大阪府の公立高校入試では、しばしばよく似た問題が出題されます。
この稿では確率の問題をとりあげます。

まず、平成19年度前期入試の問題から。

1(4):二つの箱A、Bがある。箱Aには偶数の書いてある4枚のカードが入っており、箱Bには奇数の書いてある3枚のカードが入っている。箱Aから2枚のカードを箱Bから1枚のカードを同時に取り出すとき、箱Aから取り出した2枚のカードに書いてある数の和が箱Bから取り出したカードに書いてある数の2倍よりも大きくなる確率はいくらですか。A、Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

(解き方)

箱Aからカードを2枚取り出すときの場合の数は、
2・4、2・6、2・8
4・6、4・8
6・8
の6通りです。

要点1:「場合の数」は3種類に分類できます。(1)並べ方(順列)・・・2・4と4・2を別々のものとして考えないといけない場合。(2)選び方(組合せ)・・・2・4と4・2は同じものだから別だと考えてはいけない場合。(3)その他・・・コインやさいころの問題のように、並べ方でも選び方でもないもの。

要点2:選び方(組合せ)は、1つ1つを書き出すと、2・4、2・6、2・8・・・3個、4・6、4・8・・・2個、6・8・・・1個というように、1個ずつ個数が減っていく場合です。

次に、箱Bから1枚のカードを取り出すときの場合の数は、3か5か7の3通りです。

箱Aから取り出すときの取り出し方それぞれについて、Bからの取り出し方が3通りずつあります。
だから、箱Aから2枚取り出すときの取り出し方が6通りあって、箱Bから1枚取り出すときの取り出し方が3通りあるので、カードの取り出し方は全部で6×3=18通りです(これが確率の分母になります)。

要点3:Aから選ぶときの選び方がm通り、Bから選ぶときの選び方がn通りあるとき、すべての場合の数はm×n通りです。

次に、Aの取り出し方6通りのそれぞれについて、問題文の「箱Aから取り出した2枚のカードに書いてある数の和が箱Bから取り出したカードに書いてある数の2倍よりも大きくなる」場合であるかどうかを調べていきます。

Aから取り出した2枚のカードの数の和を列挙しておきます。

2・4のとき、2+4=6
2・6のとき、2+6=8
2・8のとき、2+8=10
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
4・6のとき、4+6=10
4・8のとき、4+8=12
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
6・8のとき、6+8=14

Bから取り出した1枚のカードの2倍も列挙しておきます。

3のとき、3×2=6
5のとき、5×2=10
7のとき、7×2=14

3×2=6のとき、Aの(2・6)、(2・8)、(4・6)、(4・8)、(6・8)の5つが問題文の条件にあてはまります。
5×2=10のとき、Aの(4・8)、(6・8)の2つが問題の条件に合致します。
7×2=14のとき、「箱Aから取り出した2枚のカードに書いてある数の和が箱Bから取り出したカードに書いてある数の2倍よりも大きくなる」場合はありません。

よって、問題の条件にあてはまる場合の数は、すべての場合の数18通りのうち、5+2の7通りですから、求める確率は7/18、18分の7です。

要点4:問題文にあてはまる場合を、慎重に数えあげます。



平成21年度前期理数科の問題が、ほぼそっくりの問題でした。

1(4):二つの箱A、Bがある。箱Aには数の書いてある4枚のカードが入っており、箱Bには数の書いてある4枚のカードが入っている。A、Bそれぞれの箱から同時にカードを2枚取り出すとき、箱Aから取り出した2枚のカードに書いてある数の和と箱Bから取り出した2枚のカードに書いてある数の和とが等しい確率はいくらですか。A、Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

(解き方)

まず、
要点1:「場 合の数」は3種類に分類できます。(1)並べ方(順列)・・・2・4と4・2を別々のものとして考えないといけない場合。(2)選び方(組合せ)・・・ 2・4と4・2は同じものだから別だと考えてはいけない場合。(3)その他・・・コインやさいころの問題のように、並べ方でも選び方でもないもの。
要点2:選び方(組合せ)は、1つ1つを書き出すと、2・4、2・6、2・8・・・3個、4・6、4・8・・・2個、6・8・・・1個というように、1個ずつ個数が減っていく場合です。

から、Aの箱から2枚取り出すときの選び方、Bの箱から2枚取り出すときの選び方を書き出します。

A:
1・2、1・3、1・4
2・3、2・4
3・4
以上の6通り。

B:
2・3、2・4、2・5
3・4、3・5
4・5
以上の6通り。

要点3:Aから選ぶときの選び方がm通り、Bから選ぶときの選び方がn通りあるとき、すべての場合の数はm×n通りです。

より、すべての場合の数は6×6=36通り(確率の分母です)。

そして、

要点4:問題文にあてはまる場合を、慎重に数えあげます。

箱Aから取り出した2枚のカードに書いてある数の和と箱Bから取り出した2枚のカードに書いてある数の和とが等しい」場合は、

Aの1・4とBの2・3
Aの2・3とBの2・3
Aの2・4とBに2・4
Aの3・4とBの2・5
Aの3・4とBの3・4

以上、5通りです。

よって、問題の条件にあてはまる場合の数は、すべての場合の数36通りのうち5通りですから、求める確率は5/36、36分の5です。