大阪府公立高校入試、難しい理数科の入試問題のうち、ここで取り上げるのは平成20年度1番の(7)です。

1番は計算問題をふくむ小問8問で構成されています。
受験生からすると1番はさっさと全問片づけて2番以降の大問にとりかかりたいところですが、最難関の理数科、そうはさせてくれません。


1(7):nを自然数とするとき、√aの値がnより大きくn+2より小さくなるような自然数aは何個ありますか。nを用いて表しなさい。


一見、平方根の大きさを比べる問題かと思ってしまいます。

しかし、大小を比較するのに2乗して調べようと思ってもうまくいきません。
それに、「nを用いて表しなさい」とあることからも2乗するだけでは解けそうもない。

「nを用いて表しなさい」がヒントですね。
どうやら、nが1のとき、nが2のとき、・・・と規則を見つけるのではないかと見当をつけます。

はやく解きたいとはやる気持ちを抑えて、n=1のときから試しに書き出してみます。

n=1のとき
1<√a<3
両辺を2乗して1<a<9
aは8−1=7個

n=2のとき
2<√a<4
2乗すると
4<a<16
aは15−4=11個

n=3のとき
3<√a<5
2乗して
9<a<25
24−9=15個

ここで、「やった!規則を見つけたぞ!」とわかります。
どうやらnが1増えるごとに個数が4ずつ増える数列らしい。

規則が見つかったら、もう1つだけ試してみて確認します。

n=4のとき
4<√a<6
2乗して
16<a<36
35−16=19個

ビンゴ!でした。

ここまでのコツをまとめておきましょう。

(1)番目、番目、番目までで規則を見つける

(2)番目で規則が成り立っていることを確認する。


次に、「nを用いて表しなさい。」とあるので、落ち着いて式を見つけます。

最初が7で、4ずつ増える数列です。

そして、2番目が7+4×1、3番目が7+4×2、・・・のきまりを見つけて、いわゆる植木算の考え方、4の増える回数はn番目だとnより1少ないことを確認して式にします。

n番目は7+4×(n−1)です。

答えは、7+4×(n−1)=7+4n−4となり、4n+3です。


公立の入試によく出るので最後に暗記。

同じ数ずつ増える数列を求める式=最初の数増える数×(n−1)



余談:差が2である2つの整数を使ってこんな問題をつくってしまう大阪府の入試問題作成委員の先生って、偉いですね。



(U先生の別解)

条件(仮定)より,n<√a<n+2
各辺いずれも正の数なので,nの2乗<a<(n+2)の2乗
つまり,aはnの2乗と(n+2)の2乗との間にある自然数なので,
その個数は,(n+2)の2乗−nの2乗−1=4n+3

※馬鹿正直に解く方法です。この解法だと,式の最後の“−1”に気づけるかどうかがポイントだと思います。


この解き方のほうが正統ですね。