相似ではない(形が同じわけではない)のですが、相似の分野で、あるいは相似の問題中に出題されるものに、「となりあった三角形の面積の比」の問題があります。

面積の比の説明左の図で、左の三角形の面積S1=a×h÷2
右の三角形の面積S2=b×h÷2
よって、S1:S2=a:b

つまり、となりあった三角形の面積の大きさは高さが共通なので底辺の比に比例する
となりあった三角形で底辺の比がa:bであれば面積もa:bになる、ということです。

この定理(定理といえるほどたいしたものかどうかはおいといて)を使うときの注意点は、となりあった三角形でしか使えない、言い換えればとなりあった三角形を見つけていけば簡単に面積の比がわかる、ということです。

では、もっとも基本的な問題から練習していきましょう。

例題1:左の図の三角形ABCで、辺BC上の3等分点をD、Eとし、点AとEを結ぶ。点DからAEに平行な直線をひきへんABとの交点をFとし、点EとFを結ぶ。このとき、次の(1)〜(4)の面積が△ABCの面積の何倍になるかを答えなさい。
面積の比
(1)△AEC

(2)△AFE

(3)△FDE

(4)△FBD





解答:
順にとなりあった三角形を見つけていけば(慣れたら簡単に)解ける問題です。

(1)△AEC
面積の比(1)
仮定の3等分を、1という数字を入れて記入しておきます(比を使いたいので、数字を書きこんだほうが便利)。

△BDF∽△BEAですからBF:FAも1:1です。BD:DE:ECの1:1:1とは別の比なので、違う比だということがわかるように、私はマルで囲むようにしています。

△ABEと△AECがとなりあっていて、底辺BE:EC=2:1なので、2つの三角形の面積の比も△ABE:△AEC=2:1
全体の三角形ABCの比は2+1=3
△AECが△ABCの何倍かという問題なので、△AECのの比を、基準になる△ABCの比でわり算して1÷3=1/3(なぜこんな面倒くさい説明を?と思われるかもしれませんが、実際の入試問題をやらせてみると何倍かという問題で間違って逆数を答える例が続出します(この問題だと3倍という誤答)。式をきちんと確認しておくと間違いを防ぐことができます。)


(2)△AFE

面積の比(2)
今度は、△AFEととなりあっている三角形は△FBEなので、この2つで解いていきます。

AFとFBが底辺であることに気づけば簡単です。

(1)で、△ABEの面積の比が2であったことも使います。

底辺AF:FB=1:1で、2つの三角形を合わせた△ABEの面積が2なので、△AFEの比も△FBEの比も1:1で2を分けて1。

よって、1÷3より、△AFEは1/3倍。


(3)△FDE

面積の比(3)
(2)で、△FBEの面積の比が1であったことを使います。

底辺BD:DE=1:1より、1の比を1:1で分けて△FDEの比は0.5(分数だと1/2)。

0.5÷△ABCの3で、1/6。



(4)△FBD

(3)と同様で、1/6


コツがつかめたでしょうか?
次は、面積の比のもっとも典型的な問題で、できるかどうか確認してみましょう。

ここでは、一番小さいところの面積とおくと、やっかいだった問題が格段に解きやすくなることも学んでください。

例題2:左の図で、△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとし、MC、NBの交点をOとする。このとき、次の問いに答えなさい。

面積の比の2
(1)△AMNと△MBOの面積の比

(2)△ABCと△OBCの面積の比

(3)△ABCと台形MBCNの面積の比







解答:

(1)△AMN:△MBO

面積の比の2(1)
まず、AM:MB=1:1より、△AMN:MBN=1:1

次に、△AMN∽△ABCで相似比1:2だからMN:BC=1:2(または、中点連結定理よりMN:BC=1:2)
△MON∽△COBだからNO:OBも1:2
よって△MON:△MBO=1:2

以上より、一番小さい△MONの面積をとすると、△MBOの面積は2、△AMNの面積は△MBNと同じで1+2の3。

以上より、△AMN:△MBO=3:2


(2)△ABC:△OBC

面積の比の2(2)
△NOCの面積を1と考える。

NO:OB=1:2より△NOM:△OBC=1:2
よって、△OBCの面積は2

そうすると△NBCの面積は△NOC+△OBCだから1+2=3

さらに、AN:NC=1:1だから△NBC:△ABN=1:1
つまり、△ABNの面積も△NBCと同じ3

最後に、△ABCの面積は△ABN+△NBCだから3+3=6

よって、△ABC:△OBC=6:2=3:1


(3)△ABC:台形MBCN

面積の比の2(3)
番小さい三角形の面積とおいて、他の三角形の面積を数字で表してみます。
MO:OC=1:2より△NOCは
NO:OB=1:2より△MBOも
NO:OB=1:2より△OBCは
AM:MB=1:1だから△AMNは1+2=

以上の数字を使って、△ABC=12

台形MBCN=1+2+2+4=

よって、△ABC:台形MBCN=12:9=4:3


最後に、ややむずかしめの入試問題に挑戦です。

例題3:図の平行四辺形ABCDにおいて、Eは辺BC上の点で、Fは線分ACと線分DEの交点である。また、点G、Hはそれぞれ線分AE、辺DC上にあり、線分GHと線分AC、DEとの交点をそれぞれI、Jとする。∠BAE=∠DAE、AG:GE=DH:HC=3:5、AB=4cm、AD=6cmであるとき、次の問いに答えなさい。(清風南海高)

面積の比(清風南海)
(1)線分IJの長さを求めなさい。

(2)△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍かを求めなさい。




(1)線分IJの長さの求め方

私が受験生なら、解き始める前に左の図の状態まで準備をします。

清風南海(1)∠BAE=∠DAE(図の赤丸)を書き込んだとき、錯角で∠AEBにも同じ印(図の黒丸)をつけておくかどうかが解けるかどうかの分岐点です。
そうすると、△BEAが二等辺三角形だとわかりますから、BE=4を書き込むことができ、EC=2もわかってきます。

この書き込みで、△ACDと△DECで解けそうだという見通しがたちます。
IJはIH−JHで求められるからです。

まず、△ICH∽△ACDよりIH:6=5:8
8IH=30
IH=15/4

次に△DJH∽△DECより、JH:2=3:8
8JH=6
JH=3/4

以上より、IJ=IH−JH=12/4=3


(2)△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍かの求め方

いくつかの求め方ができるんですが、今日のテーマに忠実に解いていきましょう。

清風南海(2)まず、必ず(1)の答えを使うはずなので(数学の問題の大原則)IJに3cmを記入します。
次に、一番小さい△FECを1とおきます。

求めないといけないのは△FIJですが、「となりあう三角形」がありません。そこで、△FECから解いていくこと、EF:FJを使いたいことから、JCを結びます。
そうすると、EC=2cm、IJ=3cmより、EF:FJ=2:3
△FEC:△JFCも2:3だから、△FEC=1なら△JFC=3/2(=1.5)
次にCF:FIも2:3だから、△JFC:△FIJも2:3
よって△FIJは3/2×3/2で9/4(=2.25)
ここまでで、△FIJの(△FECをもとにしたときの)比9/4を求めることができました。

次に、平行四辺形の面積の(△FECをもとにしたときの)比を求めます。
EF:FD=2cm:6cm=1:3
だから、△FEC=1なので、△DFC=3
さらに、CF:FA=1:3だから△DFC:△AFD=1:3、△DFC=3なので△AFD=9
△AFD+△DFC=9+3=12
△AFD+△DFC=△ACD=12
平行四辺形ABCDの半分の△ACDGが12だから、平行四辺形の(△FECをもとにしたときの)面積の比は24

やっと、こっちもやっつけることができました。

最後は慎重に、「△FIJの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か」だから、9/4÷24=3/32