mathematics 平行と合同 証明の書き方（１）（何を、どう書くか）

数学でいう証明とは、「仮定をもとにして、結論が成り立つわけを、根拠を示して説明すること」です。

例題１：左の図で、ＡＢ＝ＣＢ、ＢＤは∠ＡＢＣの二等分線である。このとき、△ＡＢＤと△ＣＢＤは合同であることを証明しなさい。

解く前の準備：
証明の習い始めは、「仮定」、「結論」、「証明」の３つを書かされます（少し慣れると、「証明」の部分しか書きません）。
「〜ならば、・・・である」の、前の〜の部分が仮定、うしろの・・・の部分が結論だと習いますが、実際の証明問題では、「〜のとき」と書いてある〜の部分が仮定、「・・・である」と書いてある・・・の部分が結論です。
仮定も結論も、できるだけ式で書くのが原則です。
この問題では、
仮定・・・ＡＢ＝ＣＢ、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ
結論・・・△ＡＢＤ≡△ＣＢＤ
です。

数学の問題を解くとき、問題文に戻っては読み直して解くのは一番下手な解き方です。図だけを見て解けるようにしておかないと解けません。
ですから、この問題でも、問題を読んだとき仮定と結論を図に写しておきます。

まず、仮定を図に書き込みます。
左の図のような書き方が、「おすすめ」の記入の仕方です。
できるだけシンプルな、じゃまにならないような記入の仕方をします。






左の図のような記入の仕方はおすすめしません。まだ、この問題は簡単なのでよいのですが、複雑な問題になると、左図のような書き込みをすると、わけがわからなくなります。






次に結論ですが、結論は「書き込む」というより、「なぞる」ようにします。仮定と区別しておくべきです。


証明の書き方

数学では、なにごとを述べるにも、必ずその根拠が必要です。「〜だから・・・」の文法を崩してはいけません。

また、この問題のように２つの三角形の合同を証明するとき、「合同だ」といえる根拠は「合同条件が成り立つ」ことです。
その合同条件が成り立つ根拠は、「合同条件にあてはまる等しい部分を見つけた」ことです。
さらに、ある部分とある部分が等しいといえるには、やはり「等しいといえる根拠・理由」が必要です。

ですから、合同の証明をするには、最後の結論の前に合同条件、合同条件の前に合同条件にあてはまる等しいもの、その前に等しいといえる根拠というように、答えの最後である結論から逆算して、書くことが決まってきます。

つまり、証明を書き始める前に、ゴールから逆算して何を書くかを決めておかないといけません（これが、解いているうちに解けてしまう計算問題との一番の相違です）。

まとめると、合同の証明で書くべきことがらは、
（１）あるものとあるものが等しいといえる根拠
（２）合同条件にあてはまる等しいもの３つ（合同では必ず３つ必要です）
（３）（２）で見つけたもので合同条件が成り立つこと
（４）合同条件が成り立つから合同だという結論
ということになります。

解答を馬鹿丁寧に書くと・・・

（解答例１）今から△ＡＢＤと△ＣＢＤが合同であることを証明します。
まず、仮定でそう決まっているから、ＡＢ＝ＣＢ・・・（１）、
また、仮定の、ＢＤが∠ＡＢＣの二等分線ということから、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ・・・（２）、
さらに、辺ＢＤは△ＡＢＤと△ＣＢＤのどちらにもふくまれる共通な辺だからＢＤ＝ＢＤ・・・（３）
以上（１）（２）（３）の３つより、三角形の合同条件である「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」がいえたことになります。
合同条件が成り立っているので、△ＡＢＤと△ＣＢＤは合同です。

この書き方は、素晴らしいのですが、丁寧過ぎて時間がかかりそうです。それで、普通は次のような書き方をします。

（解答例２）△ＡＢＤと△ＣＢＤにおいて、
仮定よりＡＢ＝ＣＢ・・・（１）
同様に仮定から∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ・・・（２）
共通にふくまれるから（または、共通だから）ＢＤ＝ＢＤ・・・（３）
（１）（２）（３）より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ＡＢＤ≡△ＣＢＤ

例２のような書き方でもなかなか書けない人がいるので、学校の先生によっては次のような書き方をすすめる人もいます。

（解答例３）△ＡＢＤと△ＣＢＤにおいて、
ＡＢ＝ＣＢ（仮定）
∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ（仮定）
ＢＤ＝ＢＤ（共通）
２辺とその間の角がそれぞれ等しい
△ＡＢＤ≡△ＣＢＤ

私も証明の最初の授業のときだけは、

△〜と△〜において

〜＝〜
〜＝〜
〜＝〜

合同条件

△〜≡△〜

と、これだけ書けばいいのだよ、と教えますが、解答例３の書き方はあまりおすすめしません。
数学の根本である「〜だから・・・だ」という考え方を無視した書き方であることが最大の理由ですが、何人かの高校の先生にお聞きしたとき、入試では、解答例３の書き方だとほとんど点にならないと言われたのも大きな理由です。

前にきちんと根拠・理由を書く、解答例２の書き方が一番よい書き方だと思います。

Comments

[12. 。。。]

わかりやすかったです😊👍

[11. ヨッピー]

とても勉強になります
ありがとう

[10. リチウム]

わかりやすいです！
ありがとうございます

[9. ミク]

超分かる！

[7. 受験の夏]

ありがとうございました
受験勉強頑張りたいと思います

[6. ただの通りすがり]

丁寧な回答ありがとうございます。
大阪の公立は厳しいですね。

[5. アリ]

高校の先生がおっしゃるには、「数学は論理の学問である、Aが言えるからBが言える、BからCが導かれる、この論理の展開に飛躍があると減点、唐突にBが出てきたり、AからCに跳んでいたら減点である」。
当地、大阪府の公立高校入試問題はおそらく全国で一番難しいし、採点も厳密です。先に式を書いて、あとで()内に理由という書き方は、論理的な記述の訓練には不向きであるというのがおそらく理由だと思われます。
私ももっともだと思い、授業では先に理由を書くように指導しています。
この方法の欠点は、あらかじめ先の先まで見通せていないと記述しきれないことです。換言すると、相当数学の力がある子でないと無理です。それもあってか、学校では、式(理由)の記述を勧める先生がほとんどです。
また、最近、大阪府教育委員会が公表している模範解答にも式(理由)のものが一部ですが散見されるようになってきました。方針の転換があったのかどうかまでは不明です。

[4. ただの通りすがり]

> 何人かの高校の先生にお聞きしたとき、入試では、解答例３の書き方だとほとんど点にならないと言われた...
と記載がありますが、かなり驚いています。その理由は一体何なのでしょうか？個人的には一番シンプルで見やすいと思っていたんですが。

[3. 通りすがり]

なるほど-!
ありがとうございます、
他のも見て、勉強頑張りますね＾＾

[2. アリ]

計算問題は解いているうちに正解に到達します。
しかし、証明問題は違います。
例えば２つの三角形の合同を証明したいとき、到達目標は三角形の合同です。
ところが、その合同が言えるためには、その手前で三角形の合同条件が成り立つこと先に言っておく必要があります。
さらに、三角形の合同条件を言うには、合同条件は３つあるので、３つのうちのどれを言うのかをあらかじめ決断しておかないといけません。３つの合同条件のうち、例えば「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」が言えそうだと、あらかじめ決断しておかないと、証明を書き出すこともできません。
「ゴールから逆算する」というのは、そういうことです。

[1. 通りすがり]

初めまして-、、
今中２なんですけど、証明が全然分からなくて
困ってます＞＜
頭が悪いので変な質問かもしれませんが、
「ゴールから逆算する」ってどういう意味なんですか?
ほんとごめんなさい...