中学生が知っておかないといけない作図の基本形は4つです。
(1)線分の垂直二等分線、(2)角の二等分線、(3)垂線、(4)三角形。

作図を習い始める中学1年生だと、「なぜそうなるか」はわからないままに、先に作図の仕方を覚えることになります。

作図をするときの約束事

どう作図しようと自由なはずですが、数学の約束事として次のように決まっています。
(1)定規とコンパスだけを使う。
(2)定規は、線をひくのに使えるだけで、長さを測るのには使えない。
(3)角度を分度器で測ることはできない(数学では分度器を使いません)。
(4)答えをかいただけでは正解にならない。作図に使った線はすべて残しておかないといけない(消したら×になる)。


線分の垂直二等分線

線分ABの垂直二等分線のかきかた

垂直二等分線(1)線分ABの、Aを中心に円をかく
(2)等しい半径で、Bを中心に円をかく
(3)2つの円の交点、PとQを結ぶ

こうしてかいた直線PQが、線分ABの垂直二等分線になります。







(中2・中3範囲:なぜ垂直二等分線になるのか?)

△APQと△BPQにおいて、
等しい半径の円をかいたからAP=BP、AQ=BQ
PQは両方の三角形に共通な辺だからPQ=PQ
以上より、3辺の長さが等しいので△APQ≡△BPQ
よって、∠APQ=∠BPQ

今度は△APOと△BPOで、等しい長さの半径だからAP=BP、
∠APQ=∠BPQだから∠APO=∠BPO
共通に含まれるから辺PO=辺PO
よって2辺とその間の角が等しいので△APO≡△BPO

合同な図形の対応する角は等しいから∠POA=∠POB
180度の角を等しく分けるから∠POA=∠POB=90度
合同な図形の対応する辺も等しいからAO=BO
以上より、PQは、線分ABを垂直に二等分する




角の二等分線

∠XOYの二等分線のかきかた

角の二等分線
(1)頂点Oを中心とする円をかき、OX、OYとの交点をA、Bとする
(2)点Aを中心とする円をかき、次にその円と同じ半径で点Bを中心とする円をかき、2つの円の交点をPとする
(3)OとPを結び、半直線OPをかく

こうしてかいた半直線OPは、∠XOYを二等分します。



(中2・中3範囲:なぜ角の二等分線になるのか?)

△AOPと△BOPにおいて
同じ円の半径だからOA=OB
等しい半径で円をかいたからAP=BP
2つの三角形に共通にふくまれる辺だからOP=OP
以上より、3辺がそれぞれ等しいので△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいので∠AOP=∠BOP
つまり、OPは∠XOPの二等分線である



垂線

点O、点Qを通り、直線Lに垂直な直線のかきかた

垂線直線L上にある点Oを通る垂線のかきかた

(1)点Oを中心とする円をかき、Lとの交点をA、Bとする
(2)点Aを中心とする円をかき、次に等しい半径で点Bを中心とする円をかき、2つの円の交点をPとする(このとき、OA、OBより大きい半径の円をかかないといけません。コンパスを広げないままかいてしまうと、Oで交わるだけで点Pを見つけることができません。)
(3)OとPを結ぶ直線をかく

直線OP⊥直線Lになります。


直線L上にない点Qを通る垂線のかきかた

(1)やはり点Qを中心とする円をかき、直線Lとの交点をC、Dとする
(2)点Cを中心とする円をかき、次に等しい半径で点Dを中心とする円をかき、2つの円の交点をRとする。
(3)QとRを結ぶ直線をかく

直線QR⊥直線Lになります。


(中2・中3範囲:なぜ垂線になるのか?)

角の二等分線や垂直二等分線と同様に、三角形の合同から証明できます。



以上3種類、線分の垂直二等分線、角の二等分線、垂線が、中学校で習う作図法ですが、小学校で習った三角形の作図の仕方を中学校でも使うことがあります。


三角形の作図

3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形ABCのかきかた

三角形の作図
(1)1つの辺、例えば5cmを底辺にかく
(2)コンパスを定規にあてて3cmをとり、線分BCの一端を中心に3cmを半径に円をかく
(3)同様に、線分の他方の端を中心に半径4cmの円をかき、2つの円の交点を見つける
(4)見つけた交点と底辺の両端を結ぶ



(三角形の作図のときだけは、コンパスを使ってではありますが、定規で長さを測りとることが許されます。許される理由はわかりません(多分、小学校範囲だからでしょう)。)


以上の4種類の作図の仕方だけを使って、すべての作図の問題を解いていきます。


作図の問題を解くために知っておかないといけない重要事項

1、2点から等しい距離にある点は垂直二等分線上にある

例題1:直線L上にあって、2点ABから等しい距離になる点Pを作図によって求めよ。
2点から等距離









(解答)
2点から等距離(2)線分ABの垂直二等分線をかき、直線Lとの交点をを見つけます。
その点がPです。







(理由)
2点から等距離(3)点A、点Bから等しい距離にある点をQとします。
ABの中点をMとすると、考えられる点Qがどこにあろうと、AQ=BQが成り立つためには△AMQ≡△BMQでないといけません。
だから、AM=BM、∠AMQ=BMQ。
つまり、点Qは必ず垂直二等分線上です。

この問題には条件が2つありました。

直線L上のどこかであって、線分ABの垂直二等分線上のどこかであること、この2つの条件をみたす点は、2つの直線の交点しかありません。


2、2辺から等しい距離にある点は角の二等分線上にある

例題2:△ABCで、辺AC上にあって、辺AB、BCから等しい距離にある点Pを作図によって求めよ。
2辺から等距離










(解答)
2辺から等距離(2)∠ABCの二等分線をかき、辺ACとの交点を求めます。
その点がPです。









(理由)
2辺から等距離(3)
直線や辺から点までの距離とは、最短距離、すなわち、点から辺までの垂線の長さをいいます。

図の、DQとEQの長さが2辺、AB・BCから点Qまでの距離です。DQ、EQが等しいとき、△BDQ≡△EBQになります。
したがって、つねに∠DBQ=∠EBQであり、つまり、Qは∠ABCの二等分線上にあるというこです。

辺AC上という条件と、∠ABCの二等分線上という条件の、2つの条件をみたす点Pは、2つの直線の交点しかありません。


3、三角形の高さ

例題3:△ABCの底辺をBCとするとき、この三角形の高さを表す線分AHを作図せよ。
三角形の高さ









(解答)
三角形の高さ(2)点Aから底辺BCにひいた垂線の長さが高さですから、点Aから垂線をひきます。
この図の場合、BCを延長した線をひかないと作図できません。その延長した直線に、点Aから垂線をひきます。