円周角の定理など、円についての定理の基礎にあるものはたった１つです。
１つの円の半径はどこにあっても同じ長さです。
だから、２つの半径を２辺とする三角形は当然二等辺三角形になります。
二等辺三角形だから、底角は等しい。
これが、すべての円の定理の基礎にある、たった１つの根拠、理由です。
（円周角の定理の証明）
なぜ、弧ＡＢの円周角は同じ弧の中心角の半分なのか？
左の図のように、円周上の点Ｐと円の中心Ｏを通る直線ＰＱをひきます。
半径の長さは等しいからＯＰ＝ＯＡ
△ＯＰＡは二等辺三角形だから底角は等しい
よって、∠ＯＰＡ＝∠ＯＡＰ
また、三角形の２つの内角の和は他の内角の外角に等しいから
∠ＡＯＱ＝∠ＯＰＡ＋∠ＯＡＰ＝２∠ＯＰＡ
同様に、△ＯＰＢで∠ＢＯＱ＝２∠ＯＰＢ
よって、∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＱ＋∠ＢＯＱ
＝２∠ＯＰＡ＋２∠ＯＰＢ＝２（∠ＯＰＡ＋∠ＯＰＢ）
＝２∠ＡＰＢ
このようにして、中心角は円周角の２倍、円周角は中心角の半分だということが証明できます。
円の角度を求める問題でも、この、円の半径を２辺とする三角形は二等辺三角形であり、だから底角は等しいことをよく利用します。
１つの円の半径はどこにあっても同じ長さです。だから、２つの半径を２辺とする三角形は当然二等辺三角形になります。
二等辺三角形だから、底角は等しい。
これが、すべての円の定理の基礎にある、たった１つの根拠、理由です。
（円周角の定理の証明）
なぜ、弧ＡＢの円周角は同じ弧の中心角の半分なのか？
左の図のように、円周上の点Ｐと円の中心Ｏを通る直線ＰＱをひきます。
半径の長さは等しいからＯＰ＝ＯＡ
△ＯＰＡは二等辺三角形だから底角は等しい
よって、∠ＯＰＡ＝∠ＯＡＰ
また、三角形の２つの内角の和は他の内角の外角に等しいから
∠ＡＯＱ＝∠ＯＰＡ＋∠ＯＡＰ＝２∠ＯＰＡ
同様に、△ＯＰＢで∠ＢＯＱ＝２∠ＯＰＢ
よって、∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＱ＋∠ＢＯＱ
＝２∠ＯＰＡ＋２∠ＯＰＢ＝２（∠ＯＰＡ＋∠ＯＰＢ）
＝２∠ＡＰＢ
このようにして、中心角は円周角の２倍、円周角は中心角の半分だということが証明できます。
円の角度を求める問題でも、この、円の半径を２辺とする三角形は二等辺三角形であり、だから底角は等しいことをよく利用します。
簡単に分かりやすく説明されているので円周角の分からない私でもこれなら安心して定期テストに臨むことができます。ありがとうございました。