円と相似がからんだ問題も入試ではよく出題されます。

まず、円についての定理のまとめから。

１、円周角の定理（１）

円周角の定理（１）中心角∠ＢＯＣは円周角∠ＢＡＣの２倍の大きさになります。
なぜそうなるのかの証明は、図に書いてある記号と補助線を参考に自分で考えてみてください。





２、円周角の定理（２）

円周角の定理（２）同じ弧の円周角、∠ＢＡＣと∠ＢＤＣは常に等しくなります。
円周角の定理（１）を使うと簡単に証明できます。補助線を参考に自分で考えてみてください。





３、内接四角形の定理

内接四角形の定理円に内接する四角形があるとき、∠ＢＡＤ＝∠ＤＣＸ、∠ＢＡＤ+∠ＢＣＤ＝１８０度となります。
なぜそうなるかは、円周角の定理（１）を使うと証明できます。補助線を参考に考えてみてください。



４、接弦定理

接弦定理円に接する直線ＢＸと、接点Ｂを通る弦ＡＢ、ＢＣがあるとき、∠ＣＢＸ＝∠ＢＡＣ。
接線と弦があるとき成り立つ定理なので接弦定理とよばれます。
接弦定理が成り立つことの証明は、ややむずかしめですが、左図の記号と補助線を使えば証明できます。


以上４つの円に関する定理を念頭において、円と相似がからんだ問題を解いていきましょう。


例題１：

円と相似（２）円Ｏの周上に、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがある。線分ＡＣと線分ＢＤの交点をＥとし、線分ＡＤの延長線と線分ＢＣの延長線との交点をＦとする。このとき、次の問いに答えなさい。（和歌山開智高）
（１）∠ＡＥＢ＝７５度、∠ＤＢＣ＝２４度のとき、∠ＡＤＥの大きさを求めなさい。

解き方：

（１）の１仮定の∠ＡＥＢ＝７５度、∠ＤＢＣ＝２４度を図に記入したあと、それからわかる角度を書き込んでいきます。
このとき、やみくもに探してはだめです。図から浮かんでくる円の定理を念頭において、その導きで（円周角の定理を使うことに狙いをしぼって）探します。

∠ＡＣＢ+∠ＤＢＣ（２４度）＝∠ＡＥＢ（７５度）。
よって、∠ＡＣＢ＝５１度。
弧ＡＢの円周角だから、∠ＡＣＢ（=５１度）＝∠ＡＤＥ＝５１度。

これが多分、もっとも手っ取り早い解法ですが、∠ＣＡＤ（＝∠ＤＢＣ）＝２４度からも見つけられますし、∠ＤＥＣ＝７５度を使って見つけることもできます。


（２）△ＡＢＦと△ＣＤＦは相似である。このときの相似条件を答えなさい。

解き方：

（１）の２辺の長さが書いてないので、９分９厘、相似条件の３番目、「２組の角がそれぞれ等しい」ですが、確認しておきましょう。

△ＡＢＦと△ＣＤＦで、
共通に含まれる角だから∠ＡＦＢ＝∠ＣＦＤ・・・（１）
内接四角形の定理より∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＦ・・・（２）
内接四角形の定理を使うと∠ＦＢＡ＝∠ＦＤＣもいえます。（２’）
（１）と（２）または（２’）より、やはり「２組の角がそれぞれ等しい」でした。


もし、内接四角形の定理を知らなかったら

内接四角形の定理を習っていなくても（内接四角形の定理は、教科書の必修事項ではありません）、２組の角が等しいことを何とか見つけようと諦めずに頑張れば、方法はあります。

上の図において、円周角の定理より等しいといえる角にマル印と×印をつけておきました。
△ＡＢＤの内角の和は１８０度ですから、∠ＢＡＦ＝１８０度−∠ＡＤＢ（マル）−∠ＡＢＤ（×）です。
また、１直線が１８０度であることより、∠ＤＣＦ＝１８０度−∠ＡＣＢ（マル）−∠ＡＣＤ（×）です。
これで、∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＦを、内接四角形の定理を使わないで見つけられます。



（３）ＡＢ＝６ｃｍ、ＣＤ＝３ｃｍ、ＣＦ＝６ｃｍ、ＤＦ＝４ｃｍのとき、次のものを求めなさい。
（１）の３１、ＡＤの長さ
２、ＡＥ：ＤＥ
３、ＡＥ：ＥＣ







解き方：

１、ＡＤの長さ
数学の大原則、「（２）を利用して（３）を解く」より、△ＣＤＦ∽△ＡＢＦを活用します。
ＣＤ：ＢＡ＝３：６＝１：２より、△ＣＤＦと△ＡＢＦの相似比は１：２です。そして、△ＣＤＦの３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍなので、△ＡＢＦの辺の長さは、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＦ＝８ｃｍ、ＡＦ＝１２ｃｍ。
よって、ＡＤ＝１２−４＝８ｃｍ。

２、ＡＥ：ＤＥ
ＡＥとＤＥの２辺を含む三角形は△ＡＥＢと△ＤＥＣです。この２つの三角形は、「２組の角がそれぞれ等しい」ので相似です。
その相似比は、ＡＢ：ＣＤ＝６：３＝２：１。
よって、ＡＥ：ＤＥ＝２：１

３、ＡＥ：ＥＣ
同じように、ＡＥ、ＥＣが含まれる相似な三角形の組を見つけます。
△ＡＥＤと△ＢＥＣです。
相似比は、ＡＤ：ＢＣ＝８：２＝４：１。
しかし、これで言えるのは、ＤＥ：ＥＣ＝４：１で、ＡＥ：ＥＣではありません。

ううん、どうしようってなったときの最終兵器が、「前の問題で解いたことを使え！」です。
一つ前のＡＥ：ＤＥ＝２：１は、実はここで使うために求めたのです。
ＤＥ：ＥＣ＝４：１で、ＡＥはＤＥの２倍だから、ＡＥ：ＥＣ＝８：１。



例題２：

円と相似（１）円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ＡＤ＝５ｃｍ、ＢＣ＝７ｃｍ、ＣＡ＝８ｃｍとする。また、対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。次の問いに答えなさい。（大阪桐蔭高）
（１）△ＡＢＥ∽△ＡＣＢであることを証明しなさい。
（２）ＣＤの長さを求めなさい。






（１）△ＡＢＥ∽△ＡＣＢの証明

解き方：

（２）の１やはり、「２組の角がそれぞれ等しい」が言えるのではないか、から出発します。
共通に含まれる角が、１つあります。
また、弦ＡＢ＝弦ＡＤ＝５ｃｍより、弧ＡＢ＝弧ＡＤと言えますから、それぞれの円周角４つすべてが等しいことも見つかります。
これで、方針が立ったので、あとは落ち着いて証明を書くだけです。

（証明）△ＡＢＥと△ＡＣＢにおいて、
共通に含まれる角なので、∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＢ・・・（１）
弦ＡＢ＝弦ＡＤより弧ＡＢ＝弧ＡＤ
弧ＡＢ＝弧ＡＤより、それぞれの円周角は等しいから∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ・・・（２）
（１）、（２）より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ


（２）ＣＤの長さ

解き方：

（２）の２いろいろ考えるより、ここでも、大原則「（１）を使って（２）を解く」に解き方をしぼってしまうことがもっとも有効です。
つまり、（１）で証明した、△ＡＢＥ∽△ＡＣＢを利用して解こうと決めてしまいます。
そして、△ＡＣＢは３辺の長さがすべてわかっていますから、△ＡＢＥの辺、ＡＥ、ＢＥの長さを求めることができるはずです。

また、等しい角に印をつけておくことで、ｘを含む△ＣＤＥと△ＣＡＢが相似であることがわかります。

以上の考察を経て、次のように解いていきます。

△ＡＢＥ∽△ＡＣＢより、ＡＥ：５＝５：８
比例式を解いてＡＥ＝２５／８

そうすると、ＣＥ＝８−２５／８＝３９／８

△ＣＤＥ∽△ＣＡＢより、ｘ：８＝３９／８：７
７ｘ＝３９
ｘ＝３９／７ｃｍ
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