文字がxとyの2個で式が2つあれば普通の連立方程式で誰でも解けます。

連立方程式の解き方を習う前に、教科書にもワーク類にも文字が2つあって式が1つしかない方程式が出てくるのですが、ほとんどの人は忘れてしまいます。

教科書には載っているのに皆が忘れがち、公立高校の入試問題をつくる人はそれを見逃しません。

次の問題は、大阪府公立高校入試、平成20年度前期理数科の問題です。


平成20年前期理数科1の(6):x、yを自然数とするとき、3x+4y=56をみたすx、yの値の組をすべて求めなさい。


どうやって解くんでしょうね?


1つずつ代入する方法でもなんとかなります。

x=1のとき、3×1+4y=56、4y=53、わりきれるyがないからダメ。
x=2のとき、3×2+4y=56、4y=50、わりきれるyがないからダメ。
x=3のとき、3×3+4y=56、4y=47、やはりダメ。
不安になってきますがもうちょっと頑張ります。
x=4のとき、3×4+4y=56、4y=44、y=11。
やっと見つかりました。

あとは、問いが「すべて求めなさい」ですから、規則を探しながらさらに代入したらなんとかなります。

x=5のとき、ダメ。
x=6のとき、ダメ。
x=7のとき、ダメ。
x=8のとき、3×8+4y=56で、4y=32、y=8。

4回目ごとにx、yの値の組が見つかり、yの値が11から8と3減るのではないかと見当がつきます。
4yだから4回ごと、3xだから3減るのだろうと推測もできます。

だから次はx=12のときだろうと見当をつけて、3×12+4y=56、4y=20、y=5。

ビンゴ!です。

x=4・y=11、x=8・y=8、x=12・y=5、x=16・y=2で、そのあとはx=20・y=−1となり自然数ではなくなるので、以上4組が答えです。


これで悪くはないのですが、原始的というかちょっと芸がないというか。
もうちょっと数学的な方法で解きたくなりませんか。

数学の約束事の1つとして、『1つの文字について解く』という方法を使うと上手に解けることがよくあります。

1つの文字について解く』とは、この問題だと、x=〜かy=〜の形に式を変形することです。

与えられた式3x+4y=56を、例えばy=〜の形に変形してみましょう。

3x+4y=56
4y=56−3x
y=(56−3x)/4

2元1次方程式





分数の式にすると、yが自然数にならないといけないので分子の56−3xが分母4の倍数でなければならないことがわかります。

そうすると、x=1から代入してみて(結局代入することはするのですが)、x=4のときy=11、x=8のときy=8、x=12のときy=5、x=16のときy=2と求めることができます。