割合の単元は、速さとならんで小学生がもっとも苦手とする分野です。
指導する私たちもいろいろ工夫をしますが、なかなかうまくいきません。

今日のこの稿は、いつもと違って「悩み」と「試行」の羅列です。
私が現状で考えている、「こうしたらいいのではないだろうか。」を書いてみたいと思います。


割合の3つの公式

算数の単元、『割合』では3つの式が出てきます。

1:割合=比べる量÷もとにする量
2:比べる量=もとにする量×割合
3:もとにする量=比べる量÷割合

割合の問題が難しい根本的な理由は、ここで出てくる3つの言葉、「割合」、「比べる量」、「もとにする量」が、子どもたちにとって外国語以上に意味不明なところにあります(教えているほうも、きちんとわかっているかどうか疑問です)。

割合の問題を上手に解くには、3つの言葉の意味を明瞭にすることしかないように思われます。


割合

まず、「割合」の言葉の意味を、「割合=比べる量÷もとにする量」を使って解くと思われている問題を例に考えてみましょう。

割合とは、『何倍か』という意味です。

「何倍か」と言えばよいのに「割合」の語をもちいるのは、普通「何倍か」というときは、2倍とか3倍とか1.5倍とか、1以上の数になることが多いのに対して、割合の場合は0.7倍とか0.3とか30%とか3割とかの、1より小さい数、全体の中の一部を表すことが多いからです。
「倍」には「大きくなる」というニュアンス、「割」には「小さくなる」というにおいが感じられます。

割合を習うまで、小学生の解くわり算は必ず「大きい数÷小さい数=1より大きい数」です。
割合の問題は逆に「小さい数÷大きい数=1より小さい数」であることがほとんどです。
そのことをはっきりと知っておかないといけませんが、それ以外では「割合」=「何倍か」と言い換えるとわかりやすくなります。

例題1:Aさんの体重が40kg、Bさんの体重が32kgであるとき、Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくらですか。

「Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくら」の部分を、「BさんはAさんの何倍か」と読み替えると、はるかに簡単になります。

「BさんはAさんの何倍か」ですから、B÷A、32÷40=0.8倍です。

割合=比べる量÷もとにする量の式に苦労して当てはめるよりずっと楽だと思います。


もとにする量

比べる量=もとにする量×割合のタイプの問題を、「もとにする量」の意味を探ることで考えてみましょう。

「もとにする量」は、「割合」=「何倍か」ほど単純ではありません。
「もとにする量」にはいくつかの意味があります。

もともとは、「もと」とは「基準にする量」の意味です。

例題2:お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍です。ゆう子さんの身長が140cmのとき、お兄さんの身長は何cmですか。

「お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍」とは、ゆう子さんの身長を『基準』にしたとき、お兄さんの身長がその1.1倍という意味です。

それさえわかれば、140cmの1.1倍だから、140×1.1=154cmとすぐわかります。
この問題のように、基準にする量がわかっているとき、かけ算で答えを求めることができます。

いまの子どもたちは、「もと」という和語より「基準」という漢語のほうが意味をとらえやすいようです。

もとにする量」の2番目の意味は、『全体』です。

例題3:小学校のしき地の面積が8000平方mであり、その0.35の割合にあたる部分が校舎の土地の面積である。校舎の土地の面積は何平方mですか。

しき地全体の面積が8000で、その0.35倍が校舎の面積なので8000×0.35=2800平方mです。
この問題のように、全体がわかっていてその一部を求めるときもかけ算になります。

この場合、小学校のしき地8000を『基準』にしたとき、その0.35倍が校舎だから8000×0.35と考えるより、全体8000のうちの0.35だから8000×0.35と考えるほうが、子どもたちの実際の頭の使い方に即しているように思われます。

もとにする量」の3番目の意味は、去年と今年のうち去年のように、時間の流れの中で『に起こった方』、『の方』の意味です。

例題4:去年のジャガイモの取れ高は90tだった。今年のジャガイモの取れ高は去年の取れ高の0.95にあたる。今年の取れ高はいくらか。

去年がわかっていて、その0.95倍だから90×0.95=85.5tです。

この問題のように、時期的な前の方、去年がわかっていて、後の方、今年を求めたいときもかけ算です。

「比べる量=もとにする量×割合」を100万遍唱えたって、上のような問題が解けるようになるとは思われません。
基準になる量がわかっているとき」、「全体の量がわかっているとき」、「順番の前の方の量がわかっているとき」、かけ算で答えを求めると考えた方がずっと実際の役にたちます。


比べる量


「もとにする量=比べる量÷割合」のカテゴリーに入る問題群を使って、「比べる量」の語の意味を最後に考えます。

先に結論を述べると、「比べる量」の意味を考えてもあまり役には立ちません。
「比べる量」とは、「もとにする量」との対比から生まれた概念であり、言い換えれば「もとにする量」と対照される後が「比べる量」であり、「もとにする量」を表だと考えると「比べる量」はその裏に過ぎないからです。
「もとにする量」でないもの、「もとにする量」の反対概念が「比べる量」です。

したがって、「基準になる量」ではなくて「比較される方の量」、「全体」ではなくて「部分」、連続した事項のうちの「前」ではなくて「」の方が「比べる量」です。

そして、「比べる量」がわかっているとき、割合でわると「もとにする量」がわかるということになります。
「もとにする量=比べる量÷割合」の式が表しているのは以上のような意味です。

妹の体重が36kgで姉の0.9にあたるときの姉の体重を求める問題(基準にあたる量を求める問題)、
貯金の0.4にあたる金額で2000円の本を買ったときにもとの貯金額全体を求める問題(全体にあたる量を求める問題)、
今年の売り上げ1210000円が去年に比べて1.1倍であるときの去年の売上高を求める問題(前後の流れのうち、前の方を求める問題)などが、
「もとにする量=比べる量÷割合」といわれる問題だということになります。


以上の記述で推測できると思いますが、私は割合の3つの式を教えたり、覚えさせたりすることには懐疑的です。
3つの式をちゃんと覚えたって何の役にも立たないのに、なぜすべての本で割合の単元の冒頭に3つの式が掲げられているのか、長年不思議に思っています。