直方体の対角線
直方体の内部を通る、頂点と頂点を結ぶ線分が直方体の対角線です。
縦の長さがa、横の長さがｂ、高さがｃの直方体の対角線を、三平方の定理を使って求めてみましょう。
まず、線分ＢＤの長さを求めます。
△ＡＢＤは直角三角形だから、三平方の定理より
次に直方体の対角線ＢＨの長さを求めます。
△ＢＨＤは∠ＢＤＨ＝９０度の直角三角形です。よって、
つまり、縦がa、横がｂ、高さがｃの直方体の対角線の式は、
です。
重要例題１：ＡＢ＝ＡＤ＝４、ＡＥ＝６の直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＨの中点である。四角形ＡＰＧＱで直方体を切断するとき、次の問いに答えなさい。
（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さと面積を求めなさい。
（２）切断された頂点Ｃを含むほうの立体の体積を求めなさい。
（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さ
△ＡＱＤは∠ＡＤＱ＝９０度の直角三角形であり、ＡＤ＝４、ＤＱ＝３より、ＡＱ＝５
同様にＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝５
よって周の長さは２０
四角形ＡＰＧＱの面積
四角形ＡＰＧＱは、ＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝ＱＡより、ひし形です。
面積は対角線×対角線÷２で求めることができます。
ひし形ＡＰＧＱの対角線ＡＧは、直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの対角線でもあります。
よって、公式
より
また、もう一つの対角線ＰＱはＢＤと等しくなりますから、ＡＢ：ＡＤ：ＢＤ＝１：１：√２を使ってＢＤ＝４√２
以上より、四角形ＡＰＧＱの面積は、２√１７×４√２×１／２＝４√３４
（２）四角形ＡＰＧＱで切断された立体の体積
もとの直方体の体積の半分です。
４×４×６×１／２＝４８
円錐と三平方の定理
円錐で知っておいたほうがよいこと
体積は底面積×高さ×１／３で求められます。
表面積＝底面積＋側面積です。
底面積＝ｒ×ｒ×π、こちらは簡単ですが、側面積は少々やっかいです。
側面積の求め方１：
円錐の展開図で考えます。
中１のとき、おうぎ形の面積を求める公式、半径×弧×１／２を習いました。
側面積Ｓはおうぎ形なので、半径にあたる母線ｌ×弧（赤い線）×１／２で求めることができます。
そして、赤い線の弧の長さは下の小さい円Ｏｓの円周と等しくなります。
以上より、側面積Ｓ＝おうぎ形の半径ｌ（円錐の母線）×おうぎ形の弧（底面の円周）×１／２
Ｓ＝ｌ×２πｒ×１／２
＝ｌ×ｒ×π
側面積の求め方２：
やはり円錐の展開図で考えます。
円Ｏ（点線の円）の面積は半径ｌ×ｌ×πです。
側面積であるおうぎ形は、その円の一部です。
円の何分のいくらかを考えます。
円周に対する弧の割合がわかれば、円の何分のいくらかがわかります。
円Ｏの円周は直径×π、ｌ×２×π。
弧の長さは小さい円Ｏｓの円周と等しいのでｒ×２×π。
以上より、おうぎ形の面積は円Ｏの面積のｒ×２×π／ｌ×２×π、つまりｒ／ｌにあたることがわかります。
円Ｏの面積はｌ×ｌ×πですから、おうぎ形の面積はそのｒ／ｌ、すなわちｌ×ｌ×π×ｒ／ｌ＝ｌ×ｒ×π
よって側面積Ｓ＝ｌ×ｒ×π
いずれにしても、側面積は、ｌ×ｒ×π（母線×半径×π）と、公式化して覚えておいたほうがよいように思います。
円錐の体積と表面積
左図の、底面の半径３、母線の長さ９の円錐の場合、
体積は、底面積×高さ×１／３より
高さをｘとすると、三平方の定理より６√２
３×３×π×６√２×１／３
＝１８√２π
表面積は、側面積＋底面積より
９×３×π＋３×３×π
＝３６π
重要例題２：底面の半径が５、母線の長さが１３の円錐に球が内接している。球の半径を求めなさい。
（解き方）円錐の高さＡＤは１２（５：１２：１３の直角三角形であることに気づくと瞬時に求められます）。
また、△ＡＢＤと△ＡＯＰは
∠ＡＤＢ＝∠ＡＰＯ＝９０度
∠ＢＡＤ＝∠ＯＡＰ
より△ＡＢＤ∽△ＡＯＰ
対応する辺の比が等しいので
ＡＢ：ＡＯ＝ＢＤ：ＯＰ
すなわち、１３：（１２−ｒ）＝５：ｒ
５（１２−ｒ）＝１３ｒ
６０−５ｒ＝１３ｒ
−１８ｒ＝−６０
ｒ＝１０／３
（俊英塾Ｕ先生の別解）
△ＡＢＣの面積は１０×１２×１／２＝６０
また、△ＡＢＣ＝△ＡＢＯ＋△ＯＢＣ＋△ＡＯＣ
半径をｒとすると
１３×ｒ×１／２＋１０×ｒ×１／２＋１３×ｒ×１／２
＝（１３＋１０＋１３）×ｒ×１／２
＝３６×ｒ×１／２
＝１８×ｒ
以上より等式をつくり
１８ｒ＝６０
ｒ＝１０／３
「高１で習う数Ａで、Ｓ＝１／２（a＋b＋c）ｒという公式が出てきます」とのことです。
最短距離と三平方の定理
まわって進むよりまっすぐ進むほうが近道です。
２点の最短距離は２点を通る線分をひくことで求められます。
空間図形でも原理はかわりません。
左の直方体で頂点から頂点へ糸をぴんと張ったとき（このとき糸の長さは最も短くなります）、糸は直線になっています。
空間図形では直線であることがわかりにくいので、展開図をかいて平面で考えたらわかりやすくなります（空間図形の問題を解くときは平面にして取り出して考えるのが基本です）。
この展開図ではすべての面を記入しましたが、実際に問題を解くときは必要な面だけ（青色の線の部分）をかけば十分です。
直角三角形ができるので、三平方の定理を使うことができます。
重要例題３：底面の半径BOが３、母線の長さＡＢが６の円錐がある。母線ＡＣの中点をＰとする。
（１）点Ｂから点Ｃまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。
（２）点ＢからＰまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。
（解き方）展開図をかきます。
母線が６、底面の半径が３で２：１なので、側面の中心角は１８０度になります。
展開図上、直線で表された部分が最短の長さになります。
（１）線分ＡＢ＝６、ＡＣ＝６の直角三角形で１：１：√２が使えるので線分ＢＣ＝６√２
（２）ＡＢ＝６、ＡＰ＝３の直角三角形。ＢＰの長さをｘとして三平方の定理を使う。
計算すると、ＢＰ＝３√５
体積を２通りの方法で求めて等式をつくって解く問題
重要例題４：１辺が６の立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。次の問いに答えなさい。
（１）３点Ａ、Ｆ、Ｃを頂点とする△ＡＦＣの面積を求めなさい。
（２）三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を求めなさい。
（３）点Ｂから面ＡＦＣにひいた垂線ＢＨの長さを求めなさい。
（解き方）空間図形でもっともよく出る問題の１つです。
（１）△ＡＦＣは、正方形の対角線を３辺とする三角形なので正三角形です。１：２：√３を使って、まず高さ、それから面積を求めます。
簡単に正三角形の図をかいて求めます。
１：１：√２よりＡＣ＝ＡＦ＝ＦＣ＝６√２
正三角形の高さは、１：２：√３より３√６
面積＝６√２×３√６×１／２＝９√１２＝１８√３
（２）よく出題される問題です。
三角錐Ｂ−ＡＦＣと書いてあっても、三角形ＡＦＣを絶対の底面だと思う必要はありません。
面ＡＢＣと辺ＢＦが垂直ですから、面ＡＢＣが底面で、ＢＦを高さと見ることもできます。
「見方をかえて」解く問題です。
三角錐なので体積＝底面積×高さ×１／３。
底面積ＡＢＣ＝６×６×１／２＝１８
高さは６
よって１８×６×１／３＝３６
（３）１番の、△ＡＦＣを正三角形とわかること、その正三角形の面積を求めること、２番の三角錐の体積を上手に求めること、どれも重要で良い問題ですが、さらに、その結果を活用するよくできた問題です。
（２）で、すでに三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積はわかっています。
ところが、見方をかえて、△ＡＦＣをこの三角錐の底面と見ると、今度はＢＨが高さになります。
つまり、三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を２通りの式で表せるわけで、等式をつくることができますから、方程式と考えて解くことができます。
底面積を△ＡＦＣと考え、高さのＢＨをｈとすると、三角錐の体積は１８√３×ｈ×１／３
底面積を△ＡＢＣと考えると体積は（２）より３６
等式にして
６√３ｈ＝３６
ｈ＝３６／６√３
ｈ＝６／√３
分母を有理化して
ｈ＝２√３
（Ｕ先生に教えられてわかったのですが、Ｈの記号を別々の２箇所に使ってしまっていました。後日、訂正します。）
直方体の内部を通る、頂点と頂点を結ぶ線分が直方体の対角線です。
縦の長さがa、横の長さがｂ、高さがｃの直方体の対角線を、三平方の定理を使って求めてみましょう。
まず、線分ＢＤの長さを求めます。△ＡＢＤは直角三角形だから、三平方の定理より
次に直方体の対角線ＢＨの長さを求めます。
△ＢＨＤは∠ＢＤＨ＝９０度の直角三角形です。よって、
つまり、縦がa、横がｂ、高さがｃの直方体の対角線の式は、
です。
重要例題１：ＡＢ＝ＡＤ＝４、ＡＥ＝６の直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＨの中点である。四角形ＡＰＧＱで直方体を切断するとき、次の問いに答えなさい。
（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さと面積を求めなさい。
（２）切断された頂点Ｃを含むほうの立体の体積を求めなさい。
（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さ
△ＡＱＤは∠ＡＤＱ＝９０度の直角三角形であり、ＡＤ＝４、ＤＱ＝３より、ＡＱ＝５
同様にＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝５
よって周の長さは２０
四角形ＡＰＧＱの面積
四角形ＡＰＧＱは、ＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝ＱＡより、ひし形です。面積は対角線×対角線÷２で求めることができます。
ひし形ＡＰＧＱの対角線ＡＧは、直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの対角線でもあります。
よって、公式
より
また、もう一つの対角線ＰＱはＢＤと等しくなりますから、ＡＢ：ＡＤ：ＢＤ＝１：１：√２を使ってＢＤ＝４√２
以上より、四角形ＡＰＧＱの面積は、２√１７×４√２×１／２＝４√３４
（２）四角形ＡＰＧＱで切断された立体の体積
もとの直方体の体積の半分です。
４×４×６×１／２＝４８
円錐と三平方の定理
円錐で知っておいたほうがよいこと
体積は底面積×高さ×１／３で求められます。表面積＝底面積＋側面積です。
底面積＝ｒ×ｒ×π、こちらは簡単ですが、側面積は少々やっかいです。
側面積の求め方１：
円錐の展開図で考えます。中１のとき、おうぎ形の面積を求める公式、半径×弧×１／２を習いました。
側面積Ｓはおうぎ形なので、半径にあたる母線ｌ×弧（赤い線）×１／２で求めることができます。
そして、赤い線の弧の長さは下の小さい円Ｏｓの円周と等しくなります。
以上より、側面積Ｓ＝おうぎ形の半径ｌ（円錐の母線）×おうぎ形の弧（底面の円周）×１／２
Ｓ＝ｌ×２πｒ×１／２
＝ｌ×ｒ×π
側面積の求め方２：
やはり円錐の展開図で考えます。円Ｏ（点線の円）の面積は半径ｌ×ｌ×πです。
側面積であるおうぎ形は、その円の一部です。
円の何分のいくらかを考えます。
円周に対する弧の割合がわかれば、円の何分のいくらかがわかります。
円Ｏの円周は直径×π、ｌ×２×π。
弧の長さは小さい円Ｏｓの円周と等しいのでｒ×２×π。
以上より、おうぎ形の面積は円Ｏの面積のｒ×２×π／ｌ×２×π、つまりｒ／ｌにあたることがわかります。
円Ｏの面積はｌ×ｌ×πですから、おうぎ形の面積はそのｒ／ｌ、すなわちｌ×ｌ×π×ｒ／ｌ＝ｌ×ｒ×π
よって側面積Ｓ＝ｌ×ｒ×π
いずれにしても、側面積は、ｌ×ｒ×π（母線×半径×π）と、公式化して覚えておいたほうがよいように思います。
円錐の体積と表面積
左図の、底面の半径３、母線の長さ９の円錐の場合、体積は、底面積×高さ×１／３より
高さをｘとすると、三平方の定理より６√２
３×３×π×６√２×１／３
＝１８√２π
表面積は、側面積＋底面積より
９×３×π＋３×３×π
＝３６π
重要例題２：底面の半径が５、母線の長さが１３の円錐に球が内接している。球の半径を求めなさい。
（解き方）円錐の高さＡＤは１２（５：１２：１３の直角三角形であることに気づくと瞬時に求められます）。
また、△ＡＢＤと△ＡＯＰは
∠ＡＤＢ＝∠ＡＰＯ＝９０度
∠ＢＡＤ＝∠ＯＡＰ
より△ＡＢＤ∽△ＡＯＰ
対応する辺の比が等しいので
ＡＢ：ＡＯ＝ＢＤ：ＯＰ
すなわち、１３：（１２−ｒ）＝５：ｒ
５（１２−ｒ）＝１３ｒ
６０−５ｒ＝１３ｒ
−１８ｒ＝−６０
ｒ＝１０／３
（俊英塾Ｕ先生の別解）
△ＡＢＣの面積は１０×１２×１／２＝６０
また、△ＡＢＣ＝△ＡＢＯ＋△ＯＢＣ＋△ＡＯＣ
半径をｒとすると
１３×ｒ×１／２＋１０×ｒ×１／２＋１３×ｒ×１／２
＝（１３＋１０＋１３）×ｒ×１／２
＝３６×ｒ×１／２
＝１８×ｒ
以上より等式をつくり
１８ｒ＝６０
ｒ＝１０／３
「高１で習う数Ａで、Ｓ＝１／２（a＋b＋c）ｒという公式が出てきます」とのことです。
最短距離と三平方の定理
まわって進むよりまっすぐ進むほうが近道です。
２点の最短距離は２点を通る線分をひくことで求められます。
空間図形でも原理はかわりません。
左の直方体で頂点から頂点へ糸をぴんと張ったとき（このとき糸の長さは最も短くなります）、糸は直線になっています。空間図形では直線であることがわかりにくいので、展開図をかいて平面で考えたらわかりやすくなります（空間図形の問題を解くときは平面にして取り出して考えるのが基本です）。
この展開図ではすべての面を記入しましたが、実際に問題を解くときは必要な面だけ（青色の線の部分）をかけば十分です。直角三角形ができるので、三平方の定理を使うことができます。
重要例題３：底面の半径BOが３、母線の長さＡＢが６の円錐がある。母線ＡＣの中点をＰとする。
（１）点Ｂから点Ｃまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。（２）点ＢからＰまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。
（解き方）展開図をかきます。
母線が６、底面の半径が３で２：１なので、側面の中心角は１８０度になります。
展開図上、直線で表された部分が最短の長さになります。
（１）線分ＡＢ＝６、ＡＣ＝６の直角三角形で１：１：√２が使えるので線分ＢＣ＝６√２
（２）ＡＢ＝６、ＡＰ＝３の直角三角形。ＢＰの長さをｘとして三平方の定理を使う。
計算すると、ＢＰ＝３√５
体積を２通りの方法で求めて等式をつくって解く問題
重要例題４：１辺が６の立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。次の問いに答えなさい。
（１）３点Ａ、Ｆ、Ｃを頂点とする△ＡＦＣの面積を求めなさい。
（２）三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を求めなさい。
（３）点Ｂから面ＡＦＣにひいた垂線ＢＨの長さを求めなさい。
（解き方）空間図形でもっともよく出る問題の１つです。
（１）△ＡＦＣは、正方形の対角線を３辺とする三角形なので正三角形です。１：２：√３を使って、まず高さ、それから面積を求めます。
簡単に正三角形の図をかいて求めます。
１：１：√２よりＡＣ＝ＡＦ＝ＦＣ＝６√２正三角形の高さは、１：２：√３より３√６
面積＝６√２×３√６×１／２＝９√１２＝１８√３
（２）よく出題される問題です。
三角錐Ｂ−ＡＦＣと書いてあっても、三角形ＡＦＣを絶対の底面だと思う必要はありません。
面ＡＢＣと辺ＢＦが垂直ですから、面ＡＢＣが底面で、ＢＦを高さと見ることもできます。
「見方をかえて」解く問題です。
三角錐なので体積＝底面積×高さ×１／３。
底面積ＡＢＣ＝６×６×１／２＝１８
高さは６
よって１８×６×１／３＝３６
（３）１番の、△ＡＦＣを正三角形とわかること、その正三角形の面積を求めること、２番の三角錐の体積を上手に求めること、どれも重要で良い問題ですが、さらに、その結果を活用するよくできた問題です。
（２）で、すでに三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積はわかっています。
ところが、見方をかえて、△ＡＦＣをこの三角錐の底面と見ると、今度はＢＨが高さになります。
つまり、三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を２通りの式で表せるわけで、等式をつくることができますから、方程式と考えて解くことができます。
底面積を△ＡＦＣと考え、高さのＢＨをｈとすると、三角錐の体積は１８√３×ｈ×１／３
底面積を△ＡＢＣと考えると体積は（２）より３６
等式にして
６√３ｈ＝３６
ｈ＝３６／６√３
ｈ＝６／√３
分母を有理化して
ｈ＝２√３
（Ｕ先生に教えられてわかったのですが、Ｈの記号を別々の２箇所に使ってしまっていました。後日、訂正します。）
これを参考にして勉強頑張ります