よく塾生から質問される問題に次の問題があります。

例題:ABを直径とする半円の弧を3等分した点をP、Qとする。角PAQは何度か。

円周を等分









「円周角を求める問題で悩んだら中心角をかいてみよ」というのが鉄則です。なぜなら、円全体の中心角は360度と決まっているので、中心角は簡単に求められるからです。

中心角左の図のように、中心角POQをかきます。
半円の弧の3等分ですから、弧PQは円周全体の1/2の1/3、つまり1/6です。
だから、中心角POQの大きさは360度×1/6=60度。

中心角が60度だから、弧PQの円周角は中心角の半分の30度。



同じように中心角を用いて考えるもう1つの例。

円の定理には列挙しませんでしたが、「2つの弧の長さがa:bのとき、その円周角の比もa:bである」という定理があります。

弧の比と円周角左の図で、弧がa:bのとき、中心角の比もa:bになります(なぜなら、それぞれの中心角はa/円周:b/円周の比になり、弧の比と等しくなるから)。

そして、円周角はそれぞれの中心角の1/2なので、やはり同じ比になって、a:bです。

この定理は忘れてもかまいません。

「円周角で悩んだら中心角をかいて考える」ことさえ知っていたら、この定理を知らなくても問題を解くことができます。