例えばy=2xの式で表される関数の場合、式の表している意味は、xとyとの間には常にy=2xの関係が成り立っているということです。

グラフでも同様です。
y=2xの式で表されるグラフがあり、ある点(x,y)がそのグラフ上にあれば、下の図のように、座標xとyの間には常にy=2xの関係が成り立っています。

したがって、点(X,Y)が式y=2x上にあれば、座標Xを式のxに、座標Yを式のyに代入することができ、代入すると、どんな点(X,Y)であってもY=2Xが成り立ちます。

y=2x例えばx座標がpである点がy=2xのグラフ上にあるとすると、その点のy座標を知りたいときは、式y=2xのグラフにx=pを代入できるのでy=2×p、つまりy=2p、y座標は2pと求められます。
















知っ得
(1)グラフy=axのグラフ上に点(p,q)があるとき、式y=axにx=p、y=qを代入することができる。つまり、q=apが成り立つ。
(2)点(p,q)をグラフy=axが通るとき、式y=axにx=p、y=qを代入できる。つまり、q=apが成り立つ。


基本的な問題

例題1:図は比例と反比例のグラフである。p、q、rの値を求めよ。

例題1(考え方)
点(4,6)は比例の式y=px上にあります。
その意味は、x=4、y=6の間にy=pxの関係が成り立つ、y=pxの式にx=4、y=6を代入してよい、ということです。
代入して、6=4x
−4x=−6
x=3/2
よって、p=3/2

反比例のグラフの式をy=a/xと仮定します。
この双曲線が点(4,6)を通っているので、y=a/xの式にx=4、y=6を代入します。
6=a/4
両辺に4をかけて24=a
a=24
よって反比例のグラフの式はy=24/x

このグラフが点(q,2)を通るからx=q、y=2を代入する。
2=24/q
両辺にqをかけて
2q=24
q=12

最後に、点(−6,r)を通るグラフはy=3/2xだから、x=−6、y=rをy=3/2xの式に代入して、
r=3/2×(−6)
r=−9


ややレベルの高い問題

例題2:グラフはいずれも比例のグラフである。点A、Bはグラフ上の点であり、点Aのx座標は8である。直線ABがy軸に平行であるとき、三角形OABの面積を求めよ。


例題2
















(考え方)
点Aのx座標が8で、点Aをグラフy=2xが通っているので、y=2xにx=8を代入します。
y=2×8
y=16
つまり、点Aの座標は(8,16)です。

同様に、y=1/2xのグラフ上に点Bがあり、点Bのx座標は点Aと同じ8なのでx=8をy=1/2xに代入します。
y=1/2×8
y=4
よって、点Bの座標は(8,4)。
例題2の2
以上より、点A、点Bに座標を書き込む。

△OABの底辺の長さは点Aのy座標16から点Bのy座標4を引いた12
△OABの高さは点A、Bのx座標の8

よって、△OABの面積は
12×8÷2
=48






知っ得
グラフを使った図形の問題の場合、座標を書き込めば解ける。



例題3:左の図で、点Aは比例y=2/3xのグラフ上の点であり、そのx座標は正の数である。また、四角形ABCDは正方形である。正方形ABCDの1辺の長さが12になるとき、点Dの座標を求めよ。

例題3

















(考え方)
例題3の2正方形の1辺が12ということからAB=12、つまり点Aのy座標が12であることがわかります。
このy=12を点Aを通るグラフの式、y=2/3xに代入して
12=2/3x
両辺に3をかけて
36=2x
−2x=−36
x=18
よって点Aの座標は(18,12)

四角形ABCDの1辺は12だから、BCの長さも12、よって点Cのx座標も点Dのx座標も点Aのx座標18に12をたせばよい。
18+12=30
また、DC=12
以上より、点Dの座標は(30,12)