小学校で習った円周を求める公式は直径×３.１４、円の面積を求める公式は半径×半径×３.１４でした。
中学校では、半径をｒ、円周率をπ（パイ）で表す決まりなので、円周はｒ×２×π＝２πｒ（にぱいあーる）、
円の面積はｒ×ｒ×π＝
（ぱいあーるにじょう）と言います。
（私は、中学生も小学校式の円周＝直径×円周率、円の面積＝半径×半径×円周率をそのまま使ったほうがよいと思っています。そのほうが約分をしやすいからです。それで、この稿でも円周＝直径×π、円の面積＝半径×半径×πで記述しています。）
２つの半径と弧で囲まれた図形をおうぎ形といいます。
半径と半径がつくる角がおうぎ形の中心角です。
弧は円周の一部、おうぎ形の面積は円の面積の一部です。
だから、弧の長さを求めたいときは円周の何分のいくらかを求めたらよい、おうぎ形の面積を求めたいときは円の面積の何分のいくらかを求めたらよい、ということになります。
おうぎ形が円全体のどれだけにあたるかは、中心角からわかります。
円全体の中心角は３６０度ですから、例えばおうぎ形の中心角が１８０度であれば１８０度／３６０度で円全体の１／２、おうぎ形の中心角が１２０度であれば１２０度／３６０度で円全体の１／３、９０度であれば９０度／３６０度で円全体の１／４です。
中心角で円全体の何分のいくらかがわかるので、弧の長さを求める式は、直径×π×中心角／３６０であり、おうぎ形の面積を求める式は、半径×半径×π×中心角／３６０ということになります。
例題１：半径１２ｃｍ、中心角１３５度のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。
（解説と解答）
弧＝２４×π×１３５／３６０
＝２４×π×３／８・・・１３５／３６０の約分を先に
＝３×π×３・・・２４と８を先に約分
＝９π
面積＝１２×１２×π×１３５／３６０
＝１２×１２×π×３／８
＝３×６×π×３・・・分母の８と１２×１２を約分
＝５４π
角度の部分の約分を先にしておくほうが計算が楽になります。
方程式で解くおうぎ形の問題
例題２：次の各問いに答えよ。
（１）中心角が４５度、弧の長さが６πのおうぎ形の半径を求めよ。
（２）半径が６ｃｍ、面積が１６πのおうぎ形の中心角を求めよ。
（解説と解答）
（１）小学生流の、「中心角が４５度だから、円全体３６０度の８分の１で・・・」という発想でも解けますが、あまり感心しません。
中学生は、求めたいものをｘとして、方程式をたてて解いていきます。
半径をｘとすると、弧の長さを求める式、直径×π×中心／３６０より、
ｘ×２×π×４５／３６０＝６π
ｘ×２×π×１／８＝６π
分母の８が邪魔だから両辺を８倍して
２πｘ＝４８π
ｘ＝４８π／２π
ｘ＝２４
（２）（１）と同様に、求めたい中心角をｘとして、おうぎ形の面積の公式、半径×半径×π×中心角／３６０より、
６×６×π×ｘ／３６０＝１６π
６×６と分母の３６０を約分して
πｘ／１０＝１６π
両辺に１０をかけて
πｘ＝１６０π
ｘ＝１６０度
もう１つの公式
おうぎ形の面積Ｓは、半径をｒ、弧の長さをＬとすると、ｒ×Ｌ÷２で求めることもできます。
（なぜか）
半径ｒの円の円周はｒ×２×πです。
弧の長さがＬということは、このおうぎ形は円のＬ／２πｒだということです（円周全体に対する弧の割合で円の何分のいくらかがわかるから）。
以上より、このおうぎ形の面積は、円全体の面積、ｒ×ｒ×πの、Ｌ／２πｒ
ｒ×ｒ×π×Ｌ／２πｒ
＝ｒ×Ｌ／２・・・分母のπｒと約分して
すなわち、
最後に、解き方を知っておいたほうがよい問題を１問。
例題３：左の図は、１辺８ｃｍの正方形の中におうぎ形をかいたものであ
る。斜
線の部分の面積を求めよ。
中学校では、半径をｒ、円周率をπ（パイ）で表す決まりなので、円周はｒ×２×π＝２πｒ（にぱいあーる）、
円の面積はｒ×ｒ×π＝
（ぱいあーるにじょう）と言います。（私は、中学生も小学校式の円周＝直径×円周率、円の面積＝半径×半径×円周率をそのまま使ったほうがよいと思っています。そのほうが約分をしやすいからです。それで、この稿でも円周＝直径×π、円の面積＝半径×半径×πで記述しています。）
２つの半径と弧で囲まれた図形をおうぎ形といいます。
半径と半径がつくる角がおうぎ形の中心角です。
弧は円周の一部、おうぎ形の面積は円の面積の一部です。
だから、弧の長さを求めたいときは円周の何分のいくらかを求めたらよい、おうぎ形の面積を求めたいときは円の面積の何分のいくらかを求めたらよい、ということになります。
おうぎ形が円全体のどれだけにあたるかは、中心角からわかります。
円全体の中心角は３６０度ですから、例えばおうぎ形の中心角が１８０度であれば１８０度／３６０度で円全体の１／２、おうぎ形の中心角が１２０度であれば１２０度／３６０度で円全体の１／３、９０度であれば９０度／３６０度で円全体の１／４です。
中心角で円全体の何分のいくらかがわかるので、弧の長さを求める式は、直径×π×中心角／３６０であり、おうぎ形の面積を求める式は、半径×半径×π×中心角／３６０ということになります。
例題１：半径１２ｃｍ、中心角１３５度のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。
（解説と解答）
弧＝２４×π×１３５／３６０＝２４×π×３／８・・・１３５／３６０の約分を先に
＝３×π×３・・・２４と８を先に約分
＝９π
面積＝１２×１２×π×１３５／３６０
＝１２×１２×π×３／８
＝３×６×π×３・・・分母の８と１２×１２を約分
＝５４π
角度の部分の約分を先にしておくほうが計算が楽になります。
方程式で解くおうぎ形の問題
例題２：次の各問いに答えよ。
（１）中心角が４５度、弧の長さが６πのおうぎ形の半径を求めよ。
（２）半径が６ｃｍ、面積が１６πのおうぎ形の中心角を求めよ。
（解説と解答）
（１）小学生流の、「中心角が４５度だから、円全体３６０度の８分の１で・・・」という発想でも解けますが、あまり感心しません。
中学生は、求めたいものをｘとして、方程式をたてて解いていきます。
半径をｘとすると、弧の長さを求める式、直径×π×中心／３６０より、
ｘ×２×π×４５／３６０＝６π
ｘ×２×π×１／８＝６π
分母の８が邪魔だから両辺を８倍して
２πｘ＝４８π
ｘ＝４８π／２π
ｘ＝２４
（２）（１）と同様に、求めたい中心角をｘとして、おうぎ形の面積の公式、半径×半径×π×中心角／３６０より、
６×６×π×ｘ／３６０＝１６π
６×６と分母の３６０を約分して
πｘ／１０＝１６π
両辺に１０をかけて
πｘ＝１６０π
ｘ＝１６０度
もう１つの公式
おうぎ形の面積Ｓは、半径をｒ、弧の長さをＬとすると、ｒ×Ｌ÷２で求めることもできます。
（なぜか）
半径ｒの円の円周はｒ×２×πです。
弧の長さがＬということは、このおうぎ形は円のＬ／２πｒだということです（円周全体に対する弧の割合で円の何分のいくらかがわかるから）。
以上より、このおうぎ形の面積は、円全体の面積、ｒ×ｒ×πの、Ｌ／２πｒ
ｒ×ｒ×π×Ｌ／２πｒ
＝ｒ×Ｌ／２・・・分母のπｒと約分して
すなわち、
最後に、解き方を知っておいたほうがよい問題を１問。
例題３：左の図は、１辺８ｃｍの正方形の中におうぎ形をかいたものであ
る。斜
線の部分の面積を求めよ。（解答と解説）
いろいろな解き方がありますが、最も簡単な方法は以下の解き方です。
対角線をひき、求めたい斜線部を２等分して、その面積を求めます。
この部分の面積は、半径８ｃｍ、中心角９０度のおうぎ形の面積から底辺８ｃｍ、高さ８ｃｍの三角形の面積をひいたら求められます。
８×８×π×１／４−８×８×１／２
＝１６π−３２
斜線部全体はこの２倍なので、
（１６π−３２）×２
＝３２π−６４
いろいろな解き方がありますが、最も簡単な方法は以下の解き方です。
対角線をひき、求めたい斜線部を２等分して、その面積を求めます。この部分の面積は、半径８ｃｍ、中心角９０度のおうぎ形の面積から底辺８ｃｍ、高さ８ｃｍの三角形の面積をひいたら求められます。
８×８×π×１／４−８×８×１／２
＝１６π−３２
斜線部全体はこの２倍なので、
（１６π−３２）×２
＝３２π−６４
ご指摘ありがとうございました。