立体をつくっている面の面積の合計を表面積といいます。
表面積は展開図で考える
例題１：左の図の直方体の表面積を求めよ。
直方体は同じ面が２つずつ３組ありますから表面積は、
（５×６）×２＋（５×１２）×２＋（６×１２）×２＝３２４
と求めることができますが、展開図をかいて展開図を見ながら式を立てると、さらに楽に求めることができます。
底面積は２つあるから
（５×６）×２＝６０
側面は展開図で１つの長方形だから
１２×（５＋６＋５＋６）＝２６４
表面積は６０＋２６４＝３２４
展開図をかいて考えると、面積をそのまま見ることができるので考えやすくなるし、式も立てやすくなり、計算も楽になります。
表面積は底面積＋側面積
例題２：左図の正四角錐の表面積を求めよ。
まず、簡単な展開図をかきます。
問題を解くとき、いろいろなことを一度にするより、段階をふんで分けて解くほうがずっとわかりやすくなります。
どんな立体も、底面と側面とでできています。
だから、表面積を求めるとき、まず底面積を求め、次に側面積を求め、最後に合計を求めると決めておくと、式も立てやすくなります。
問題の四角錐だと、底面積は
１０×１０＝１００
側面は４つあるので、側面積は（１０×１２÷２）×４＝２４０
だから、表面積＝底面積＋側面積＝１００＋２４０＝３４０
円柱の表面積
例題３：底面の半径が５ｃｍ、高さが８ｃｍの円柱の表面積を求めよ。
解く手順は、
（１）展開図をかく
（２）底面積＋側面積で求める
です。
底面積は簡単です。
１つの底面は５×５×π＝２５πですが、
上と下に２つあるので、
（５×５×π）×２＝５０π
重要なのは側面積です。
展開図では長方形だから、たて×横で求めることができます。
たては８ｃｍ、これは問題ありません。
横ですが、底面の円周と同じことに気づいてください。
つまり、側面の横＝底面の円周です。
円周＝直径×π
側面の横は５×２×π
よって、側面の面積は８×（５×２×π）
＝８０π
以上より、表面積＝底面積＋側面積
＝５０π＋８０π
＝１３０π
円錐の表面積
例題４：底面の半径が５ｃｍ、母線の長さが１５ｃｍの円錐の表面積を求めなさい。
やはり、求める手順は
（１）展開図をかく
（２）底面積＋側面積で求める
ですが、展開図をかく前に解決しておかないといけないことが１つあります。
円錐の展開図は左の図のようになりますが、中心角がわからないと展開図をかくことができません。
では、中心角を求めるにはどうしたらよいか？
ポイントは、図の赤線の部分、側面の弧と、底面の円周が等しいことです。
おうぎ形の弧の長さは、母線１５ｃｍを半径とする大きい円の円周の一部であり、半径１５ｃｍの円の円周は１５×２×πの３０πです。
次におうぎ形の弧の長さは、底面の円周、半径５ｃｍの円の円周と等しく、５×２×π＝１０πです。
大きい円の円周３０πに対して１０πということは、１０π／３０π＝１／３、円全体の１／３とわかったので中心角も３６０度の１／３、つまり１２０度です。
（ポイント）母線を半径とする円の円周と、底面の円周の割合から、中心角がわかる。
しかし、これでは少々遠回りのような気がします。
円周は半径×２×πです。
母線×２×πと、底面の半径×２×πをわざわざ求めなくても、２×πの部分は共通ですから母線と底面の半径の比をそのまま使うことができるはずです。
この問題でも、５×２×π／１５×２×π＝５／１５＝１／３。
つまり、中心角は３６０度×半径／母線です。
（ポイント）母線に対する底面の半径の割合で側面のおうぎ形の中心角がわかる。
側面のおうぎ形の中心角は３６０度×半径／母線
以上より、
側面積は１５×１５×π×５／１５
＝１５×５×π
＝７５π
底面積は５×５×π
＝２５π
表面積は
底面積＋側面積
＝２５π＋７５π
＝１００π
円錐の場合を公式化しておきましょう。
側面のおうぎ形の中心角
側面積
表面積は展開図で考える
例題１：左の図の直方体の表面積を求めよ。
直方体は同じ面が２つずつ３組ありますから表面積は、
（５×６）×２＋（５×１２）×２＋（６×１２）×２＝３２４
と求めることができますが、展開図をかいて展開図を見ながら式を立てると、さらに楽に求めることができます。
底面積は２つあるから（５×６）×２＝６０
側面は展開図で１つの長方形だから
１２×（５＋６＋５＋６）＝２６４
表面積は６０＋２６４＝３２４
展開図をかいて考えると、面積をそのまま見ることができるので考えやすくなるし、式も立てやすくなり、計算も楽になります。
表面積は底面積＋側面積
例題２：左図の正四角錐の表面積を求めよ。
まず、簡単な展開図をかきます。
問題を解くとき、いろいろなことを一度にするより、段階をふんで分けて解くほうがずっとわかりやすくなります。どんな立体も、底面と側面とでできています。
だから、表面積を求めるとき、まず底面積を求め、次に側面積を求め、最後に合計を求めると決めておくと、式も立てやすくなります。
問題の四角錐だと、底面積は
１０×１０＝１００
側面は４つあるので、側面積は（１０×１２÷２）×４＝２４０
だから、表面積＝底面積＋側面積＝１００＋２４０＝３４０
円柱の表面積
例題３：底面の半径が５ｃｍ、高さが８ｃｍの円柱の表面積を求めよ。
解く手順は、（１）展開図をかく
（２）底面積＋側面積で求める
です。
底面積は簡単です。１つの底面は５×５×π＝２５πですが、
上と下に２つあるので、
（５×５×π）×２＝５０π
重要なのは側面積です。
展開図では長方形だから、たて×横で求めることができます。
たては８ｃｍ、これは問題ありません。
横ですが、底面の円周と同じことに気づいてください。
つまり、側面の横＝底面の円周です。
円周＝直径×π
側面の横は５×２×π
よって、側面の面積は８×（５×２×π）
＝８０π
以上より、表面積＝底面積＋側面積
＝５０π＋８０π
＝１３０π
円錐の表面積
例題４：底面の半径が５ｃｍ、母線の長さが１５ｃｍの円錐の表面積を求めなさい。
やはり、求める手順は（１）展開図をかく
（２）底面積＋側面積で求める
ですが、展開図をかく前に解決しておかないといけないことが１つあります。
円錐の展開図は左の図のようになりますが、中心角がわからないと展開図をかくことができません。では、中心角を求めるにはどうしたらよいか？
ポイントは、図の赤線の部分、側面の弧と、底面の円周が等しいことです。
おうぎ形の弧の長さは、母線１５ｃｍを半径とする大きい円の円周の一部であり、半径１５ｃｍの円の円周は１５×２×πの３０πです。
次におうぎ形の弧の長さは、底面の円周、半径５ｃｍの円の円周と等しく、５×２×π＝１０πです。
大きい円の円周３０πに対して１０πということは、１０π／３０π＝１／３、円全体の１／３とわかったので中心角も３６０度の１／３、つまり１２０度です。
（ポイント）母線を半径とする円の円周と、底面の円周の割合から、中心角がわかる。
しかし、これでは少々遠回りのような気がします。
円周は半径×２×πです。
母線×２×πと、底面の半径×２×πをわざわざ求めなくても、２×πの部分は共通ですから母線と底面の半径の比をそのまま使うことができるはずです。
この問題でも、５×２×π／１５×２×π＝５／１５＝１／３。
つまり、中心角は３６０度×半径／母線です。
（ポイント）母線に対する底面の半径の割合で側面のおうぎ形の中心角がわかる。
側面のおうぎ形の中心角は３６０度×半径／母線
以上より、
側面積は１５×１５×π×５／１５
＝１５×５×π
＝７５π
底面積は５×５×π
＝２５π
表面積は
底面積＋側面積
＝２５π＋７５π
＝１００π
円錐の場合を公式化しておきましょう。
側面のおうぎ形の中心角
側面積
