大阪府公立高校入試問題、21年度の前期理数科4番、空間図形の問題です。

大阪府公立でしばしば出題される、三平方の定理を使って3辺の長さがわかっている三角形の高さを求める問題が(2)で顔を出しています。

また(3)は、相似を使って垂直であることを証明する問題です。

4、左図において、立体A−BCDEは正四角錐である。底面BCDEは1辺の長さが6cmの正方形であり、AB=12cmである。Fは、底面4(1)BCDEの対角線の交点である。このとき、直線AFは底面BCDEと垂直である。Gは、Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点である。Hは、辺AD上にあってDH=2CGとなる点である。BとHを結ぶ。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


(1)正四角錐A−BCDEの体積を求めなさい。

(2)線分CGの長さを求めなさい。

(3)BH⊥ADであることを証明しなさい。


(解いてみる)
(1)
4(1)の2学校の定期テストの問題であれば難問ですが、入試問題としては典型的な標準問題。確実に点を稼がないといけない問題です。

BC=6、CD=6より、1:1:√2を用いてBD=6√2。だからBF=3√2。
三平方の定理を使って、

4(1)の3







四角錐の体積=底面積×高さ×1/3より
6×6×3√14×1/3=36√14


(2)求めるCGをxとして方程式を作ることを考えます。空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考えることです。

4(2)三平方の定理を使う問題の中で、解法を知っておかないといけない問題、「辺BGを2通りの方法で表して等式(方程式)をつくる」の問題です。

4(2)の2













(3)DH=2CGよりDH=3、よってAH=9を書き込んでおきます。
「空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考える」、必要な平面をかいて、それを見て、どう解くかを考えます。

4(3)
垂直の証明に「定番」はありません。状況に応じて、「相似」でいくか、「三平方の定理」でいくか、何かそれ以外の方法があるかを考えます。

平面ABDの図を眺めると、△ABFと△BDHの相似が言えたら∠AFB=∠BHD=90度を証明できますから、その方針でいこうと試してみます。

△ABFと△BDHにおいて
AB:BD=12:6√2=2:√2
BF:DH=3√2:3=√2:1
一見違う比のように見えますが2:√2を√2でわったら√2:1で、実は同じ比です。そこで、AB:BD=2:√2も√2:1に書き換えておきます。

また、AB=ADだから∠ABF=∠BDH

よって、2組の辺の比が等しくその間の角が等しいので
△ABF∽△BDH

相似な図形の対応する角は等しいので
角AFB=角BHD=90度

以上より、BH⊥AD


(解いた後の感想)
(1)は入試問題としては楽なほうに入ります。

(2)も頻出問題であり、CGを求めさせることでさらに解きやすくなっていますが、「あ、あの問題だ」と思いつかないと難問になってしまいます。

(3)は、単純な合同や相似の証明と違うので、受験生によってはとまどう人がいるかもしれません。
合同、相似以外の証明も練習しておく必要があります。
「証明に実は決まった書き方はない、理由を述べては書く癖をつけておけば満点の答案が書ける」と、度胸をすえて取り組んでおくことです。