普段、このブログは、塾の授業でやや「難しい」と思われる単元のうち、ほりさげて考えてもらいたいことを中心に書いています。
しかし、基本的なことをわかりやすく説明し、きちんと理解してもらうことも塾の大切な仕事の一つです。
そこで、子どもたちの苦手な分野を中心に、『超簡単』シリーズを企画しました。
数学の苦手な人でも「こうすれば誰でも簡単に解ける」というコツを書いていきたいと思います。
今日は受験生がよく忘れてしまっている単元、「比例・反比例」です。
これだけは覚えておく
比例の式はy=ax、反比例の式はy=a/x
比例、反比例の問題を解くときは、必ずこの式から出発します。
まず、比例・反比例の式の求め方から。
比例の式
y=axに代入
例題1:yはxに比例し、x=2のときy=−6である。yをxの式で表せ。
(解き方)
比例の式はy=axだから、「比例」の文字を見たら、y=ax
y=axにx=2、y=−6を代入してaを求める。
−6=2a
−2a=6
a=−3
aがわかったら式は完成。
y=−3x
反比例の式
y=a/xのaは、a=xy
例題2:yはxに反比例し、x=3のとき、y=4である。yをxの式で表せ。
(解き方)
反比例の式は

そしてa=xyだから、「反比例」の文字を見たら、a=xy
だから、a=xy=3×4=12
a=12

答えはy=12/x
コツ:比例の文字を見たらy=axに代入、反比例の文字を見たらa=xy
表と、比例・反比例
例題3:次のような表で表される関数がある。yをxの式で表せ。
(1)

(解き方)
表の下欄のyがいつも上欄xの−2倍になっています。
これは比例の目印。
比例だから、「y=axに代入」。
できるだけ数字の簡単なx=1、y=−2を代入します。
−2=a
−a=2
a=−2
aを求めることができたので
答えはy=−2x
ところがもう一度表を見直すと、この−2は最初から上欄、下欄の関係でわかっていました。
ちょっと悔しいところです。
(2)

(解き方)
表の上の欄と下の欄を見ると、かけたら常に−12になっています。
これが反比例の目印。
反比例の式はy=a/xで、「a=xy」
xとyをかけたらいつも−12になっているから、
答えはy=−12/xです。
比例のグラフ
例題 4:(1)比例y=−3x、(2)y=3/4xのグラフをかけ。
(解き方1)
(1)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、x=1をy=−3xの式に代入してみます。
そうするとy=−3
x=1、y=−3ということは、座標でいうと(1,−3)
以上より、まず原点に点をうち、次に(1,−3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。
(左のグラフは途中でとめていますが、変域が指定されていないときは、実際のグラフはグラフ用紙の端から端までかいてください。)
(2)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、x=1をy=3/4xの式に代入しようと考えますが、そうするとy=3/4という分数になって困ります。
こういうときは、分母と同じ数、4を代入します。
そうするとy=3
x=4、y=3ということは、座標でいうと(4,3)
以上より、まず原点に点をうち、次に(4,3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。

(解き方2)
中2の1次関数と同様、「傾き」という考え方を使ってかく方法です。
(1)(2)
比例のグラフは必ず原点を通るので、原点から出発することは(解き方1)と同じです。
次に、y=−3xだと、マイナスなので「右に下がる」、−3なので右に1進んで、下に3下がったところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフの完成です。
y=3/4xのときは、原点から出発し、4右へ行って、3上に進んだところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフがかけます。

反比例のグラフ
例題5:反比例y=12/xのグラフをかけ。
(解き方)
反比例y=a/xの比例定数はa=xyを使って、グラフもかいていきます。
この問題の場合、a=12だから、xy=12です。
xとyをかけたら12なので、かけて12になるxとyの組合せを見つけていきます。
(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)などが見つかります。
この4つの点をグラフにうち、その点を結んでいきます。
注意すべきは、マイナスの数も考えないといけないこと。
かけて12になる組合せは、(−2,−6)、(−3,−4)、(−4,−3)、(−6,−2)もあります。
この4つの点もうちこみ、その点を結びます。
反比例のグラフは双曲線ですから、グラフは2ヶ所にないといけません。
しかし、基本的なことをわかりやすく説明し、きちんと理解してもらうことも塾の大切な仕事の一つです。
そこで、子どもたちの苦手な分野を中心に、『超簡単』シリーズを企画しました。
数学の苦手な人でも「こうすれば誰でも簡単に解ける」というコツを書いていきたいと思います。
今日は受験生がよく忘れてしまっている単元、「比例・反比例」です。
これだけは覚えておく
比例の式はy=ax、反比例の式はy=a/x
比例、反比例の問題を解くときは、必ずこの式から出発します。
まず、比例・反比例の式の求め方から。
比例の式
y=axに代入
例題1:yはxに比例し、x=2のときy=−6である。yをxの式で表せ。
(解き方)
比例の式はy=axだから、「比例」の文字を見たら、y=ax
y=axにx=2、y=−6を代入してaを求める。
−6=2a
−2a=6
a=−3
aがわかったら式は完成。
y=−3x
反比例の式

y=a/xのaは、a=xy
例題2:yはxに反比例し、x=3のとき、y=4である。yをxの式で表せ。
(解き方)
反比例の式は

そしてa=xyだから、「反比例」の文字を見たら、a=xy
だから、a=xy=3×4=12
a=12

答えはy=12/x
コツ:比例の文字を見たらy=axに代入、反比例の文字を見たらa=xy
表と、比例・反比例
例題3:次のような表で表される関数がある。yをxの式で表せ。
(1)

(解き方)
表の下欄のyがいつも上欄xの−2倍になっています。
これは比例の目印。
比例だから、「y=axに代入」。
できるだけ数字の簡単なx=1、y=−2を代入します。
−2=a
−a=2
a=−2
aを求めることができたので
答えはy=−2x
ところがもう一度表を見直すと、この−2は最初から上欄、下欄の関係でわかっていました。
ちょっと悔しいところです。
(2)

(解き方)
表の上の欄と下の欄を見ると、かけたら常に−12になっています。
これが反比例の目印。
反比例の式はy=a/xで、「a=xy」
xとyをかけたらいつも−12になっているから、
答えはy=−12/xです。
比例のグラフ
例題 4:(1)比例y=−3x、(2)y=3/4xのグラフをかけ。
(解き方1)
(1)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、x=1をy=−3xの式に代入してみます。
そうするとy=−3
x=1、y=−3ということは、座標でいうと(1,−3)
以上より、まず原点に点をうち、次に(1,−3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。

(2)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、x=1をy=3/4xの式に代入しようと考えますが、そうするとy=3/4という分数になって困ります。
こういうときは、分母と同じ数、4を代入します。
そうするとy=3
x=4、y=3ということは、座標でいうと(4,3)
以上より、まず原点に点をうち、次に(4,3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。

(解き方2)
中2の1次関数と同様、「傾き」という考え方を使ってかく方法です。
(1)(2)
比例のグラフは必ず原点を通るので、原点から出発することは(解き方1)と同じです。
次に、y=−3xだと、マイナスなので「右に下がる」、−3なので右に1進んで、下に3下がったところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフの完成です。
y=3/4xのときは、原点から出発し、4右へ行って、3上に進んだところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフがかけます。

反比例のグラフ
例題5:反比例y=12/xのグラフをかけ。
(解き方)
反比例y=a/xの比例定数はa=xyを使って、グラフもかいていきます。
この問題の場合、a=12だから、xy=12です。
xとyをかけたら12なので、かけて12になるxとyの組合せを見つけていきます。
(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)などが見つかります。
この4つの点をグラフにうち、その点を結んでいきます。
注意すべきは、マイナスの数も考えないといけないこと。
かけて12になる組合せは、(−2,−6)、(−3,−4)、(−4,−3)、(−6,−2)もあります。
この4つの点もうちこみ、その点を結びます。

私の質問にお返事をしてくださり、ありがとうございました。
よくわかって、すっきりしました。
私は塾に行っていないので、先生のブログで他の教科も予習をしています。
印刷はお母さんにお願いして、ファイルをして、何度も読み返しています。
理解してから問題を解くのが楽しいです。
この単元は一次関数につながるとアリ先生が書いていたのを読んだので、絶対にがんばります。