数列や規則性の問題を解くときの基本を踏まえて、次に私立高校の入試問題を解いてみましょう。


例題1:3の2010乗を5でわった余りを求めなさい。


(規則を見つける)
規則が見つかるまで、愚直に書き出してみます。
3の1乗=3(1の位は3)
3の2乗=9(1の位は9)
3の3乗=27(1の位は7)
3の4乗=81(1の位は1)
3の5乗=243(1の位は3)
3の6乗=729(1の位は9)

このあたりで、1の位が3、9、7、1、3、9、7、1・・・の規則で、4こずつのグループとして出現することがわかります。

(解く)
4こずつのグループが2010までに何個あるかを求めます。
2010÷4=502あまり2

3、9、7、1が502組あったあとの2番目なので、1の位の数字は3、9、7、1の2番目である9です。
1の位が9である数を5でわったあまりだから9÷5=1あまり4

答えは4です。


例題2:2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べてできる数列

1、5、7、11、13、17、19、・・・

について、次の問いに答えよ。


(1)103は何番目に現れるか、求めよ。
(2)数列の2010番目の数を求めよ。



(規則を見つける)
問題文中の、「2の倍数でも3の倍数でもない」の文言に必ず意味があるはずです。
そして、1、5は4増えて、次の5、7は2増えて、次の7、11は4増え、11、13は2増えと、2つずつ規則性をもって増えていることがわかります。

以上の2つの観点から考察して、2と3の公倍数の6でわったときのあまりが、1のものと5のものが交互に並んでいると見つけます。

(問い(1)を解く)
103を6でわると、103÷6=17あまり1。

103は6でわると1余る数が17個あった後の次の数です。

2つずつの組が17個あった後の次の数だから、2×17+1=35。

答えは35番目です。

(問い(2)を解く)
2010÷2=1005だから、2010番目の数は、2つずつの組の1005番目のうしろのほうの数です。

n番目の組のうしろの数字は、最初が5で、6ずつ(n−1)回増えた数字だから、
5+6(1005−1)
=6029