mathematics 円（１） 円についての定理のまとめ

現行の学習指導要領では、円について中１、中２でばらばらに習うので、問題を解く際、非常に不便です。そこで、円に関する定理をまとめておきます。

中１履修事項

円と弦（厳密には中１でも定理としては習わない）
（定理）円の弦はその弦に垂直な半径で二等分される。
（定理）円の弦の垂直二等分線は円の中心を通る。








円と接線
（定理）円の接線は接点を通る半径と垂直である。
（定理）円外の点から円に接線をひいたとき、２本の接線の長さは等しい（この定理も定理としては出てこない）。








円と作図（外心と内心）
三角形の外接円の中心を外心、内接円の中心を内心という。
外心（外接円の中心）は三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。
内心（内接円の中心）は三角形の各辺のつくる角の二等分線の交点である。









中２履修事項

円周角の定理
（定理）１つの弧の円周角は、その弧の中心角の２分の１になる。
（定理）弦ＡＢが円の直径であるとき、弧ＡＢの円周角は９０度になる。
（定理）同じ弧の円周角の大きさは等しい。
（定理）同じ大きさの円周角に対する弧の長さは等しい。








内接四角形
（定理）円に内接する四角形の対角の和は１８０度である。また、１つの外角は、となりあう内角の対角の大きさと等しい。









接線と弦のつくる角
（定理）円の弦と、その弦の一端を通る接線のつくる角は、その角の内部にある弧の円周角と等しい（接弦定理）。








円周角の定理の逆
（定理）４つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがこの順に並んでいるとき、∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢであれば４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同一円周上にある。








内接四角形の定理の逆
（定理）４つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがこの順に並んでいるとき、∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０であれば４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同一円周上にある。








直角三角形と円
∠Ａ＝９０度の直角三角形ＡＢＣでＢＣの中点をＭとすると、ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ

Comments

[4. 通りすがり]

復習になりました！感謝！

[3. サプライズ]

ご返答ありがとうございます。やはり、知っていると、得ですからね。私は、福島ですが、完全に円周角は中学三年です。内容は先程の記載通りです。

[2. アリ]

わざわざご教示いただいてどうも。
当地では、すべての中学校で（１校を除き）まだ円は中２です。
また、私の主義として、中学生でも知っておいたほうがよいことは中学生にも教えます（私学難関校の入試で出ますし、当地の公立の問題は難しいので知っておかないと損をします）。
というわけで、しばらく現行のままにしておきます。

[1. サプライズ]

現行の指導要領において、円周角の定理は中学三年生の内容に移行し、二次関数の後になりました。また、内接四角形、接弦定理、内心、外心、直角三角形と円については扱わず、高校にこれらは移行されました。よって、中学では円周角の定理、その逆、接線くらいです。