よく塾生から質問される問題に次の問題があります。

例題：ＡＢを直径とする半円の弧を３等分した点をＰ、Ｑとする。角ＰＡＱは何度か。

円周を等分









「円周角を求める問題で悩んだら中心角をかいてみよ」というのが鉄則です。なぜなら、円全体の中心角は３６０度と決まっているので、中心角は簡単に求められるからです。

中心角左の図のように、中心角ＰＯＱをかきます。
半円の弧の３等分ですから、弧ＰＱは円周全体の１／２の１／３、つまり１／６です。
だから、中心角ＰＯＱの大きさは３６０度×１／６＝６０度。

中心角が６０度だから、弧ＰＱの円周角は中心角の半分の３０度。



同じように中心角を用いて考えるもう１つの例。

円の定理には列挙しませんでしたが、「２つの弧の長さがa:bのとき、その円周角の比もa:bである」という定理があります。

弧の比と円周角左の図で、弧がa:bのとき、中心角の比もa:bになります（なぜなら、それぞれの中心角はa／円周：b／円周の比になり、弧の比と等しくなるから）。

そして、円周角はそれぞれの中心角の１／２なので、やはり同じ比になって、a:bです。

この定理は忘れてもかまいません。

「円周角で悩んだら中心角をかいて考える」ことさえ知っていたら、この定理を知らなくても問題を解くことができます。
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