円の問題でも、直角三角形を見つけることで三平方の定理を使って問題を解くことができます。


弦と三平方の定理

例題：円Ｏに１２ｃｍの弦をひいたとき、中心Ｏからの距離が４ｃｍになった。この円の半径を求めなさい。

円と弦（円の定理：弦に垂直な半径は弦を二等分する。弦の垂直二等分線は円の中心を通る。）






直角三角形を見つけて、三平方の定理を使います。

円と弦解き方











円の接線と三平方の定理

例題：半径２と半径１で、中心と中心との距離が４の２つの円Ｏ、Ｏ’がある。２つの円の共通接線がＰ、Ｑで円と接するとき、ＰＱの長さを求めなさい。

２つの円（円の定理：接線と接点を通る半径は垂直に交わる。）






２つの円の解き方Ｏ’を通り、ＰＱに平行な直線をひき、ＯＰの延長との交点をＲとします。
求めたいＰＱをｘとすると、Ｏ’Ｒもｘ。

２つの円の式










三角形と内接円

重要例題１：図のように∠Ａ＝６０度、∠Ｃ＝９０度の直角三角形ＡＢＣに内接する半径１の円Ｏがある。辺ＢＣ、ＡＣ、ＡＢとの接点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとするとき、次の問いに答えなさい。
内接円
（１）線分ＡＥの長さを求めなさい。

（２）線分ＢＦの長さを求めなさい。

（３）色をつけた部分の面積を求めなさい。




（１）
内接円（１）△ＡＦＯと△ＡＥＯにおいて
接線は接点を通る半径に垂直だから∠ＡＦＯ＝∠ＡＥＯ＝９０度・・・（１）
共通にふくまれる辺だからＡＯ＝ＡＯ・・・（２）
半径の長さは等しいからＯＦ＝ＯＥ・・・（３）
（１）（２）（３）より、直角三角形で斜辺と他の１辺が等しいので
△ＡＦＯ≡△ＡＥＯ

したがって、∠ＦＡＯ＝∠ＥＡＯ＝３０度
だから、ＯＥ：ＡＯ：ＡＥ＝１：２：√３
よってＡＥ＝√３

（２）
内接円（２）△ＡＢＣで、ＡＣ：ＡＢ：ＢＣ＝１：２：√３
ＡＣ＝√３＋１だから
ＡＢ＝（√３＋１）×２＝２√３＋２
ＡＦ＝ＡＥ＝√３だから
ＢＦ＝ＡＢ−ＡＦ
＝２√３＋２−√３
＝２＋√３




（３）
まず、影のついた部分や斜線部の面積を求めるときは、大きな図形から不要な部分をひくのが原則です。
次に、私たちが求めることのできる面積は、三角形とおうぎ形くらいしかありません。

だから、色のついた面積を求めるには、四角形ＡＦＯＥから弧ＦＥのおうぎ形をひけばよいことがわかります。
この問題では、∠ＡＯＥ＝６０度なので、おうぎ形の中心角ＦＯＥ＝１２０度です。

内接円と面積



















重要例題２：辺の長さが３、４、５の△ＡＢＣに内接する円の半径を求めなさい。
内接円の２










解き方１：辺で等式をつくる
内接円の２（１）中心と接点Ｄ、Ｅを結びます。
半径のＯＤ＝ＯＥ＝ｘとすると、ＤＣ＝ＥＣ＝ｘ

ＡＥ＝３−ｘだから、ＡＦ＝３−ｘ
ＢＤ＝４−ｘだから、ＢＦ＝４−ｘ

辺ＡＢで等式ができます。

４−ｘ＋３−ｘ＝５
−２ｘ＝−２
ｘ＝１

内接円のときの書き込みの仕方を知っておかないといけません。
三角形から見たら内接円ですが、円から見たら三角形の各辺は接線です。
接線の性質、「接線は接点を通る半径と垂直である」を利用するためには、上のような書き込みの仕方しかありません。


解き方２：面積で等式をつくる

三平方の定理の２（２）△ＡＢＣの面積は２通りの方法で表わすことができます。

まず、底辺４、高さ３の三角形と見ることができますから、４×３×１／２＝６
△ＡＢＣの面積は６とわかりました。

次に△ＡＢＣは、△ＡＢＯと△ＢＣＯと△ＣＡＯの、３つの三角形の合計と考えることもできます。
このことを式に表わすと、
内接円の２（２）











以上から方程式をつくります。

６ｘ＝６
ｘ＝１


この解き方も、知っておかないといけません。
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