三角柱や四角柱、円柱など、柱体の体積を求める公式は底面積×体積、三角錐や円錐などの錐体の体積を求める公式は底面積×高さ×1/3です。

体積を求める問題は公式にそのままあてはめればよいので、そう難しい問題はありませんが、知っておかないといけない問題の一つに円錐台など、錐体を切断したあとに残った一部の体積を求める問題があります。


例題1:1辺が6cmの立方体で、点M、Nはそれぞれ辺AB、ADの中点である。こ三角錐台の立方体を4点M、F、H、Nを通る平面で切る。頂点Aを含むほうの立体の辺FM、EA、HNの延長は1点Oで交わる。頂点Aを含むほうの立体の体積を求めよ。


(解き方)
三角錐の上部を切り取って残った部分の体積を求める問題です。

中学生が求めることができるのは、柱体と錐体の体積だけであるというところから出発します。

そうすると、大きな三角錐O−EFHから上の小さな三角錐O−AMNをひけばよいということに気づくことができます。





大きい三角錐O−EFHは、底面が直角三角形EFHで、高さがOEの三角錐です。

三角錐台2底面は∠FEHの直角三角形なので、底面積はEF×EH×1/2、高さのOE=6+6=12cm。

よって、三角錐O−EFHの体積は底面積×高さ×1/3の公式より、6×6×1/2×12×1/3
=72

次に、上の小さい三角錐O−AMNの体積は、底面がAM=3cm、AN=3cmの直角三角形AMNであり、高さOA=6cmだから、公式底面積×高さ×1/3より
3×3×1/2×6×1/3
=9

以上より、求める切り取った頂点Aを含むほうの立体の体積は、72−9=63立方cm。








円錐の上部を切り取った立体(円錐台)の体積を求める問題も同じ要領で解きます。

切り取る前の大きい全体の円錐の体積から、切り取った上部の小さい円錐の体積をひけばよいのです。

さらに、この種類の問題では、中2で習う中点連結定理、中3で習う相似の考え方を使うこともあります。

中点連結定理
中点連結定理中点と中点を横に結ぶと、その線分の長さは底辺の長さの半分になるという定理です。







相似
相似形の等しい図形では、ある対応する辺の長さの比がa:bであれば他の対応する辺の比もa:bになります。








例題2:図において、四角形ABCDは、AD//BC、∠DAB=∠ABC=90度、円錐台AB=12cm、AD=3cm、BC=6cmの台形である。Eは、対角線ACと対角線BDとの交点である。色をつけた部分は、5つの線分AB、BC、CE、ED、DAによって囲まれてできる図形である。色をつけた部分を直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積は何立方cmですか。円周率をπとして答えなさい。(大阪府公立高校入試・前期理数科18年1(3))
















まず、必要な長さをすべて書き込んでおきます。
円錐台2

三角形AEDと三角形CEBが形の同じ(相似の)三角形であり、AD:CB=3:6=1:2なので、DE:BEも1:2になります。
さらに、AF:FBも1:2となり、AB=12を1:2で分けるので、AF=4、FB=8です。
また、BE:BD=2:3なので、FEの長さは2cmです。















次に、色のついた部分を、直線ABを軸として1回転させてできる図形を考えます。
円錐台3
下の円錐台は、点Aを頂点とし半径BCの円を底面とする大きい円錐から、点Aが頂点で2cmの半径EFの円を底面とする小さい円錐を取り除いたものであることがわかります。

また、上の円錐台は、頂点がBで半径がAD=3cmの円を底面とする円錐から、点Bが頂点で半径FE=2cmの円を底面とする小さい円錐をとったものです。

よって、(6×6×π×12×1/3−2×2×π×4×1/3)+(3×3×π×12×1/3−2×2×π×8×1/3)
=(144π−16/3π)+(36π−32/3π)
=164π

164π立方cmが答えです。