私立高校入試がせまってきたこの時期、毎日、中3生が自分ではうまく解けなかった問題を質問にきます。
数学の質問で多いのが、中学校の単元としては習わない、整数や規則性の問題です。

入試問題を解く前に、まず知っておくべき数列や規則性の問題の基礎・基本をまとめておきましょう。


n番目の数を求める問題

例題1:1、4、7、10、13、・・・と、あるきまりをもって並んだ数の100番目の数は何ですか。

3ずつ増えているという「きまり」は簡単に見つかります(高校数学では等差数列といいます)。
そこから出発します。

(解き方1)
植木算(間(あいだ)が1少ない)の考え方で求める方法

数と数の間が3ずつ増えていきます。
そして100番目の数までに、数と数の間の個数は100より1つ少ない99個あるはずです。
最初の数が1で、それから3ずつ100−1=99個増えているので、1+3×99=298で求められます。

公式化すると、最初の数+増加量×(n−1)


(解き方2)
1次関数の考え方を利用して式を見つける方法

決まった割合で増加しているところが1次関数と同じです。
3ずつ増加しているので(変化の割合が3と考えて)、x番目の数をyとすると、y=3x+bの1次関数と考えてもよいということです。

bの見つけ方ですが、簡便な方法はx=1番目のときの値がy=1なので、1=3×1−2から、b=2と見つけます。

または、1次関数ではx=0のときのyの値がbだから、x=1のときのy=1から3ずつ増えている数列なので、x=0のときは逆に3をひいて−2と求めることもできます。

規則性1



要するに、3ずつ増えている数列はのn番目は3n+〜の形になると知っておいて、〜に当たる数が何かを見つければよいのです。
(整数の問題はxのかわりにnを用いて、n番目の数を表す式は3n−2であるとするのが一般的です。)

結局100番目の数は、3n−2の式でn=100のとき、3×100−2=298です。


例題1に関係する問題として、次の問題があります。

数列の和を求める問題

例題2:1+3+5+・・・+15+17+19を計算しなさい。


(解き方)
最初の1と最後の19の和は20、2番目の3と最後から2番目の17の和も20、5と15の和も20・・・となっていることに着目して求めます。

和が20になる組が何組あるかを次に見つけなければなりません。

ここで、例題1で理解した、n番目の数を表す式を活用するべきです。

この数列は、最初が1で、2ずつ増えていく数列です。
公式、最初の数+増加量×(n−1)より、n番目の数は1+2(n−1)
それが19になっているので方程式にして、
1+2(n−1)=19
1+2n−2=19
2n=20
n=10

19が10番目の数だということがわかります。

ということは、2つずつでセットの、和が20の組が10÷2=5セットあるはずなので、1+・・・+19の計算の答えは20×5=100だとわかります。


1段階だけむずかしくすると、次の問題になります。

例題3:1+3+5+・・・+49+51+53を計算しなさい。

(解き方)
1+53=54、3+51=54、5+49=54だから、2つの和が54になる組が何組あるかを見つけます。

先に、n番目の数を表す式を求めておきます。
最初が1で、2ずつ増加する数列だから、公式「最初の数+増加量×(n−1)より、n番目の数は、1+2(n−1)。
1+2(n−1)=53だから、この方程式を解いて、n=27
53は27番目の数です。

27番目で、2で割り切れません。
27÷2=13あまり1。
和が54になる組が13組あって、ちょうど真ん中の数だけ、相棒がなくて組になれない単独の数が残るということです。

27÷2=13あまり1なので、この単独の数は13番目の次、つまり14番目の数です。
もう一度、1+2(n−1)の式を活用して、14番目の数字は1+2(14−1)=1+26=27。

以上より、1+・・・+53の和は、54×13組+27=729です。


繰り返しの周期を求める問題

例題4:分数の5/7を小数で表すとき、小数第40位の数字を求めなさい。

(解き方)
必ず何かの規則が見つかるはずなので、実際に5÷7の筆算をしてみます。
5÷7=0.71428571・・
小数第7位から、その前の桁までの714285の繰り返しが始まることがわかります。

714285の桁数は6、つまり6桁ごとに繰り返されることがわかります。

小数第40位をたずねる問題なので、6桁ごとの繰り返しが何回あるかを計算すると、40÷6=6あまり4
小数第40位の数は、714285が6回繰り返されたあとの、714285の4番目です。
以上より、答えは2。