今年(22年度)の大阪府公立高校入試、前期理数科の関数の問題です。大問1の(7)として出題されました。

1(7):図において、mは関数y=x2乗のグラフを表す。A、B、C、D、Eはm22年1(7)上の点である。Aのx座標は正であり、Bのx座標はAのx座標より1大きい。Cのx座標は、Aのx座標とBのx座標との和に等しい。D、Eのx座標はともに負であり、Dのy座標はAのy座標と等しく、Eのy座標はBのy座標と等しい。AとB、BとE、EとD、DとAとをそれぞれ結んでできる四角形ABEDは台形である。台形ABEDの面積をSとする。Sの値とCのy座標とが等しいことを証明しなさい。













(解く前の準備)
関数の問題は、座標を書き込み、座標を使って解くようにつくられています。
この問題でも、与えられた条件からすべての座標を書き込んで、その座標に書き込んだ数値を用いて式をつくることができたら、必ず解けます。

さらに、この問題のように各点の座標として具体的な数値が与えられていないときは、通常は、基準になる点のx座標をとして各点の座標を表すのが原則です。

問題文が点Aを基準にして、Aから始まっていますから、点Aのx座標をtとします。

次にすることは、点Aを放物線mが通っているので、mの式y=x2乗にx=tを代入して、y座標をt2乗と見つけ、点Aに記入することです。

他の点も、問題の条件にしたがって同じように座標を記入していきます。

22年1(7)の2記入した後の図は左のようになります。

点Bのx座標は点Aのx座標より1大きいのでt+1、点Cのx座標は点A、Bのx座標の和だからt+t+1=2t+1で、それぞれのy座標はy=x2乗よりx座標の2乗です。

点D、点Eの座標も、同じように書き込んでおきます。









(証明)
それぞれの点の座標を書き込んだ図を見て、論理の飛躍がないように証明を書き進めます。

まず、点Aのx座標をtとしてそれぞれの座標がなぜそうなるのかの根拠を書きます。

次に、「Sの値とCのy座標とが等しいことを証明」するわけですが、tを用いて、Sと、Cのy座標を、別々の式で表わすと証明できます。

Sは台形ABEDの面積なので、(上底+下底)×高さ×1/2の公式にあてはめて記述します。

上底が2×(t+1)、下底が2×t、高さが(t+1)2乗−t2乗なので、
S=(2(t+1)+2t)×((t+1)2乗−t2乗)×1/2
=(4t+2)(t2乗+2t+1−t2乗)×1/2
=(4t+2)(2t+1)×1/2
=2(2t+1)(2t+1)×1/2
=(2+1)2乗

22年1(7)の3













Cのy座標は、x座標が(2t+1)で、y=x2乗のグラフ上にあるから、代入して(2t+1)2乗

以上より、Sの値と点Cのy座標とは等しい。


このように、「等しい」ことの証明は、それぞれを別々に式で表わしたあと、最後に「式が等しくなったので、だから等しい」という書き方をするのがもっとも簡単です。