小学校で習った円周を求める公式は直径×3.14円の面積を求める公式は半径×半径×3.14でした。

中学校では、半径をr、円周率をπ(パイ)で表す決まりなので、円周はr×2×π=2πr(にぱいあーる)、
円の面積はr×r×π=
円の面積(ぱいあーるにじょう)と言います。


(私は、中学生も小学校式の円周=直径×円周率、円の面積=半径×半径×円周率をそのまま使ったほうがよいと思っています。そのほうが約分をしやすいからです。それで、この稿でも円周直径×π円の面積半径×半径×πで記述しています。)


2つの半径と弧で囲まれた図形をおうぎ形といいます。
おうぎ形
半径と半径がつくる角がおうぎ形の中心角です。
は円周の一部、おうぎ形の面積は円の面積の一部です。

だから、弧の長さを求めたいときは円周の何分のいくらかを求めたらよい、おうぎ形の面積を求めたいときは円の面積の何分のいくらかを求めたらよい、ということになります。

おうぎ形が円全体のどれだけにあたるかは、中心角からわかります。

円全体の中心角は360度ですから、例えばおうぎ形の中心角が180度であれば180度/360度で円全体の1/2、おうぎ形の中心角が120度であれば120度/360度で円全体の1/3、90度であれば90度/360度で円全体の1/4です。

中心角で円全体の何分のいくらかがわかるので、弧の長さを求める式は、直径×π×中心角/360であり、おうぎ形の面積を求める式は、半径×半径×中心角/360ということになります。

おうぎ形の公式






例題1:半径12cm、中心角135度のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。


(解説と解答)

135度弧=24×π×135/360
=24×π×3/8・・・135/360の約分を先に
=3×π×3・・・24と8を先に約分
=9π

面積=12×12×π×135/360
=12×12×π×3/8
=3×6×π×3・・・分母の8と12×12を約分
=54π

角度の部分の約分を先にしておくほうが計算が楽になります。


方程式で解くおうぎ形の問題

例題2:次の各問いに答えよ。
(1)中心角が45度、弧の長さが6πのおうぎ形の半径を求めよ。
(2)半径が6cm、面積が16πのおうぎ形の中心角を求めよ。

(解説と解答)

(1)小学生流の、「中心角が45度だから、円全体360度の8分の1で・・・」という発想でも解けますが、あまり感心しません。
中学生は、求めたいものをxとして、方程式をたてて解いていきます。

半径をxとすると、弧の長さを求める式、直径×π×中心/360より、
x×2×π×45/360=6π
x×2×π×1/8=6π
分母の8が邪魔だから両辺を8倍して
2πx=48π
x=48π/2π
x=24

(2)(1)と同様に、求めたい中心角をxとして、おうぎ形の面積の公式、半径×半径×π×中心角/360より、
6×6×π×x/360=16π
6×6と分母の360を約分して
πx/10=16π
両辺に10をかけて
πx=160π
x=160度


もう1つの公式

おうぎ形の面積Sは、半径をr、弧の長さをLとすると、r×L÷2で求めることもできます。
おうぎ形の面積



(なぜか)

半径rの円の円周はr×2×πです。
弧の長さがLということは、このおうぎ形は円のL/2πrだということです(円周全体に対する弧の割合で円の何分のいくらかがわかるから)。

以上より、このおうぎ形の面積は、円全体の面積、r×r×πの、L/2πr
r×r×π×L/2πr
=r×L/2・・・分母のπrと約分して

すなわち、
おうぎ形の面積



最後に、解き方を知っておいたほうがよい問題を1問。

例題3:左の図は、1辺8cmの正方形の中におうぎ形をかいたものであ
る。斜斜線部線の部分の面積を求めよ。















(解答と解説)

いろいろな解き方がありますが、最も簡単な方法は以下の解き方です。

斜線部2対角線をひき、求めたい斜線部を2等分して、その面積を求めます。

この部分の面積は、半径8cm、中心角90度のおうぎ形の面積から底辺8cm、高さ8cmの三角形の面積をひいたら求められます。

8×8×π×1/4−8×8×1/2
=16π−32

斜線部全体はこの2倍なので、
(16π−32)×2
=32π−64