直角三角形の直角をはさむ２辺の長さをa、ｂ、斜辺の長さをｃとするとき、
短い辺aの２乗＋短い辺ｂの２乗＝長い斜辺ｃの２乗が成り立つ
これが３つの辺の２乗（＝平方）で式ができているので、三平方の定理と呼ばれる定理です。
直角三角形であれば、常に三平方の定理が成り立つことを証明してみましょう。
三平方の定理には数え切れないくらい多くの証明方法があるそうです。
中学生向けの教科書や参考書に記載されているものは、ほぼ３種類に分類できるように思います。
（１）直角三角形を組み合わせて正方形などを作り、面積を２通りの方法で表し、等式を作って証明する
（２）直角三角形の相似を利用して、等式を作って証明する
（３）直角三角形の外にそれぞれの辺を１辺とする正方形を３つかいて、小さい正方形+別の小さい正方形＝大きい正方形を証明する
証明１：
台形ＡＢＤＥの面積を２通りの方法で表してみます。
まず、直接台形の面積を求めます。
上底a、下底ｂ、高さa＋ｂの台形だから、その面積は、（a＋ｂ）×（a＋ｂ）÷２
次に、台形ＡＢＤＥの面積を、三角形３つの和として求めます。
△ＡＢＣと△ＣＤＥの合計は、（a×ｂ÷２）×２
△ＡＣＥはすぐには求められません。まず、∠ＡＣＥ＝９０度の直角三角形であることを見つけます。
△ＡＢＣと△ＣＤＥは、ＡＢ＝ＣＤ、ＢＣ＝ＤＥ、∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０度より、２辺とその間の角が等しいから△ＡＢＣ≡△ＣＤＥ
よって∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＥ
したがって、∠ＢＡＣ+∠ＡＣＢ＝９０度から、∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＢ＝９０度
だから、∠ＡＣＥ＝９０度
以上より、△ＡＣＥは∠ＡＣＥ＝９０度の直角三角形です。
△ＡＣＥの面積はｃ×ｃ÷２
同じ台形の面積を２通りの方法で表すことができたので等式にします。
同じ場所を２通りの方法で表せたら証明できますから、△ＡＣＥの面積を２通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。
証明２：
正方形ＣＤＥＦの面積を２通りの方法で表せたら証明できます。
まず、１辺a＋ｂの正方形と見て面積を求めると、（a＋ｂ）×（a＋ｂ）
次に、４つの三角形と、中にある小さい正方形（正方形であることの証明が必要ですが）の和としても求められます。
４つの三角形の面積の和は、（a×ｂ÷２）×４
また、中の四角形ＢＡＧＨが正方形であることを証明してその面積を求めます。
（正方形であることの証明は少し簡略化して書きます。）
２辺がaとｂで、その間の角が９０度で等しいから４つの三角形は合同
よって∠ＢＡＧ＝∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＢ＝∠ＨＢＡ＝９０度
また４つの辺の長さはｃで等しい
４つの辺の長さが等しく、角もすべて９０度だから四角形ＢＡＧＨは正方形である
よって、面積はｃ×ｃ
これで２通りの方法で正方形ＣＤＥＦの面積を表すことができたので、等式を作ります。
同じ場所を２通りの方法で表せたら証明できますから、四角形ＢＡＧＨの面積を２通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。
同じような証明を、別の形の正方形をつくって証明することもできます。
左の図でも２通りの証明の仕方が考えられます。
チャレンジしてみてください。
証明３：
直角三角形の中に相似な三角形を２つつくり、相似を利用して証明することもできます。
Ｃから底辺ＡＢに垂線を引き、できた△ＡＢＣ、△ＡＣＤ、△ＣＢＤが相似であることを先に証明します。
△ＡＢＣと△ＡＣＤにおいて
仮定より、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ（＝９０度）
どちらの三角形にも共通に含まれるから∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ
２組の角がそれぞれ等しいから△ＡＢＣ∽△ＣＡＤ
同様に、△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ
次に辺ＡＢの長さを表す式を２通り見つけることができたら等式をつくることができます。
１つ目は、当然ＡＢ＝ｃです。
２つ目は、相似を利用して、ＡＤとＤＢをa、ｂ、ｃを使って表し、ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢでＡＢを表せないか、考えてみます。
ＡＤ＝ｘ、ＤＢ＝ｙとして式をつくってみましょう。
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤより、ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＤ
つまり
△ＡＢＣ∽△ＣＢＤより、ＡＢ：ＢＣ＝ＣＢ：ＢＤ
つまり
辺ＡＢ＝ｘ＋ｙ＝a２乗／ｃ＋ｂ２乗／ｃ
これで、辺ＡＢを２つの式で表すことができました。
最後に等式をつくります。
証明４：
が、三平方の定理の式です。
素直に考えたら、直角三角形の各辺を１辺とする正方形の面積を表していると見るのが自然です。
証明４はその観点からの証明です。
ちょっとわかりにくいのが難点ですが、私はこの証明が一番好きです（私の好みなんかどうでもいいですが）。
この証明の目標は、次の図のようになります。
正方形ＡＣＩＪの面積の半分の△ＡＣＪの面積と、長方形ＡＤＫＨの半分の△ＡＤＨの面積が等しいことが言えれば、その２倍どうしの正方形ＡＣＩＪと長方形ＡＤＫＨの面積が等しいことが証明できたことになります。
同じように、△ＣＢＦの面積と、△ＨＥＢの面積が等しいことを論証して、正方形ＢＦＧＣの面積＝長方形ＨＫＥＢを言います。
これで、小さい正方形の面積+もう１つの小さい正方形の面積＝大きい正方形の面積が証明できたことになります。
では、順に証明しましょう。
結構難しいので、頑張らないといけません。
△ＡＣＪの面積＝△ＡＤＨの面積の証明
まず、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積を証明します。
∠ＢＣＡ＝∠ＪＡＣ＝９０度より、錯角が等しいのでＪＡ//ＣＢ
△ＡＣＪと△ＡＢＪにおいて、底辺はＡＪで共通
２つの三角形の高さは平行線ＪＡとＣＢの距離（幅）と等しいから等しい
よって、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積
次に、△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積を証明します。
正方形ＡＤＥＢの辺だからＡＢ＝ＡＤ
正方形ＡＣＩＪの辺だからＡＪ＝ＡＣ
９０度+∠ＣＡＢで共通だから∠ＪＡＢ＝∠ＣＡＤ
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ＡＢＪ≡△ＡＤＣ
合同な三角形なので、△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積
最後に、△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積を証明します。
ＡＤ//ＣＫより、底辺が共通で高さが等しいので△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積
以上より、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積
つまり、△ＡＣＪ面積＝△ＡＤＨの面積
２つある四角形の半分の面積が等しいことが証明できたので
正方形ＡＣＩＪの面積＝長方形ＡＤＫＨの面積
△ＢＦＣの面積＝△ＨＥＢの証明
同じ要領で、左の図を使って、△ＢＦＣの面積＝△ＨＥＢを証明して、正方形ＢＦＧＣ＝長方形ＨＫＥＢを論証してみてください。
まず、△ＢＦＣと同じ面積の三角形を見つける。
次に、その見つけた三角形と合同な三角形を見つける。
最後に、その合同な三角形と面積の等しい三角形を見つける。
以上の証明によって、正方形ＡＣＩＪの面積＝長方形ＡＤＫＨの面積、
正方形ＢＦＧＣの面積＝長方形ＨＫＥＢの面積、
よって、正方形ＡＣＩＪ+正方形ＢＦＧＣ＝正方形ＡＤＥＢ
つまり、
が、証明できたことになります。
短い辺aの２乗＋短い辺ｂの２乗＝長い斜辺ｃの２乗が成り立つ
これが３つの辺の２乗（＝平方）で式ができているので、三平方の定理と呼ばれる定理です。
直角三角形であれば、常に三平方の定理が成り立つことを証明してみましょう。
三平方の定理には数え切れないくらい多くの証明方法があるそうです。
中学生向けの教科書や参考書に記載されているものは、ほぼ３種類に分類できるように思います。
（１）直角三角形を組み合わせて正方形などを作り、面積を２通りの方法で表し、等式を作って証明する
（２）直角三角形の相似を利用して、等式を作って証明する
（３）直角三角形の外にそれぞれの辺を１辺とする正方形を３つかいて、小さい正方形+別の小さい正方形＝大きい正方形を証明する
証明１：
台形ＡＢＤＥの面積を２通りの方法で表してみます。まず、直接台形の面積を求めます。
上底a、下底ｂ、高さa＋ｂの台形だから、その面積は、（a＋ｂ）×（a＋ｂ）÷２
次に、台形ＡＢＤＥの面積を、三角形３つの和として求めます。
△ＡＢＣと△ＣＤＥの合計は、（a×ｂ÷２）×２
△ＡＣＥはすぐには求められません。まず、∠ＡＣＥ＝９０度の直角三角形であることを見つけます。
△ＡＢＣと△ＣＤＥは、ＡＢ＝ＣＤ、ＢＣ＝ＤＥ、∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０度より、２辺とその間の角が等しいから△ＡＢＣ≡△ＣＤＥ
よって∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＥ
したがって、∠ＢＡＣ+∠ＡＣＢ＝９０度から、∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＢ＝９０度
だから、∠ＡＣＥ＝９０度
以上より、△ＡＣＥは∠ＡＣＥ＝９０度の直角三角形です。
△ＡＣＥの面積はｃ×ｃ÷２
同じ台形の面積を２通りの方法で表すことができたので等式にします。
同じ場所を２通りの方法で表せたら証明できますから、△ＡＣＥの面積を２通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。
証明２：
正方形ＣＤＥＦの面積を２通りの方法で表せたら証明できます。まず、１辺a＋ｂの正方形と見て面積を求めると、（a＋ｂ）×（a＋ｂ）
次に、４つの三角形と、中にある小さい正方形（正方形であることの証明が必要ですが）の和としても求められます。
４つの三角形の面積の和は、（a×ｂ÷２）×４
また、中の四角形ＢＡＧＨが正方形であることを証明してその面積を求めます。
（正方形であることの証明は少し簡略化して書きます。）
２辺がaとｂで、その間の角が９０度で等しいから４つの三角形は合同
よって∠ＢＡＧ＝∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＢ＝∠ＨＢＡ＝９０度
また４つの辺の長さはｃで等しい
４つの辺の長さが等しく、角もすべて９０度だから四角形ＢＡＧＨは正方形である
よって、面積はｃ×ｃ
これで２通りの方法で正方形ＣＤＥＦの面積を表すことができたので、等式を作ります。
同じ場所を２通りの方法で表せたら証明できますから、四角形ＢＡＧＨの面積を２通りに表すことでも証明できます。挑戦してみてください。
同じような証明を、別の形の正方形をつくって証明することもできます。
左の図でも２通りの証明の仕方が考えられます。
チャレンジしてみてください。
証明３：
直角三角形の中に相似な三角形を２つつくり、相似を利用して証明することもできます。Ｃから底辺ＡＢに垂線を引き、できた△ＡＢＣ、△ＡＣＤ、△ＣＢＤが相似であることを先に証明します。
△ＡＢＣと△ＡＣＤにおいて仮定より、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ（＝９０度）
どちらの三角形にも共通に含まれるから∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ
２組の角がそれぞれ等しいから△ＡＢＣ∽△ＣＡＤ
同様に、△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ
次に辺ＡＢの長さを表す式を２通り見つけることができたら等式をつくることができます。
１つ目は、当然ＡＢ＝ｃです。
２つ目は、相似を利用して、ＡＤとＤＢをa、ｂ、ｃを使って表し、ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢでＡＢを表せないか、考えてみます。
ＡＤ＝ｘ、ＤＢ＝ｙとして式をつくってみましょう。
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤより、ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＤ
つまり
△ＡＢＣ∽△ＣＢＤより、ＡＢ：ＢＣ＝ＣＢ：ＢＤ
つまり
辺ＡＢ＝ｘ＋ｙ＝a２乗／ｃ＋ｂ２乗／ｃ
これで、辺ＡＢを２つの式で表すことができました。
最後に等式をつくります。
証明４：
が、三平方の定理の式です。
素直に考えたら、直角三角形の各辺を１辺とする正方形の面積を表していると見るのが自然です。
証明４はその観点からの証明です。
ちょっとわかりにくいのが難点ですが、私はこの証明が一番好きです（私の好みなんかどうでもいいですが）。
この証明の目標は、次の図のようになります。
正方形ＡＣＩＪの面積の半分の△ＡＣＪの面積と、長方形ＡＤＫＨの半分の△ＡＤＨの面積が等しいことが言えれば、その２倍どうしの正方形ＡＣＩＪと長方形ＡＤＫＨの面積が等しいことが証明できたことになります。
同じように、△ＣＢＦの面積と、△ＨＥＢの面積が等しいことを論証して、正方形ＢＦＧＣの面積＝長方形ＨＫＥＢを言います。
これで、小さい正方形の面積+もう１つの小さい正方形の面積＝大きい正方形の面積が証明できたことになります。
では、順に証明しましょう。
結構難しいので、頑張らないといけません。
△ＡＣＪの面積＝△ＡＤＨの面積の証明
まず、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積を証明します。∠ＢＣＡ＝∠ＪＡＣ＝９０度より、錯角が等しいのでＪＡ//ＣＢ
△ＡＣＪと△ＡＢＪにおいて、底辺はＡＪで共通
２つの三角形の高さは平行線ＪＡとＣＢの距離（幅）と等しいから等しい
よって、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積
次に、△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積を証明します。
正方形ＡＤＥＢの辺だからＡＢ＝ＡＤ
正方形ＡＣＩＪの辺だからＡＪ＝ＡＣ
９０度+∠ＣＡＢで共通だから∠ＪＡＢ＝∠ＣＡＤ
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ＡＢＪ≡△ＡＤＣ
合同な三角形なので、△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積
最後に、△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積を証明します。
ＡＤ//ＣＫより、底辺が共通で高さが等しいので△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積
以上より、△ＡＣＪの面積＝△ＡＢＪの面積＝△ＡＤＣの面積＝△ＡＤＨの面積
つまり、△ＡＣＪ面積＝△ＡＤＨの面積
２つある四角形の半分の面積が等しいことが証明できたので
正方形ＡＣＩＪの面積＝長方形ＡＤＫＨの面積
△ＢＦＣの面積＝△ＨＥＢの証明
同じ要領で、左の図を使って、△ＢＦＣの面積＝△ＨＥＢを証明して、正方形ＢＦＧＣ＝長方形ＨＫＥＢを論証してみてください。
まず、△ＢＦＣと同じ面積の三角形を見つける。
次に、その見つけた三角形と合同な三角形を見つける。
最後に、その合同な三角形と面積の等しい三角形を見つける。
以上の証明によって、正方形ＡＣＩＪの面積＝長方形ＡＤＫＨの面積、
正方形ＢＦＧＣの面積＝長方形ＨＫＥＢの面積、
よって、正方形ＡＣＩＪ+正方形ＢＦＧＣ＝正方形ＡＤＥＢ
つまり、
が、証明できたことになります。
いつも本当にお世話になってます。お金を出しても良いくらいです！！
∞証明3がとっても分かりやすかったです！！冬休みの宿題にとっても役に立ちました！∞ 
わざわざお教えして頂き、ありがとうございました。