平成19年度の大阪府公立高校入試前期試験、理数科の数学はいつもの年より格段にやさしく、数学ではほとんど差がつかなかったと言われています(その結果、内申で決まってしまったようです)。

やさしかった分、いつもの年より理数科の問題の傾向をつかみやすく、後々のために役にたつ問題が多い年でした。


1(3):m、nはm<nを満たす自然数であるとする。このとき、m以上であってn以下である自然数の個数をm、nを用いて表しなさい。


(解き方)
例えば、m=3、n=8のとき、m以上でn以下の自然数の個数は、3、4、5、6、7、8ですから、最後の8から、3より前の数、1、2をひいた8−2=6個です。

つまり、n−(m−1)個ということになります。

( )を開いて、n−m+1が正解です。


この問題を知っていると、同じ理数科の平成20年度の1番の(7)がその応用だということがわかります。

1(7):nを自然数とするとき、√aの値がnより大きくn+2より小さくなるような自然数aは何個ありますか。nを用いて表しなさい。

(解法)
n<√a<n+2だから各項を2乗して、
n2乗<a<(n+2)2乗
n2乗<a<n2乗+4n+4

aは、n2乗より1つ大きい数から、n2乗+4n+4より1小さい数までだから、n2乗+4n+3から、含まれないn2乗までをひけばよい。

aの個数は、n2乗+4n+3−n2乗=4n+3

整数の個数