立体の切断を、わかりやすい立方体で考えてみます。

豆腐に包丁を入れて切るように、立体を切り分けることを「立体の切断」といい、切断面(包丁が通ったあと)のことを「切り口」といいます。

立方体を切断するとき、切り方によって、三角形、四角形、五角形、六角形の4種類の切り口ができます。

三角形

三角形











四角形

四角形











五角形

五角形











六角形

六角形











重要例題1:切り口が三角形のとき

例題1左図は1辺が6cmの立方体である。この立方体を3点A、F、Cを通る平面で切ったとき、頂点Bをふくむほうの立体の体積を求めよ。











(解き方)
切り取った頂点Bをふくむ立体は三角錐です。
ところで、この三角錐の底面を△AFCと考えると、間違いではありませんが体積を求めることはできません(中3で三平方の定理を習うとできますが、やや複雑になります)。

立方体なのでAB⊥BC、△ABCは直角三角形です。
また、AB⊥BF、BC⊥BFなので辺BFは面ABCに垂直です。
だから、△ABCが底面で、高さがBFの三角錐だと考えます。
そうすると、角錐の体積の公式、底面積×高さ×1/3を使って体積を簡単に求めることができます。

例題1の2底面積は△ABCで底面積は6×6×1/2

高さはBFで6cm

よって、底面積×高さ×1/3
=6×6×1/2×6×1/3
=36

体積は36立方cm






知っ得:切り口ではなくて、立方体の面を底面とする三角錐だと考える。


重要例題2:切り口が四角形のとき

例題2左図は1辺が6cmの立方体です。BFの中点をI、DHの中点をJとします。この立体を点A、I、G、Jを通る平面で切ったとき、切り口の形は何ですか。また、切断された立体のうち、頂点Fをふくむほうの立体の体積を求めなさい。








(解き方)点I、Jが辺BF、DHの中点であるとき、△ABIも△IFGも△JGHも△AJDも、直角をはさむ辺が6cmと3cmの合同な直角三角形であり、辺AI、IG、GJ、JAはその直角三角形の斜辺で、同じ長さです。
つまり、切り口の四角形AIGJは4辺の長さが等しい四角形であり、ひし形です。

次に体積ですが、この場合、もとの立方体は切断面によって大きさも形も同じ2つの立体に分けられたことになります。
したがって、頂点Fをふくむほうの立体の体積はもとの立方体の体積の半分です。

よって、体積は(6×6×6)×1/2=108



切り口が五角形、六角形のとき

立方体をどう切断しても正五角形になることはありませんが、正六角形になることはあります。

正六角形各辺の中点を通る平面で立方体を図のように切断したとき、切り口は正六角形になります。