2辺の等しい三角形を二等辺三角形といいます(二等辺三角形の定義)。

また、二等辺三角形の底角は等しい(二等辺三角形の定理)。
さらに、二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分します(定理)。
二等辺三角形











二等辺三角形の定理の仮定と結論を入れかえた(「」といいます)、「2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である」も成り立ちます。


二等辺三角形になることの証明

例題1:AD//BCである台形ABCDがある。辺AB上にAD=AEとなるように点Eをとる。線分DEの延長と辺CBの延長との交点をFとする。このとき、BE=BFとなることを証明せよ。

例題1
(解き始める前に)
(1)普通、BE=BFのように、辺の長さが等しいことを証明するには三角形の合同を利用します。
ところが、この問題では、合同な三角形の組は見当たりません。
そんなときは、三角形BEFが二等辺三角形であることを証明してBE=BFをいいます。

(2)ところで、三角形の合同を証明するときは、ほぼ証明の書き方が決まっています。ところが、二等辺三角形になることの証明に決まった書き方はありません。
決まった書き方がないので、必ず前に理由をつける「〜だから・・・」であるの文法さえ守っていたら、どんな書き方をしてもよいということになります。
安心して、大胆に書き出してください。

(3)書き方に決まりはありませんが、「証明は『逆』から考える」という大原則はここでも守らないと書けません。
二等辺三角形であることを証明するには、その1つ前で、二等辺三角形になるための条件、「2つの角が等しいから二等辺三角形である」を言う必要があります。

(4)したがって、この問題は、
三角形BEFで、2つ等しい角を見つける

2つの角が等しいから二等辺三角形になると論じる

二等辺三角形だから結論のBE=BFがいえるとまとめる
という順序で記述するということになります。

解答

例題1の2(証明をする前の書き込み)
仮定のAD//BCから、錯角が等しいことを使いそうです。
もう一つの仮定、AD=AEには等しい印をつけておきます。
このとき、△AEDが二等辺三角形であることがわかります。二等辺三角形であれば「底角が等しい」ので、仮定ではありませんが等しい底角の部分にも印をつけておきます。
これで、ほぼどう書いたらよいかの見当がついてきたと思います。

(証明)仮定AD//BCより、平行線の錯角は等しいから、∠ADE=∠EFB・・・(1)
次に、仮定AD=AEより、二等辺三角形の底角は等しいので、∠ADE=∠AED
また、対頂角だから、∠AED=∠FEB
よって、∠ADE=∠FEB・・・(2)
(1)(2)より、ともに∠ADEと等しい角だから、∠EFB=∠FEB
2つの角が等しいから、△BEFは二等辺三角形である
ゆえに、BE=BF


(ポイント)二等辺三角形であることを証明するには、2つの角が等しいことをいえばよい。


もう1問、よく出る問題で練習しておきましょう。

例題2:長方形ABCDを、対角線ACを折り目として折りかえし、点Bが移った点をE、辺ADとECの交点をFとする。このとき、AF=CFであることを証明せよ。
例題3
(解き始める前に)
(1)この問題は、直角三角形の合同を使えば△AFEと△CDFの合同からもいえますが、合同を使わないで△FACが二等辺三角形であることを証明してみましょう。
目標は、
「2つの角が等しいから二等辺三角形になる」、です。

(2)折りかえしの問題なので、折りかえす前と折りかえした後で同一のもの、等しいものを見つけておくのがポイントです。


解答

例題3の2(証明をする前の書き込み)
折りかえした問題では、同一のものが移動しただけだから、もとと同じだといえる辺や角を使わないと解けません。
この問題では、目標が∠FAC=∠FCAですから、∠FCA=∠ACBを使います。

また、平行四辺形や長方形が出てきたとき、向かい合う辺が平行なので、平行線の錯角が等しいこともよく活用します。





(証明)対角線ACで折りかえした図形なので△ABCと△AECは合同だから、∠ACB=∠FCA・・・(1)
また長方形の向かい合う辺は平行なのでAD//BCより、錯角は等しいから、∠ACB=∠FAC・・・(2)
(1)(2)より、∠FCA=∠FAC
2つの角が等しいから△FACは二等辺三角形である

よって、AF=CF


最後に、二等辺三角形に関して1つだけ注意しておくことを書いて終わります。

「二等辺三角形ならば底角は等しい」が定理です。
この定理の「逆」は、(仮定と結論を入れかえたものが「逆」なので)「底角が等しければ二等辺三角形である」になりそうですが、正しくは「2つの角が等しければ二等辺三角形である」です。

「底角」は、二等辺三角形の頂角ではない、底辺の両端の角を表わす言葉だから、二等辺三角形であることが確定していたら「底角」の言葉を使ってもよいが、二等辺三角形であることを今から証明しようというときに「底角」の語を使うべきではないというのが理由だと思われます。