場合の数には３種類あることを最初に確認しておきましょう。
（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）、（３）順列でも組合せでもない場合の数、の３種類です。
この稿では（１）のならべ方（順列）を取り上げます。
ならべ方（順列）とは、１と２で２桁の数をつくるときのように、１２と２１で順序が違うと別のものなので、別々に数えないといけないもののことです。
例題１：１、２、３、４の４枚のカードがある。このカードのうち２枚をならべてできる２桁の数は全部で何通りできるか。
（考え方と式）
２桁の数の、まず１０の位にくるカードを決めます。
１か２か３か４かの４通りです。
１０の位を１と決めると、１の位には２か３か４の３種類を選ぶことができます。
そして１０の位におくことができるカードは１、２、３、４の４種類であり、そのそれぞれについて、１の位を３種類ずつ選ぶことができます。
このことを式にすると、
４×３＝１２
答えは１２通りです。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
この問題のやり方を参考にして、ｎ個からｒ個取り出してならべるときの公式をつくってみましょう。
この問題のように、４個から２個取り出してならべるとき、かけ算の式になりますが、かけ算をする数字は２個であり、かけ算の前が４、かけ算のうしろが４から１をひいた３です。
このことを一般化すると、ｎ個からｒ個取り出してならべるとき、ならべ方が何通りあるかを求める式は、
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×・・・であり、
かけ算を構成する数字はｒ個であるということができます。
例えば、５個の数字をならべて３桁の数をつくる問題であれば、最初が５で始まり、１ずつ減らした数字を３個ならべたかけ算をしたらよいので、
５×４×３＝６０通り
で求めることができるということです。
さらにわかりやすく言い換えると、５個から３個選んでならべる問題であれば、四角を３つかいておいて、その四角の中に５、４、３と記入して、かけ算をすればよいということです。
ｎ個からｒ個取り出してならべる問題であれば、さっさと四角をｒ個かいて、左端からｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・とかき込んで、かけ算をすればよいということです。
式をかいて解く方法がわかったら、練習してみましょう。
例題２：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人がリレーで１人ずつ走るとき、走る順番は何通りあるか。
（考え方と式）
５人全部がならぶので、５人から５人をとってならべる順列です。
かけ算を構成する枠の数は５つ、前から５×４×３×２×１と５つの枠に入れてかけ算をしたらよいことになります。
５×４×３×２×１＝１２０
１２０通りです。
１段階だけむずかしくすると、次のような問題になります。
例題３：０、１、２、３の４枚のカードがある。このうち３枚のカードをならべてできる３桁の数は全部で何通りあるか。
（考え方と式）
３枚のカードをならべるので、かけ算を構成する枠の数は３です。
考えないといけないのは、最初の枠に入る数字です。
０が、最初にくる３桁の数はありえません。
この場合、最初にならべてよい数は、４枚のカードのうち０を除いた３枚です。
最初の数が決まると、２枚目（１０の位）は０が入ってもよいので最初にならべた数以外の３通り、３枚目（１の位）は０を入れた４枚のうち最初と２枚目を除いた２通り。
以上より、枠の３つのかけ算、通常であれば４×３×２を、最初が０以外の３通りしか選べないので（４−１）×３×２に修正しないといけないということになります。
３×３×２＝１８通り
（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）、（３）順列でも組合せでもない場合の数、の３種類です。
この稿では（１）のならべ方（順列）を取り上げます。
ならべ方（順列）とは、１と２で２桁の数をつくるときのように、１２と２１で順序が違うと別のものなので、別々に数えないといけないもののことです。
例題１：１、２、３、４の４枚のカードがある。このカードのうち２枚をならべてできる２桁の数は全部で何通りできるか。
（考え方と式）
２桁の数の、まず１０の位にくるカードを決めます。
１か２か３か４かの４通りです。
１０の位を１と決めると、１の位には２か３か４の３種類を選ぶことができます。
そして１０の位におくことができるカードは１、２、３、４の４種類であり、そのそれぞれについて、１の位を３種類ずつ選ぶことができます。
このことを式にすると、
４×３＝１２
答えは１２通りです。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
この問題のやり方を参考にして、ｎ個からｒ個取り出してならべるときの公式をつくってみましょう。
この問題のように、４個から２個取り出してならべるとき、かけ算の式になりますが、かけ算をする数字は２個であり、かけ算の前が４、かけ算のうしろが４から１をひいた３です。
このことを一般化すると、ｎ個からｒ個取り出してならべるとき、ならべ方が何通りあるかを求める式は、
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×・・・であり、
かけ算を構成する数字はｒ個であるということができます。
例えば、５個の数字をならべて３桁の数をつくる問題であれば、最初が５で始まり、１ずつ減らした数字を３個ならべたかけ算をしたらよいので、
５×４×３＝６０通り
で求めることができるということです。
さらにわかりやすく言い換えると、５個から３個選んでならべる問題であれば、四角を３つかいておいて、その四角の中に５、４、３と記入して、かけ算をすればよいということです。
ｎ個からｒ個取り出してならべる問題であれば、さっさと四角をｒ個かいて、左端からｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・とかき込んで、かけ算をすればよいということです。
式をかいて解く方法がわかったら、練習してみましょう。
例題２：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人がリレーで１人ずつ走るとき、走る順番は何通りあるか。
（考え方と式）
５人全部がならぶので、５人から５人をとってならべる順列です。
かけ算を構成する枠の数は５つ、前から５×４×３×２×１と５つの枠に入れてかけ算をしたらよいことになります。
５×４×３×２×１＝１２０
１２０通りです。
１段階だけむずかしくすると、次のような問題になります。
例題３：０、１、２、３の４枚のカードがある。このうち３枚のカードをならべてできる３桁の数は全部で何通りあるか。
（考え方と式）
３枚のカードをならべるので、かけ算を構成する枠の数は３です。
考えないといけないのは、最初の枠に入る数字です。
０が、最初にくる３桁の数はありえません。
この場合、最初にならべてよい数は、４枚のカードのうち０を除いた３枚です。
最初の数が決まると、２枚目（１０の位）は０が入ってもよいので最初にならべた数以外の３通り、３枚目（１の位）は０を入れた４枚のうち最初と２枚目を除いた２通り。
以上より、枠の３つのかけ算、通常であれば４×３×２を、最初が０以外の３通りしか選べないので（４−１）×３×２に修正しないといけないということになります。
３×３×２＝１８通り
