ＝１：１だから△ＮＢＣ：△ＡＢＮ＝１：１
つまり、△ＡＢＮの面積も△ＮＢＣと同じ３
最後に、△ＡＢＣの面積は△ＡＢＮ＋△ＮＢＣだから３＋３＝６
よって、△ＡＢＣ：△ＯＢＣ＝６：２＝３：１
（３）△ＡＢＣ：台形ＭＢＣＮ
一番小さい三角形の面積を１とおいて、他の三角形の面積を数字で表してみます。
ＭＯ：ＯＣ＝１：２より△ＮＯＣは２
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＭＢＯも２
ＮＯ：ＯＢ＝１：２より△ＯＢＣは４
ＡＭ：ＭＢ＝１：１だから△ＡＭＮは１＋２＝３
以上の数字を使って、△ＡＢＣ＝１２
台形ＭＢＣＮ＝１＋２＋２＋４＝９
よって、△ＡＢＣ：台形ＭＢＣＮ＝１２：９＝４：３
最後に、ややむずかしめの入試問題に挑戦です。
例題３：図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、Ｅは辺ＢＣ上の点で、Ｆは線分ＡＣと線分ＤＥの交点である。また、点Ｇ、Ｈはそれぞれ線分ＡＥ、辺ＤＣ上にあり、線分ＧＨと線分ＡＣ、ＤＥとの交点をそれぞれＩ、Ｊとする。∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ、ＡＧ：ＧＥ＝ＤＨ：ＨＣ＝３：５、ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍであるとき、次の問いに答えなさい。（清風南海高）
（１）線分ＩＪの長さを求めなさい。
（２）△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍かを求めなさい。
（１）線分ＩＪの長さの求め方
私が受験生なら、解き始める前に左の図の状態まで準備をします。
∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ（図の赤丸）を書き込んだとき、錯角で∠ＡＥＢにも同じ印（図の黒丸）をつけておくかどうかが解けるかどうかの分岐点です。そうすると、△ＢＥＡが二等辺三角形だとわかりますから、ＢＥ＝４を書き込むことができ、ＥＣ＝２もわかってきます。
この書き込みで、△ＡＣＤと△ＤＥＣで解けそうだという見通しがたちます。
ＩＪはＩＨ−ＪＨで求められるからです。
まず、△ＩＣＨ∽△ＡＣＤよりＩＨ：６＝５：８
８ＩＨ＝３０
ＩＨ＝１５／４
次に△ＤＪＨ∽△ＤＥＣより、ＪＨ：２＝３：８
８ＪＨ＝６
ＪＨ＝３／４
以上より、ＩＪ＝ＩＨ−ＪＨ＝１２／４＝３
（２）△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍かの求め方
いくつかの求め方ができるんですが、今日のテーマに忠実に解いていきましょう。
まず、必ず（１）の答えを使うはずなので（数学の問題の大原則）ＩＪに３ｃｍを記入します。次に、一番小さい△ＦＥＣを１とおきます。
求めないといけないのは△ＦＩＪですが、「となりあう三角形」がありません。そこで、△ＦＥＣから解いていくこと、ＥＦ：ＦＪを使いたいことから、ＪＣを結びます。
そうすると、ＥＣ＝２ｃｍ、ＩＪ＝３ｃｍより、ＥＦ：ＦＪ＝２：３
△ＦＥＣ：△ＪＦＣも２：３だから、△ＦＥＣ＝１なら△ＪＦＣ＝３／２（＝１.５）
次にＣＦ：ＦＩも２：３だから、△ＪＦＣ：△ＦＩＪも２：３
よって△ＦＩＪは３／２×３／２で９／４（＝２.２５）
ここまでで、△ＦＩＪの（△ＦＥＣをもとにしたときの）比９／４を求めることができました。
次に、平行四辺形の面積の（△ＦＥＣをもとにしたときの）比を求めます。
ＥＦ：ＦＤ＝２ｃｍ：６ｃｍ＝１：３
だから、△ＦＥＣ＝１なので、△ＤＦＣ＝３
さらに、ＣＦ：ＦＡ＝１：３だから△ＤＦＣ：△ＡＦＤ＝１：３、△ＤＦＣ＝３なので△ＡＦＤ＝９
△ＡＦＤ＋△ＤＦＣ＝９＋３＝１２
△ＡＦＤ＋△ＤＦＣ＝△ＡＣＤ＝１２
平行四辺形ＡＢＣＤの半分の△ＡＣＤＧが１２だから、平行四辺形の（△ＦＥＣをもとにしたときの）面積の比は２４
やっと、こっちもやっつけることができました。
最後は慎重に、「△ＦＩＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か」だから、９／４÷２４＝３／３２
