立体の切断の問題はレベルの高い高校の入試問題としてよく出題されます。
解き方に慣れておく必要があります。
垂直な辺から底面と高さを見つけて解く問題
例題１：左の図は、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三角柱である。こ
の立体を、３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で切る。頂点Ａをふくむ立体の体積を求めよ。
（考え方）
切り取ったほうと残ったほうの両方をながめて、解きやすいほうを選ぶのが鉄則です。
この問題の場合、どう見ても三角錐Ｂ-ＤＥＦのほうが単純な立体なので、そちらの体積を最初に求め、全体からその体積をひくと求める立体の体積を求められます。
このとき、見かけに騙されて底面が△ＢＤＦの三角錐と思わないことです。
角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３ですが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められないということです。
この問題の場合、まず△ＤＥＦを底面積と見ると底面積を一番求めやすくなります。
また、△ＤＥＦを底面積と見たら、ＢＥがこの三角錐の高さだということも出てきます。
ある辺と面が垂直であるといえるには、面上の２本の直線とその辺とが垂直だといえることが必要です。
この問題だと、側面が長方形なので、ＢＥ⊥ＤＥ、ＢＥ⊥ＥＦより、辺ＢＦは面ＤＥＦに対して垂直です。
以上の考察より、三角錐Ｂ-ＤＥＦの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝△ＤＥＦの面積×高さＢＥ×１／３
＝４×４×１／２×６×１／３
＝１６
よって、求める頂点Ａをふくむ立体の体積は、
三角柱−三角錐
＝４×４×１／２×６−１６
＝４８−１６
＝３２
知っ得：角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３だが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められない、ということ
角柱と角錐にして体積を求める問題
例題２：左の図は、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝８ｃｍ、ＡＤ＝４ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三
角柱で、点Ｍ、Ｎは辺ＡＣ、ＢCの中点である。この三角柱を、３点ＭＤＥを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。
（考え方）
頂点Ａをふくむ立体の体積をこのままで直接求めることはできません。
そこで思い浮かべてほしいのが、「習ったものしか入試には出ない」という鉄則です。
（球を除くと、）中学生が習った体積の公式は、円柱と角柱と円錐と角錐だけです。
この問題では円柱、円錐は考慮しなくてよいので、結局、自分たちが体積を求めることができるのは角柱と角錐だけです。
だから、角柱と角錐に分けてみようと考えます。
そうすると、左の図のように区切ったら、体積を求めたい立体が三角柱と四角錐に分けられることに気づくことができます。
三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥと四角錐Ｍ-ＡＤＨＧです。
区切るときの目安は、例題１と同様、高さにあたる辺を見つけられる切り方を考えることです。Ｍが頂点である四角錐と考えたら、ＭＧ⊥面ＡＤＨＧになってくれます。
三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥの体積は底面積×高さ
＝△ＮＢＥ×高さＧＢ
＝４×４×１／２×３
＝２４
四角錐Ｍ-ＡＤＨＧの体積は底面積×高さ×１／３
＝底面ＡＤＨＧ×高さＭＧ×１／３
＝３×４×４×１／３
＝１６
よって、２４＋１６＝４０
知っ得：（球を除くと）角柱と角錐、円柱と円錐の体積しか求められない。
同じ種類の問題で、さらにやや複雑な問題をもう１問。
例題３：左の図は、底面の１辺が１２ｃｍ、高さが１０ｃｍの正四角錐である。点
Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈはそれぞれ辺ＯＡ、ＯＢ、ＢＣ、ＡＤの中点で、ＥＦ＝６ｃｍである。この四角錐を、４点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。
（考え方）例題２とまったく同様です。
（１）角柱と角錐しか体積は求められないから、角柱と角錐に分ける。
（２）高さが求められるかどうかを基準に立体を見つけていく。
（１）（２）を念頭において切断する方法を考えます。
角錐の頂点（その点に各辺が集まる）を真っ先に見つけるのがコツです。
この問題だと、点Ｅと点Ｆから底面に垂直に切り分けて、左の四角錐と真ん中の三角柱と右の四角錐に切り分けます（左の四角錐と右の四角錐は合同な立体です）。
左の四角錐の体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面ＨＡＩＬ×高さは四角錐０-ＡＢＣＤの半分×１／３
＝３×６×５×１／３
＝３０
真ん中の三角柱の体積は、
底面積△ＦＪＫ×高さの辺ＥＦ
＝６×５×１／２×６
＝９０
右の四角錐は左の四角錐と同じ体積で３０
以上より、求める立体の体積は３０＋９０＋３０＝１５０
延長して角錐の一部であることを見つて解く問題（相似の利用）
例題４：左の図は、１辺が６ｃｍの立方体で、点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＡＢ、
ＡＤの中点である。この立方体を４点Ｍ、Ｆ、Ｈ、Ｎを通る平面で切る。頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。
（考え方）
この問題で、求めたい部分を直接切断するのは難しそうです。
視点をかえて、辺ＡＥ、ＭＦ、ＮＨを上に伸ばしたら、三角錐ができるのではないかと考えます。
三角錐Ｉ-ＥＦＨから、三角錐Ｉ-ＡＭＮをひいたらＡをふくむ立体の体積が求められます。
三角錐Ｉ-ＥＦＨの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面△ＥＦＨ×高さＩＥ×１／３
＝６×６×１／２×１２×１／３
＝７２
三角錐Ｉ-ＡＭＮの体積は、
底面△ＡＭＮ×高さＩＡ×１／３
＝３×３×１／２×６×１／３
＝９
求める体積は７２−９＝６３
解き方に慣れておく必要があります。
垂直な辺から底面と高さを見つけて解く問題
例題１：左の図は、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三角柱である。こ
の立体を、３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で切る。頂点Ａをふくむ立体の体積を求めよ。（考え方）
切り取ったほうと残ったほうの両方をながめて、解きやすいほうを選ぶのが鉄則です。
この問題の場合、どう見ても三角錐Ｂ-ＤＥＦのほうが単純な立体なので、そちらの体積を最初に求め、全体からその体積をひくと求める立体の体積を求められます。
このとき、見かけに騙されて底面が△ＢＤＦの三角錐と思わないことです。
角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３ですが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められないということです。
この問題の場合、まず△ＤＥＦを底面積と見ると底面積を一番求めやすくなります。
また、△ＤＥＦを底面積と見たら、ＢＥがこの三角錐の高さだということも出てきます。
ある辺と面が垂直であるといえるには、面上の２本の直線とその辺とが垂直だといえることが必要です。この問題だと、側面が長方形なので、ＢＥ⊥ＤＥ、ＢＥ⊥ＥＦより、辺ＢＦは面ＤＥＦに対して垂直です。
以上の考察より、三角錐Ｂ-ＤＥＦの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝△ＤＥＦの面積×高さＢＥ×１／３
＝４×４×１／２×６×１／３
＝１６
よって、求める頂点Ａをふくむ立体の体積は、
三角柱−三角錐
＝４×４×１／２×６−１６
＝４８−１６
＝３２
知っ得：角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３だが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められない、ということ
角柱と角錐にして体積を求める問題
例題２：左の図は、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝８ｃｍ、ＡＤ＝４ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三
角柱で、点Ｍ、Ｎは辺ＡＣ、ＢCの中点である。この三角柱を、３点ＭＤＥを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。（考え方）
頂点Ａをふくむ立体の体積をこのままで直接求めることはできません。
そこで思い浮かべてほしいのが、「習ったものしか入試には出ない」という鉄則です。
（球を除くと、）中学生が習った体積の公式は、円柱と角柱と円錐と角錐だけです。
この問題では円柱、円錐は考慮しなくてよいので、結局、自分たちが体積を求めることができるのは角柱と角錐だけです。
だから、角柱と角錐に分けてみようと考えます。
そうすると、左の図のように区切ったら、体積を求めたい立体が三角柱と四角錐に分けられることに気づくことができます。三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥと四角錐Ｍ-ＡＤＨＧです。
区切るときの目安は、例題１と同様、高さにあたる辺を見つけられる切り方を考えることです。Ｍが頂点である四角錐と考えたら、ＭＧ⊥面ＡＤＨＧになってくれます。
三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥの体積は底面積×高さ
＝△ＮＢＥ×高さＧＢ
＝４×４×１／２×３
＝２４
四角錐Ｍ-ＡＤＨＧの体積は底面積×高さ×１／３
＝底面ＡＤＨＧ×高さＭＧ×１／３
＝３×４×４×１／３
＝１６
よって、２４＋１６＝４０
知っ得：（球を除くと）角柱と角錐、円柱と円錐の体積しか求められない。
同じ種類の問題で、さらにやや複雑な問題をもう１問。
例題３：左の図は、底面の１辺が１２ｃｍ、高さが１０ｃｍの正四角錐である。点
Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈはそれぞれ辺ＯＡ、ＯＢ、ＢＣ、ＡＤの中点で、ＥＦ＝６ｃｍである。この四角錐を、４点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。（考え方）例題２とまったく同様です。
（１）角柱と角錐しか体積は求められないから、角柱と角錐に分ける。
（２）高さが求められるかどうかを基準に立体を見つけていく。
（１）（２）を念頭において切断する方法を考えます。角錐の頂点（その点に各辺が集まる）を真っ先に見つけるのがコツです。
この問題だと、点Ｅと点Ｆから底面に垂直に切り分けて、左の四角錐と真ん中の三角柱と右の四角錐に切り分けます（左の四角錐と右の四角錐は合同な立体です）。
左の四角錐の体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面ＨＡＩＬ×高さは四角錐０-ＡＢＣＤの半分×１／３
＝３×６×５×１／３
＝３０
真ん中の三角柱の体積は、
底面積△ＦＪＫ×高さの辺ＥＦ
＝６×５×１／２×６
＝９０
右の四角錐は左の四角錐と同じ体積で３０
以上より、求める立体の体積は３０＋９０＋３０＝１５０
延長して角錐の一部であることを見つて解く問題（相似の利用）
例題４：左の図は、１辺が６ｃｍの立方体で、点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＡＢ、
ＡＤの中点である。この立方体を４点Ｍ、Ｆ、Ｈ、Ｎを通る平面で切る。頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。（考え方）
この問題で、求めたい部分を直接切断するのは難しそうです。
視点をかえて、辺ＡＥ、ＭＦ、ＮＨを上に伸ばしたら、三角錐ができるのではないかと考えます。
三角錐Ｉ-ＥＦＨから、三角錐Ｉ-ＡＭＮをひいたらＡをふくむ立体の体積が求められます。三角錐Ｉ-ＥＦＨの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面△ＥＦＨ×高さＩＥ×１／３
＝６×６×１／２×１２×１／３
＝７２
三角錐Ｉ-ＡＭＮの体積は、
底面△ＡＭＮ×高さＩＡ×１／３
＝３×３×１／２×６×１／３
＝９
求める体積は７２−９＝６３
例題4についての質問です。
三角形の面積=底辺×高さ×2分の1の、2分の1です。