場合の数には3種類あることを最初に確認しておきましょう。
(1)ならべ方(順列)、(2)選び方(組合せ)、(3)順列でも組合せでもない場合の数、の3種類です。
この稿では(1)のならべ方(順列)を取り上げます。
ならべ方(順列)とは、1と2で2桁の数をつくるときのように、12と21で順序が違うと別のものなので、別々に数えないといけないもののことです。
例題1:1、2、3、4の4枚のカードがある。このカードのうち2枚をならべてできる2桁の数は全部で何通りできるか。
(考え方と式)
2桁の数の、まず10の位にくるカードを決めます。
1か2か3か4かの4通りです。
10の位を1と決めると、1の位には2か3か4の3種類を選ぶことができます。
そして10の位におくことができるカードは1、2、3、4の4種類であり、そのそれぞれについて、1の位を3種類ずつ選ぶことができます。
このことを式にすると、
4×3=12
答えは12通りです。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
この問題のやり方を参考にして、n個からr個取り出してならべるときの公式をつくってみましょう。
この問題のように、4個から2個取り出してならべるとき、かけ算の式になりますが、かけ算をする数字は2個であり、かけ算の前が4、かけ算のうしろが4から1をひいた3です。
このことを一般化すると、n個からr個取り出してならべるとき、ならべ方が何通りあるかを求める式は、
n×(n−1)×(n−2)×・・・であり、
かけ算を構成する数字はr個であるということができます。
例えば、5個の数字をならべて3桁の数をつくる問題であれば、最初が5で始まり、1ずつ減らした数字を3個ならべたかけ算をしたらよいので、
5×4×3=60通り
で求めることができるということです。
さらにわかりやすく言い換えると、5個から3個選んでならべる問題であれば、四角を3つかいておいて、その四角の中に5、4、3と記入して、かけ算をすればよいということです。

n個からr個取り出してならべる問題であれば、さっさと四角をr個かいて、左端からn、n−1、n−2、・・・とかき込んで、かけ算をすればよいということです。

式をかいて解く方法がわかったら、練習してみましょう。
例題2:A、B、C、D、Eの5人がリレーで1人ずつ走るとき、走る順番は何通りあるか。
(考え方と式)
5人全部がならぶので、5人から5人をとってならべる順列です。
かけ算を構成する枠の数は5つ、前から5×4×3×2×1と5つの枠に入れてかけ算をしたらよいことになります。
5×4×3×2×1=120
120通りです。
1段階だけむずかしくすると、次のような問題になります。
例題3:0、1、2、3の4枚のカードがある。このうち3枚のカードをならべてできる3桁の数は全部で何通りあるか。
(考え方と式)
3枚のカードをならべるので、かけ算を構成する枠の数は3です。
考えないといけないのは、最初の枠に入る数字です。
0が、最初にくる3桁の数はありえません。
この場合、最初にならべてよい数は、4枚のカードのうち0を除いた3枚です。
最初の数が決まると、2枚目(10の位)は0が入ってもよいので最初にならべた数以外の3通り、3枚目(1の位)は0を入れた4枚のうち最初と2枚目を除いた2通り。
以上より、枠の3つのかけ算、通常であれば4×3×2を、最初が0以外の3通りしか選べないので(4−1)×3×2に修正しないといけないということになります。
3×3×2=18通り
(1)ならべ方(順列)、(2)選び方(組合せ)、(3)順列でも組合せでもない場合の数、の3種類です。
この稿では(1)のならべ方(順列)を取り上げます。
ならべ方(順列)とは、1と2で2桁の数をつくるときのように、12と21で順序が違うと別のものなので、別々に数えないといけないもののことです。
例題1:1、2、3、4の4枚のカードがある。このカードのうち2枚をならべてできる2桁の数は全部で何通りできるか。
(考え方と式)
2桁の数の、まず10の位にくるカードを決めます。
1か2か3か4かの4通りです。
10の位を1と決めると、1の位には2か3か4の3種類を選ぶことができます。
そして10の位におくことができるカードは1、2、3、4の4種類であり、そのそれぞれについて、1の位を3種類ずつ選ぶことができます。
このことを式にすると、
4×3=12
答えは12通りです。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
この問題のやり方を参考にして、n個からr個取り出してならべるときの公式をつくってみましょう。
この問題のように、4個から2個取り出してならべるとき、かけ算の式になりますが、かけ算をする数字は2個であり、かけ算の前が4、かけ算のうしろが4から1をひいた3です。
このことを一般化すると、n個からr個取り出してならべるとき、ならべ方が何通りあるかを求める式は、
n×(n−1)×(n−2)×・・・であり、
かけ算を構成する数字はr個であるということができます。
例えば、5個の数字をならべて3桁の数をつくる問題であれば、最初が5で始まり、1ずつ減らした数字を3個ならべたかけ算をしたらよいので、
5×4×3=60通り
で求めることができるということです。
さらにわかりやすく言い換えると、5個から3個選んでならべる問題であれば、四角を3つかいておいて、その四角の中に5、4、3と記入して、かけ算をすればよいということです。

n個からr個取り出してならべる問題であれば、さっさと四角をr個かいて、左端からn、n−1、n−2、・・・とかき込んで、かけ算をすればよいということです。

式をかいて解く方法がわかったら、練習してみましょう。
例題2:A、B、C、D、Eの5人がリレーで1人ずつ走るとき、走る順番は何通りあるか。
(考え方と式)
5人全部がならぶので、5人から5人をとってならべる順列です。
かけ算を構成する枠の数は5つ、前から5×4×3×2×1と5つの枠に入れてかけ算をしたらよいことになります。
5×4×3×2×1=120
120通りです。
1段階だけむずかしくすると、次のような問題になります。
例題3:0、1、2、3の4枚のカードがある。このうち3枚のカードをならべてできる3桁の数は全部で何通りあるか。
(考え方と式)
3枚のカードをならべるので、かけ算を構成する枠の数は3です。
考えないといけないのは、最初の枠に入る数字です。
0が、最初にくる3桁の数はありえません。
この場合、最初にならべてよい数は、4枚のカードのうち0を除いた3枚です。
最初の数が決まると、2枚目(10の位)は0が入ってもよいので最初にならべた数以外の3通り、3枚目(1の位)は0を入れた4枚のうち最初と2枚目を除いた2通り。
以上より、枠の3つのかけ算、通常であれば4×3×2を、最初が0以外の3通りしか選べないので(4−1)×3×2に修正しないといけないということになります。
3×3×2=18通り