立体をつくっている面の面積の合計を表面積といいます。

表面積は展開図で考える

例題1:左の図の直方体の表面積を求めよ。

直方体
直方体は同じ面が2つずつ3組ありますから表面積は、
(5×6)×2+(5×12)×2+(6×12)×2=324
と求めることができますが、展開図をかいて展開図を見ながら式を立てると、さらに楽に求めることができます。









直方体の展開図底面積は2つあるから
(5×6)×2=60

側面は展開図で1つの長方形だから
12×(5+6+5+6)=264

表面積は60+264=324


展開図をかいて考えると、面積をそのまま見ることができるので考えやすくなるし、式も立てやすくなり、計算も楽になります。



表面積は底面積+側面積

例題2:左図の正四角錐の表面積を求めよ。

四角錐
まず、簡単な展開図をかきます。












四角錐の展開図問題を解くとき、いろいろなことを一度にするより、段階をふんで分けて解くほうがずっとわかりやすくなります。

どんな立体も、底面と側面とでできています。
だから、表面積を求めるとき、まず底面積を求め、次に側面積を求め、最後に合計を求めると決めておくと、式も立てやすくなります。

問題の四角錐だと、底面積は
10×10=100

側面は4つあるので、側面積は(10×12÷2)×4=240

だから、表面積=底面積+側面積=100+240=340


円柱の表面積

例題3:底面の半径が5cm、高さが8cmの円柱の表面積を求めよ。

円柱解く手順は、
(1)展開図をかく
(2)底面積+側面積で求める
です。






円柱の展開図底面積は簡単です。
1つの底面は5×5×π=25πですが、
上と下に2つあるので、
(5×5×π)×2=50π

重要なのは側面積です。
展開図では長方形だから、たて×横で求めることができます。
たては8cm、これは問題ありません。
横ですが、底面の円周と同じことに気づいてください。
つまり、側面の横=底面の円周です。
円周=直径×π
側面の横は5×2×π
よって、側面の面積は8×(5×2×π)
=80π

以上より、表面積=底面積+側面積
=50π+80π
=130π


円錐の表面積

例題4:底面の半径が5cm、母線の長さが15cmの円錐の表面積を求めなさい。

円錐やはり、求める手順は
(1)展開図をかく
(2)底面積+側面積で求める
ですが、展開図をかく前に解決しておかないといけないことが1つあります。







円錐の展開図円錐の展開図は左の図のようになりますが、中心角がわからないと展開図をかくことができません。

では、中心角を求めるにはどうしたらよいか?

ポイントは、図の赤線の部分、側面の弧と、底面の円周が等しいことです。

おうぎ形の弧の長さは、母線15cmを半径とする大きい円の円周の一部であり、半径15cmの円の円周は15×2×πの30πです。

次におうぎ形の弧の長さは、底面の円周、半径5cmの円の円周と等しく、5×2×π=10πです。

大きい円の円周30πに対して10πということは、10π/30π=1/3、円全体の1/3とわかったので中心角も360度の1/3、つまり120度です。

(ポイント)母線を半径とする円の円周と、底面の円周の割合から、中心角がわかる。

しかし、これでは少々遠回りのような気がします。
円周は半径×2×πです。
母線×2×πと、底面の半径×2×πをわざわざ求めなくても、2×πの部分は共通ですから母線と底面の半径の比をそのまま使うことができるはずです。

この問題でも、5×2×π/15×2×π=5/15=1/3。

つまり、中心角は360度×半径/母線です。

(ポイント)母線に対する底面の半径の割合で側面のおうぎ形の中心角がわかる。
側面のおうぎ形の中心角は360度×半径/母線


以上より、
側面積は15×15×π×5/15
=15×5×π
=75π

底面積は5×5×π
=25π

表面積は
底面積+側面積
=25π+75π
=100π


円錐の場合を公式化しておきましょう。

円錐の公式円錐の公式2

















側面のおうぎ形の中心角
中心角



側面積
円錐の公式3