私立高校入試がせまってきたこの時期、毎日、中３生が自分ではうまく解けなかった問題を質問にきます。
数学の質問で多いのが、中学校の単元としては習わない、整数や規則性の問題です。
入試問題を解く前に、まず知っておくべき数列や規則性の問題の基礎・基本をまとめておきましょう。
ｎ番目の数を求める問題
例題１：１、４、７、１０、１３、・・・と、あるきまりをもって並んだ数の１００番目の数は何ですか。
３ずつ増えているという「きまり」は簡単に見つかります（高校数学では等差数列といいます）。
そこから出発します。
（解き方１）
植木算（間（あいだ）が１少ない）の考え方で求める方法
数と数の間が３ずつ増えていきます。
そして１００番目の数までに、数と数の間の個数は１００より１つ少ない９９個あるはずです。
最初の数が１で、それから３ずつ１００−１＝９９個増えているので、１＋３×９９＝２９８で求められます。
公式化すると、最初の数＋増加量×（ｎ−１）
（解き方２）
１次関数の考え方を利用して式を見つける方法
決まった割合で増加しているところが１次関数と同じです。
３ずつ増加しているので（変化の割合が３と考えて）、ｘ番目の数をｙとすると、ｙ＝３ｘ＋ｂの１次関数と考えてもよいということです。
ｂの見つけ方ですが、簡便な方法はｘ＝１番目のときの値がｙ＝１なので、１＝３×１−２から、ｂ＝２と見つけます。
または、１次関数ではｘ＝０のときのｙの値がｂだから、ｘ＝１のときのｙ＝１から３ずつ増えている数列なので、ｘ＝０のときは逆に３をひいて−２と求めることもできます。
要するに、３ずつ増えている数列はのｎ番目は３ｎ＋〜の形になると知っておいて、〜に当たる数が何かを見つければよいのです。
（整数の問題はｘのかわりにｎを用いて、ｎ番目の数を表す式は３ｎ−２であるとするのが一般的です。）
結局１００番目の数は、３ｎ−２の式でｎ＝１００のとき、３×１００−２＝２９８です。
例題１に関係する問題として、次の問題があります。
数列の和を求める問題
例題２：１＋３＋５＋・・・＋１５＋１７＋１９を計算しなさい。
（解き方）
最初の１と最後の１９の和は２０、２番目の３と最後から２番目の１７の和も２０、５と１５の和も２０・・・となっていることに着目して求めます。
和が２０になる組が何組あるかを次に見つけなければなりません。
ここで、例題１で理解した、ｎ番目の数を表す式を活用するべきです。
この数列は、最初が１で、２ずつ増えていく数列です。
公式、最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は１＋２（ｎ−１）
それが１９になっているので方程式にして、
１＋２（ｎ−１）＝１９
１＋２ｎ−２＝１９
２ｎ＝２０
ｎ＝１０
１９が１０番目の数だということがわかります。
ということは、２つずつでセットの、和が２０の組が１０÷２＝５セットあるはずなので、１＋・・・＋１９の計算の答えは２０×５＝１００だとわかります。
１段階だけむずかしくすると、次の問題になります。
例題３：１＋３＋５＋・・・＋４９＋５１＋５３を計算しなさい。
（解き方）
１＋５３＝５４、３＋５１＝５４、５＋４９＝５４だから、２つの和が５４になる組が何組あるかを見つけます。
先に、ｎ番目の数を表す式を求めておきます。
最初が１で、２ずつ増加する数列だから、公式「最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は、１＋２（ｎ−１）。
１＋２（ｎ−１）＝５３だから、この方程式を解いて、ｎ＝２７
５３は２７番目の数です。
２７番目で、２で割り切れません。
２７÷２＝１３あまり１。
和が５４になる組が１３組あって、ちょうど真ん中の数だけ、相棒がなくて組になれない単独の数が残るということです。
２７÷２＝１３あまり１なので、この単独の数は１３番目の次、つまり14番目の数です。
もう一度、１＋２（ｎ−１）の式を活用して、１４番目の数字は１＋２（１４−１）＝１＋２６＝２７。
以上より、１＋・・・＋５３の和は、５４×１３組＋２７＝７２９です。
繰り返しの周期を求める問題
例題４：分数の５／７を小数で表すとき、小数第４０位の数字を求めなさい。
（解き方）
必ず何かの規則が見つかるはずなので、実際に５÷７の筆算をしてみます。
５÷７＝０.７１４２８５７１・・
小数第７位から、その前の桁までの７１４２８５の繰り返しが始まることがわかります。
７１４２８５の桁数は６、つまり６桁ごとに繰り返されることがわかります。
小数第４０位をたずねる問題なので、６桁ごとの繰り返しが何回あるかを計算すると、４０÷６＝６あまり４
小数第４０位の数は、７１４２８５が６回繰り返されたあとの、７１４２８５の４番目です。
以上より、答えは２。
数学の質問で多いのが、中学校の単元としては習わない、整数や規則性の問題です。
入試問題を解く前に、まず知っておくべき数列や規則性の問題の基礎・基本をまとめておきましょう。
ｎ番目の数を求める問題
例題１：１、４、７、１０、１３、・・・と、あるきまりをもって並んだ数の１００番目の数は何ですか。
３ずつ増えているという「きまり」は簡単に見つかります（高校数学では等差数列といいます）。
そこから出発します。
（解き方１）
植木算（間（あいだ）が１少ない）の考え方で求める方法
数と数の間が３ずつ増えていきます。
そして１００番目の数までに、数と数の間の個数は１００より１つ少ない９９個あるはずです。
最初の数が１で、それから３ずつ１００−１＝９９個増えているので、１＋３×９９＝２９８で求められます。
公式化すると、最初の数＋増加量×（ｎ−１）
（解き方２）
１次関数の考え方を利用して式を見つける方法
決まった割合で増加しているところが１次関数と同じです。
３ずつ増加しているので（変化の割合が３と考えて）、ｘ番目の数をｙとすると、ｙ＝３ｘ＋ｂの１次関数と考えてもよいということです。
ｂの見つけ方ですが、簡便な方法はｘ＝１番目のときの値がｙ＝１なので、１＝３×１−２から、ｂ＝２と見つけます。
または、１次関数ではｘ＝０のときのｙの値がｂだから、ｘ＝１のときのｙ＝１から３ずつ増えている数列なので、ｘ＝０のときは逆に３をひいて−２と求めることもできます。
要するに、３ずつ増えている数列はのｎ番目は３ｎ＋〜の形になると知っておいて、〜に当たる数が何かを見つければよいのです。
（整数の問題はｘのかわりにｎを用いて、ｎ番目の数を表す式は３ｎ−２であるとするのが一般的です。）
結局１００番目の数は、３ｎ−２の式でｎ＝１００のとき、３×１００−２＝２９８です。
例題１に関係する問題として、次の問題があります。
数列の和を求める問題
例題２：１＋３＋５＋・・・＋１５＋１７＋１９を計算しなさい。
（解き方）
最初の１と最後の１９の和は２０、２番目の３と最後から２番目の１７の和も２０、５と１５の和も２０・・・となっていることに着目して求めます。
和が２０になる組が何組あるかを次に見つけなければなりません。
ここで、例題１で理解した、ｎ番目の数を表す式を活用するべきです。
この数列は、最初が１で、２ずつ増えていく数列です。
公式、最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は１＋２（ｎ−１）
それが１９になっているので方程式にして、
１＋２（ｎ−１）＝１９
１＋２ｎ−２＝１９
２ｎ＝２０
ｎ＝１０
１９が１０番目の数だということがわかります。
ということは、２つずつでセットの、和が２０の組が１０÷２＝５セットあるはずなので、１＋・・・＋１９の計算の答えは２０×５＝１００だとわかります。
１段階だけむずかしくすると、次の問題になります。
例題３：１＋３＋５＋・・・＋４９＋５１＋５３を計算しなさい。
（解き方）
１＋５３＝５４、３＋５１＝５４、５＋４９＝５４だから、２つの和が５４になる組が何組あるかを見つけます。
先に、ｎ番目の数を表す式を求めておきます。
最初が１で、２ずつ増加する数列だから、公式「最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は、１＋２（ｎ−１）。
１＋２（ｎ−１）＝５３だから、この方程式を解いて、ｎ＝２７
５３は２７番目の数です。
２７番目で、２で割り切れません。
２７÷２＝１３あまり１。
和が５４になる組が１３組あって、ちょうど真ん中の数だけ、相棒がなくて組になれない単独の数が残るということです。
２７÷２＝１３あまり１なので、この単独の数は１３番目の次、つまり14番目の数です。
もう一度、１＋２（ｎ−１）の式を活用して、１４番目の数字は１＋２（１４−１）＝１＋２６＝２７。
以上より、１＋・・・＋５３の和は、５４×１３組＋２７＝７２９です。
繰り返しの周期を求める問題
例題４：分数の５／７を小数で表すとき、小数第４０位の数字を求めなさい。
（解き方）
必ず何かの規則が見つかるはずなので、実際に５÷７の筆算をしてみます。
５÷７＝０.７１４２８５７１・・
小数第７位から、その前の桁までの７１４２８５の繰り返しが始まることがわかります。
７１４２８５の桁数は６、つまり６桁ごとに繰り返されることがわかります。
小数第４０位をたずねる問題なので、６桁ごとの繰り返しが何回あるかを計算すると、４０÷６＝６あまり４
小数第４０位の数は、７１４２８５が６回繰り返されたあとの、７１４２８５の４番目です。
以上より、答えは２。
超わかりやすいです
わが塾からも過去２人、工科学校に進んでおります。
お国のために、頑張ってください。