大阪府公立高校入試、22年度前期理数科、最後の大問、空間図形の問題です。
大阪府公立高校入試でしばしば出てくる、三平方の定理を使った典型的な問題がまた顔を出しています。


3:図1、図2において、立体ABC−DEFは八つの平面で囲まれてできた立体である。平面ABCと平面DEFは平行である。△ABCと△DEFはともに1辺の長さが2cmの正三角形である。△AEF、△FBA、△BFD、△DBC、△CED、△ECAはすべて合同な二等辺三角形であり、AF=FB=BD=DC=CE=EA=4cmである。このとき、A、F、D、Cは同じ平面上にあり、四角形AFDCは長方形である。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。
22年3番(1)図1において、Gは辺ACの中点であり、Hは辺FDの中点である。GとHとを結ぶ。IはBから線分GHにひいた垂線と線分GHとの交点である。
[1]BとGとを結んでできる線分BGの長さと、BとHとを結んでできる線分BHの長さをそれぞれ求めなさい。
[2]線分BIの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

















(解く前の準備)
22年3(1)問題文中に出てきた数値は、問題を解くときに使いそうな場所にできるだけ多く(ただし、じゃまにならない場所に)書き込んでおくのがコツの1つです。


(解き方)
[1]BとGとを結んでできる線分BGの長さと、BとHとを結んでできる線分BHの長さをそれぞれ求めなさい。

22年3(1)1
△BACは正三角形なので各辺の比は1:2:√3。
よって、BG=√3。




22年3(1)2三角形BFDは二等辺三角形であり、△BFHは直角三角形だから、三平方の定理を使って、BH=√(16−1)=√15。








[2]線分BIの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

(解き方)
[1]に続く[2]ですから、必ず[1]を使います。

22年3(1)3さらに、空間図形の問題も、解くときは平面で考えることが鉄則、△BGHを使って解いていきます。

そのことに気づけば、大阪府公立入試でよく出る、3辺の長さがわかっている三角形の高さを求める問題だと気づくことができます。

この場合、BIの長さをたずねていますが、BIを求めようとすると中学生にはやや難し過ぎます。

GIのほうをx、IHを(4−x)としてGIを求め、その後BIを求めます。

直角三角形BGIと直角三角形BIHで、三平方の定理を使ってBI2乗の長さを2通りの式で表わし、それを方程式にして解いていきます。








22年3(1)4






















さらに、直角三角形BGIで三平方の定理を使って、
22年3(1)5

















BI=√11/2です。



(2)図2において、Jは辺AE上にあってA、Eと異なる点であり、K、L、22年3(2)M、N、Oはそれぞれ辺AF、BF、BD、CD,CE上にあってAJ=AK=BL=BM=CN=COとなる点である。このとき、6点J、K、L、M、N、Oは同じ平面上にある。また、6点J、K、L、M、N、Oを結んでできる六角形JKLMNOはすべての内角の大きさが等しく、JK=LM=NO、KL=MN=OJである。AJ=xcmとし、0<x<4とするとき、六角形JKLMNOの面積をxを用いて表しなさい。

(解き方)
図をながめて、△AJK∽△AEF、△AFB∽△KFLに気づいてください。

相似を使って、JK、KLの長さを求めることができるはずです。

さらに、問題文中の「六角形JKLMNOはすべての内角の大きさが等しく」から、それぞれの内角が120度であることも使えることがわかります。





22年3(2)の2そうすると、求めたい六角形JKLMNOは左図のような、大きい正三角形から小さい正三角形を切り落とした形になるはずです。

何とか解けるめどがたったので、正確に、JK、KLの長さから求めていきましょう。

相似を使って、JK:EF=AJ:AE
JK:2=x:4
よって、JK=x/2

また、KL:AB=KF:AF
KL:2=4−x:4
よって、KL=(4ーx)/2

以上より、大きい正三角形の1辺は、x/2+2×(4−x)/2=−x/2+4

22年3(2)の3また、大きい正三角形の高さと小さい正三角形の高さは、1:2:√3を使って求めることができます。












22年3(2)の4






求める六角形の面積は、−√3/8x2乗+√3/2x+√3です。


こんな問題を解かないといけない理数科の受験生は大変ですね(私の解き方が下手なだけで、もっと簡単な方法があるのかもしれませんが、私はこの方法しか思いつきませんでした)。