(この稿ではグラフの式として2乗が何度も出てきます。グラフでは数式ソフトで書いたきちんとした式をのせていますが、本文(ワープロ打ちした部分)は、例えばxの2乗だとx^2と表記しています。)

大阪府公立高校入試問題で関数の問題を解くときの手順は以下の通りです。

1、問題文に書いてある関数のをグラフに転記する。

2、グラフ中のA、B、C・・・と書いてある点に、問題文からわかる座標を書き込む。

そのとき、例えば点Aのx座標がtであり、点Aを通っているグラフの式がy=2x+1であれば、y=2x+1の式にx=tを代入してy座標を2t+1と記入しておく(これが解くためのもっとも重要な過程です)。

3、書き込んだ座標を使って、問題文を参考に、問題文にのっとった方程式をたてて、その方程式を解く。

関数の、ほぼ全問題を、上記1、2、3の手順をふむことで解くことができます。


平成16年度問題(B選択)・・・この年は例外的にグラフではなく動点の問題が出題されました。

1、(5)
図において、四角形ABCDはAB=300cm、AD=200cmの長方形である。Pは、Aを出発し毎秒acmの速さで長方形ABCDの周上をB、C、Dの順に通って移動する点である。Qは、点PがAを出発するのと同時にDを出発し毎秒bcmの速さで長方形ABCDの周上を移動する点である。a、bはa<bをみたす正の定数である。
公立関数16年点QがDを出発してから初めて点Pと重なるまでにかかる時間は、点Qが周上をA、B、Cの順に通って移動する場合は25秒、点Qが周上をC、B、Aの順に通って移動する場合は20秒である。
(1)次は、a、bの値を求めるためにつくった連立方程式である。式中の(ア)、(イ)に入れるのに適している数をそれぞれ求めなさい。(ア    )、(イ    )
25a+(ア )=25b
20a+20b=(イ )
(2)a、bの値をそれぞれ求めなさい。(a   )、(b   )





(解き方)
公立関数16年2(1)
点P、点Qの進む距離をa、bを使った式で表し、図に記入してから考えます。

点QがA、B、Cと移動して点Pと重なる場合、点Qの移動する距離は25bですが、点Pより200cm多く進まないといけないので25a+200だけ進まないといけないことになります。

よって、このときできる等式、方程式は25a+200=25bです。







公立関数16年3点QがC、B、Aと進んで点Pと重なるとき、点Pの移動距離20aと点Qの移動距離20bの和が、300+200+300=800cmということになります。

よって、20a+20b=800です。


(2)
25a+200=25b
20a+20b=800
の連立方程式を解いて、a=16、b=24






平成17年度間題(B選択)

1、(5)
図において、mはy=2/3x^2のグラフを表わす。Oは原点である。
Pはm上にあってOと異なる点である。
公立関数17年
(1)Pのx座標が3のとき、Pを通りy軸との交点のy座標が5となる直線の式を求めなさい。(y=     )

(2)Px座標とy座標とが等しくなるときのPの座標を求めなさい。

P(   ,   )













(解き方)

(1)Pのx座標が3のとき、Pを通りy軸との交点のy座標が5となる直線の式を求めなさい。(y=     )

グラフに式を書き込み、次に、点Pのx座標3を書き込みます。
さらに、グラフの式y=2/3x^2にx=3を代入し、求めたy=6を点Pのy座標として書き込んでおきます(これが最も大事)。
公立関数17年2
そして、y軸との交点も、ちゃんと座標として(0、5)と記入しておきます。

xが0から3に3増加するとき、yは5から6に1増加するので傾きは1/3、切片は5とわかっているので、直線の式はy=1/3x+5です。












(2)Pのx座標とy座標とが等しくなるときのPの座標を求めなさい。

今度は点Pの座標を求める問題なので点Pのx座標をtと書き込みます(数学では求めたいものをxとおいて方程式をたてるのが基本ですが、関数の場合、xの文字はグラフの式で使ってしまっているので、普通、求めたい点のx座標を文字tで表します)。

この場合も大事なのはy座標。
グラフの式y=2/3x^2にx=tを代入して、点Pのy座標を2/3x^2と書き込んでおきます。
公立関数17年3
あとは、問題文に合った方程式をたてるだけ。

Pのx座標とy座標とが等しくなる」とあるので、
t=2/3t^2

公立の関数17年4















この方程式を解いて、t=3/2
y座標はy=2/3t^2に代入してy=3/2

よって、点Pの座標は(3/2、3/2)です。




平成18年度間題(B選択)

1、(5)
図において、mはy=3/4x^2のグラフを表す。A、Bはm上の点であり、C、Dはx軸上の点である。Aのx座標は負の数であり、Bのx座標は正の公立関数18年数である。AとC、CとD、DとB、BとAとをそれぞれ結んでできる四角形ACDBは正方形である。このときのDのx座標を求めなさい。ただし、x軸の1目もりの長さとy軸の1目もりの長さとは等しいものとする。


(解き方)

まず、放物線の式を書き込みます。

次に、「点Dのx座標を求めなさい」とあるので、求めたいDのx座標をtとし、点Dの座標(t、0)を書き込んでおきます。

問題を解くために必要な座標はすべて書き込んでおかないといけませんから、次は点Bです。
点Dの真上にあるのでx座標は点Dと同じt、そして点Bを放物線y=3/4x^2が通っているのでy座標は3/4t^2です。




公立関数18年2
点A、点Cの座標も同じようにして書き込んでおきます。

最後に問題文の該当部分から方程式を組み立てます。

四角形ACDBは正方形である」とありますが、正方形ということは四角形の縦=横、つまりBD=AB。
書き込んだ図からわかるように、BD=3/4x^2、AB=2tですから、できる方程式は、
3/4t^2=2tです。

公立関数18年3














この方程式を解いて、点Dのx座標は8/3です。



平成19年度問題(B選択)


1、(6)
図において、nはy=ax^2のグラフを表す。aは正の定数である。Oは原点である。A、Bはn上の点であり、そのx座標はそれぞれ1、2である。OとA、AとB、BとOとをそれぞれ結んで△OABをつくる。このとき、△OABの面積は何cm^2ですか。aを用いて表しなさい。求め方も書くこと。ただし、座標軸の1目もりの長さは1cmであるとする。必要に応じて右の図を用いてもよい。

公立関数19年求め方


(解き方)

この問題も定石どおりの解法で解けます。

ただし、例年の問題より若干難しいと思われます。

式を書き込み、x座標を書き込み、式にx座標を代入してy座標を書き込み、それから考えましょう。





公立関数19年2△OABの面積をどうやって求めるか、解決しておかないといけません。
△OABを囲む長方形からいらないものの面積をひくのが無難でしょう(他にもいろいろな方法があります)。

(「求め方」の書き方)

点Bを通りx軸に平行な直線のy軸との交点をC、点Aと通りy軸に平行な直線とx軸との交点をD、点Bを通りy軸に平行な直線とx軸との交点をEとする。

点Aのx座標は1であり、y=ax^2に代入するとy座標はaである。
点Bのx座標は2であり、y=ax^2に代入するとy座標は4aである。

△OAB=四角形COEB−△BCO−△AOD−台形BADEで求められるから、
△OAB=4a×2−4a×2÷2−1×a÷2−(a+4a)×1÷2
=a



平成20年度問題(B選択)


1、(6)
図において、mは関数y=x^2のグラフを表す。A、B、Cはm上の点である。Bのx座標はAのx座標より1小さく、Cのx座標はAのx座標より1大き公立関数20年い。直線BCの傾きが3となるときのAのx座標を求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて右の図を用いてもよい。


(解き方)

まさに定石どおりの問題、式を書き入れ、x座標をtとして座標を書き込み、問題文に合った方程式をつくれば、簡単に解けます。

まず、放物線の式y=x^2を書き込んだ後、「Aのx座標を求めなさい」とあるので、Aのx座標をtとします。そして式y=x^2に代入してy座標はt^2です。

同じようにして、点Bのx座標をt−1、点Cのx座標をt+1として、B、Cの座標を書き込んでおきます。






公立関数20年2

















あとは問題文に合った方程式をたてるだけ。

直線BCの傾きが3となる」とあるので、傾き((t+1)^2−(t−1)^2)/(t+1−(t−1))=3

公立関数20年3










この方程式を解いて、t=3/2です。