立体の切断の問題はレベルの高い高校の入試問題としてよく出題されます。
解き方に慣れておく必要があります。


垂直な辺から底面と高さを見つけて解く問題

例題1:左の図は、AB=4cm、BC=4cm、AD=6cm、∠ABC=90度の三角柱である。こ例題1の立体を、3点B、D、Fを通る平面で切る。頂点Aをふくむ立体の体積を求めよ。














(考え方)
切り取ったほうと残ったほうの両方をながめて、解きやすいほうを選ぶのが鉄則です。
この問題の場合、どう見ても三角錐B-DEFのほうが単純な立体なので、そちらの体積を最初に求め、全体からその体積をひくと求める立体の体積を求められます。

このとき、見かけに騙されて底面が△BDFの三角錐と思わないことです。

角錐の体積の公式は、底面積×高さ×1/3ですが、その裏の意味は、底面積高さがわかる立体しか体積は求められないということです。
この問題の場合、まず△DEFを底面積と見ると底面積を一番求めやすくなります。
また、△DEFを底面積と見たら、BEがこの三角錐の高さだということも出てきます。
高さある辺と面が垂直であるといえるには、面上の2本の直線とその辺とが垂直だといえることが必要です。
この問題だと、側面が長方形なので、BE⊥DE、BE⊥EFより、辺BFは面DEFに対して垂直です。

以上の考察より、三角錐B-DEFの体積は、
底面積×高さ×1/3
=△DEFの面積×高さBE×1/3
=4×4×1/2×6×1/3
=16

よって、求める頂点Aをふくむ立体の体積は、
三角柱−三角錐
=4×4×1/2×6−16
=48−16
=32


知っ得:角錐の体積の公式は、底面積×高さ×1/3だが、その裏の意味は、底面積高さがわかる立体しか体積は求められない、ということ



角柱と角錐にして体積を求める問題

例題2:左の図は、AB=6cm、BC=8cm、AD=4cm、∠ABC=90度の三例題2角柱で、点M、Nは辺AC、BCの中点である。この三角柱を、3点MDEを通る平面で切るとき、頂点Aをふくむほうの立体の体積を求めよ。










(考え方)
頂点Aをふくむ立体の体積をこのままで直接求めることはできません。
そこで思い浮かべてほしいのが、「習ったものしか入試には出ない」という鉄則です。
(球を除くと、)中学生が習った体積の公式は、円柱と角柱と円錐と角錐だけです。
この問題では円柱、円錐は考慮しなくてよいので、結局、自分たちが体積を求めることができるのは角柱と角錐だけです。
だから、角柱と角錐に分けてみようと考えます。

例題2の2そうすると、左の図のように区切ったら、体積を求めたい立体が三角柱と四角錐に分けられることに気づくことができます。
三角柱MGH-NBEと四角錐M-ADHGです。
区切るときの目安は、例題1と同様、高さにあたる辺を見つけられる切り方を考えることです。Mが頂点である四角錐と考えたら、MG⊥面ADHGになってくれます。

三角柱MGH-NBEの体積は底面積×高さ
=△NBE×高さGB
=4×4×1/2×3
=24

四角錐M-ADHGの体積は底面積×高さ×1/3
=底面ADHG×高さMG×1/3
=3×4×4×1/3
=16

よって、24+16=40


知っ得:(球を除くと)角柱と角錐、円柱と円錐の体積しか求められない。



同じ種類の問題で、さらにやや複雑な問題をもう1問。

例題3:左の図は、底面の1辺が12cm、高さが10cmの正四角錐である。点例題3E、F、G、Hはそれぞれ辺OA、OB、BC、ADの中点で、EF=6cmである。この四角錐を、4点E、F、G、Hを通る平面で切るとき、頂点Aをふくむほうの立体の体積を求めよ。










(考え方)例題2とまったく同様です。
(1)角柱と角錐しか体積は求められないから、角柱と角錐に分ける。
(2)高さが求められるかどうかを基準に立体を見つけていく。


例題3の2(1)(2)を念頭において切断する方法を考えます。

角錐の頂点(その点に各辺が集まる)を真っ先に見つけるのがコツです。

この問題だと、点Eと点Fから底面に垂直に切り分けて、左の四角錐と真ん中の三角柱と右の四角錐に切り分けます(左の四角錐と右の四角錐は合同な立体です)。

左の四角錐の体積は、
底面積×高さ×1/3
=底面HAIL×高さは四角錐0-ABCDの半分×1/3
=3×6×5×1/3
=30

真ん中の三角柱の体積は、
底面積△FJK×高さの辺EF
=6×5×1/2×6
=90

右の四角錐は左の四角錐と同じ体積で30

以上より、求める立体の体積は30+90+30=150



延長して角錐の一部であることを見つて解く問題(相似の利用)

例題4:左の図は、1辺が6cmの立方体で、点M、Nはそれぞれ辺AB、例題4ADの中点である。この立方体を4点M、F、H、Nを通る平面で切る。頂点Aをふくむほうの立体の体積を求めよ。












(考え方)
この問題で、求めたい部分を直接切断するのは難しそうです。

視点をかえて、辺AE、MF、NHを上に伸ばしたら、三角錐ができるのではないかと考えます。
例題4の2三角錐I-EFHから、三角錐I-AMNをひいたらAをふくむ立体の体積が求められます。

三角錐I-EFHの体積は、
底面積×高さ×1/3
=底面△EFH×高さIE×1/3
=6×6×1/2×12×1/3
=72

三角錐I-AMNの体積は、
底面△AMN×高さIA×1/3
=3×3×1/2×6×1/3
=9

求める体積は72−9=63