中1の体積の授業では、最初に体積を求める公式、角柱・円柱の体積=底面積×高さ、角錐・円錐の体積=底面積×高さ×1/3を覚えてもらいます。
このとき必ず出る質問が、「なぜ、『錐』の体積は『柱』の3分の1になるんですか?」です。

「理屈で求めるのは中学生には無理なんだよ、高校で習う積分を使わないと説明できないんだ。」
「なんか学校でやりましたよ。」
「円柱と円錐の容器に水を入れて、円錐の容器3杯分が円柱になるのを確かめただけと違う?中学生は公式を丸暗記して使うしかないと思うよ。」
と、お茶をにごして切り上げるものの、中学生にわかるように教えてあげられないかなとはいつも思っています。

『錐』の体積が『柱』の体積の1/3になることの証明、円錐だと私の力量では無理ですが、最も基礎的な立体である四角柱だったらなんとか中学生にもわかる説明ができないこともありません。

縦a、横b、高さcの四角柱(直方体)を例に証明してみましょう。

直方体
図の四角柱の体積は、底面積×高さの公式より、a×b×c=abcです。














この四角柱を角錐に分解します。
四角錐3

















まず、下の長方形(縦a、横b)を底面とする四角錐(高さc)と上の長方形(縦a、横b)を底面とする四角錐(高さc)を考えます。
四角錐1四角錐2
四角錐の体積が四角柱の体積のk倍であると仮定すると、それぞれの四角錐の体積はa×b×c×kと表わされます。







もとの四角柱からこの2つの四角錐をとった後には三角錐が2つ残ります。
三角錐2三角錐1
この三角錐それぞれの体積を式で表わします。

1つの三角錐の体積がもとの四角柱の体積のk倍だと仮定すると、三角錐1個分の体積はa×c×1/2×b×kと表わすことができます。








上の図からわかるように、四角柱は2つの四角錐と2つの三角錐、合計4つの角錐に分解できます。

4つの角錐の体積を表わす式の和と、もとの四角柱の体積を表わす式とが等しいはずですから、
(a×b×c×k)×2+(a×c×1/2×b×k)×2=a×b×c
2abck+abck=abc
3abck=abc
k=abc/3abc
k=1/3

四角錐の体積は四角柱の体積の3分の1倍です。


見やすいように、数式ソフトで書いた式ものせておきます。

4つの角錐の体積の合計を求める式・・・
合計の式










方程式・・・
方程式