３種類ある場合の数の問題、（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）、（３）順列でも組合せでもない場合の数、のうち、この稿で取り扱うのは２番目の選び方（組合せ）です。
選び方（組合せ）とは、Ａ、Ｂ、Ｃの３人から２人を選ぶときのように、ＡとＢ、ＢとＡは同じものなので、別々に数えてはいけないもののことです。
例題１：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人から３人の委員を選ぶとき、選び方は何通りあるか。
（考え方と式）
５人から３人を選ぶ問題です（５人から２人を選ぶのと同じ答えになるのですが、ここではそのことにはふれません）。
５つから３つを取り出して「ならべる」問題だと、『ならべ方を求める式』で学んだように、枠が３つで、５と５−１と５−２のかけ算になり、５×４×３＝６０通りです。
この場合、例えばＡとＢとＣをならべたＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡはすべて別々として数え上げています。
ところが「選び方」だと、ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡを別に数えるわけにいきません。ＡとＢとＣの３人を選んだ場合として、選び方としてはただの１個です。
だから、５×４×３＝６０で求めた６０のならべ方の中には、ダブっていて、数えてはいけないものが含まれているので、６０のならべ方のうちからその分を除いておかないといけません。
では、ダブって数えたのはどれだけか？
選んだ３人の「ならべ方」の個数です。
ＡとＢとＣを選んだとしたら、そのならべ方、３個から３個取り出してならべた順列の数だけ、ダブって数えていることになります。
３個から３個選んでならべる個数なので、枠が３個で、３と３−１と３−２のかけ算、３×２×１＝６で、全体のならべ方５×４×３＝６０をわらないといけません。
以上より、５人から３人を選ぶ「選び方（組合せ）」を求める式は、（５×４×３）÷（３×２×１）であり、答えは１０通りだということになります。
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この問題を解き方を参考にして、ｎ個からｒ個を選ぶときの選び方を求める式をつくってみましょう。
簡単にいうと、ｎ個からｒ個を選ぶ場合の数を求めるときは、分数の分子にｒ個の枠をかいて、ｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・と数を書き込む、分数の分母に同じｒ個の枠をかき、ｒ、ｒ−１、ｒ−２、・・・、２、１と書き込む、約分をすませて答えを求めたらよい、ということです。
では、式を使う練習を。
例題２：１週間のうち、２日掃除をすることにしたい。曜日の選び方は何通りあるか。
（考え方と式）
１週間７日から２日を選ぶ場合の数を求める問題です。
分数の分子に２つ枠をかいてその中に入れる数字は７×６、分母にも２つ枠をかいてそれに入れる数字は２×１。
７×６／２×１
＝７×３・・・（約分を先に）
＝２１通り
選び方（組合せ）とは、Ａ、Ｂ、Ｃの３人から２人を選ぶときのように、ＡとＢ、ＢとＡは同じものなので、別々に数えてはいけないもののことです。
例題１：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人から３人の委員を選ぶとき、選び方は何通りあるか。
（考え方と式）
５人から３人を選ぶ問題です（５人から２人を選ぶのと同じ答えになるのですが、ここではそのことにはふれません）。
５つから３つを取り出して「ならべる」問題だと、『ならべ方を求める式』で学んだように、枠が３つで、５と５−１と５−２のかけ算になり、５×４×３＝６０通りです。
この場合、例えばＡとＢとＣをならべたＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡはすべて別々として数え上げています。
ところが「選び方」だと、ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡを別に数えるわけにいきません。ＡとＢとＣの３人を選んだ場合として、選び方としてはただの１個です。
だから、５×４×３＝６０で求めた６０のならべ方の中には、ダブっていて、数えてはいけないものが含まれているので、６０のならべ方のうちからその分を除いておかないといけません。
では、ダブって数えたのはどれだけか？
選んだ３人の「ならべ方」の個数です。
ＡとＢとＣを選んだとしたら、そのならべ方、３個から３個取り出してならべた順列の数だけ、ダブって数えていることになります。
３個から３個選んでならべる個数なので、枠が３個で、３と３−１と３−２のかけ算、３×２×１＝６で、全体のならべ方５×４×３＝６０をわらないといけません。
以上より、５人から３人を選ぶ「選び方（組合せ）」を求める式は、（５×４×３）÷（３×２×１）であり、答えは１０通りだということになります。
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この問題を解き方を参考にして、ｎ個からｒ個を選ぶときの選び方を求める式をつくってみましょう。
５個から３個「選ぶ」とき、（５つのならべ方）÷（３つのならべ方）でした。
つまり、（枠が３つで、５×４×３）÷（枠が３つで３×２×１）です。
一般化して、ｎ個からｒ個選ぶとき、選び方の個数を求める式は、
（枠がｒ個で、ｎ×（ｎ−１）×・・・×（ｎ−ｒ＋１））÷（枠がｒ個で、ｒ×（ｒ−１）×・・・×１）
ということになります。
つまり、（枠が３つで、５×４×３）÷（枠が３つで３×２×１）です。
一般化して、ｎ個からｒ個選ぶとき、選び方の個数を求める式は、
（枠がｒ個で、ｎ×（ｎ−１）×・・・×（ｎ−ｒ＋１））÷（枠がｒ個で、ｒ×（ｒ−１）×・・・×１）
ということになります。
簡単にいうと、ｎ個からｒ個を選ぶ場合の数を求めるときは、分数の分子にｒ個の枠をかいて、ｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・と数を書き込む、分数の分母に同じｒ個の枠をかき、ｒ、ｒ−１、ｒ−２、・・・、２、１と書き込む、約分をすませて答えを求めたらよい、ということです。
では、式を使う練習を。
例題２：１週間のうち、２日掃除をすることにしたい。曜日の選び方は何通りあるか。
（考え方と式）
１週間７日から２日を選ぶ場合の数を求める問題です。
分数の分子に２つ枠をかいてその中に入れる数字は７×６、分母にも２つ枠をかいてそれに入れる数字は２×１。
７×６／２×１
＝７×３・・・（約分を先に）
＝２１通り
これからも参考にさせていただきます。