円周角の定理など、円についての定理の基礎にあるものはたった1つです。
1つの円の半径はどこにあっても同じ長さです。
だから、2つの半径を2辺とする三角形は当然二等辺三角形になります。
二等辺三角形だから、底角は等しい。
これが、すべての円の定理の基礎にある、たった1つの根拠、理由です。
(円周角の定理の証明)

なぜ、弧ABの円周角は同じ弧の中心角の半分なのか?
左の図のように、円周上の点Pと円の中心Oを通る直線PQをひきます。
半径の長さは等しいからOP=OA
△OPAは二等辺三角形だから底角は等しい
よって、∠OPA=∠OAP
また、三角形の2つの内角の和は他の内角の外角に等しいから
∠AOQ=∠OPA+∠OAP=2∠OPA
同様に、△OPBで∠BOQ=2∠OPB
よって、∠AOB=∠AOQ+∠BOQ
=2∠OPA+2∠OPB=2(∠OPA+∠OPB)
=2∠APB
このようにして、中心角は円周角の2倍、円周角は中心角の半分だということが証明できます。
円の角度を求める問題でも、この、円の半径を2辺とする三角形は二等辺三角形であり、だから底角は等しいことをよく利用します。

だから、2つの半径を2辺とする三角形は当然二等辺三角形になります。
二等辺三角形だから、底角は等しい。
これが、すべての円の定理の基礎にある、たった1つの根拠、理由です。
(円周角の定理の証明)

なぜ、弧ABの円周角は同じ弧の中心角の半分なのか?
左の図のように、円周上の点Pと円の中心Oを通る直線PQをひきます。
半径の長さは等しいからOP=OA
△OPAは二等辺三角形だから底角は等しい
よって、∠OPA=∠OAP
また、三角形の2つの内角の和は他の内角の外角に等しいから
∠AOQ=∠OPA+∠OAP=2∠OPA
同様に、△OPBで∠BOQ=2∠OPB
よって、∠AOB=∠AOQ+∠BOQ
=2∠OPA+2∠OPB=2(∠OPA+∠OPB)
=2∠APB
このようにして、中心角は円周角の2倍、円周角は中心角の半分だということが証明できます。
円の角度を求める問題でも、この、円の半径を2辺とする三角形は二等辺三角形であり、だから底角は等しいことをよく利用します。
簡単に分かりやすく説明されているので円周角の分からない私でもこれなら安心して定期テストに臨むことができます。ありがとうございました。