普段、このブログは、塾の授業でやや「難しい」と思われる単元のうち、ほりさげて考えてもらいたいことを中心に書いています。
しかし、基本的なことをわかりやすく説明し、きちんと理解してもらうことも塾の大切な仕事の一つです。
そこで、子どもたちの苦手な分野を中心に、『超簡単』シリーズを企画しました。
数学の苦手な人でも「こうすれば誰でも簡単に解ける」というコツを書いていきたいと思います。
今日は受験生がよく忘れてしまっている単元、「比例・反比例」です。
これだけは覚えておく
比例の式はｙ＝ａｘ、反比例の式はｙ＝ａ／ｘ
比例、反比例の問題を解くときは、必ずこの式から出発します。
まず、比例・反比例の式の求め方から。
比例の式
ｙ＝ａｘに代入
例題１：ｙはｘに比例し、ｘ＝２のときｙ＝−６である。ｙをｘの式で表せ。
（解き方）
比例の式はｙ＝ａｘだから、「比例」の文字を見たら、ｙ＝ａｘ
ｙ＝ａｘにｘ＝２、ｙ＝−６を代入してａを求める。
−６＝２ａ
−２ａ＝６
ａ＝−３
ａがわかったら式は完成。
ｙ＝−３ｘ
反比例の式
ｙ＝ａ／ｘのａは、ａ＝ｘｙ
例題２：ｙはｘに反比例し、ｘ＝３のとき、ｙ＝４である。ｙをｘの式で表せ。
（解き方）
反比例の式は
そしてａ＝ｘｙだから、「反比例」の文字を見たら、ａ＝ｘｙ
だから、ａ＝ｘｙ＝３×４＝１２
ａ＝１２
答えはｙ＝１２／ｘ
コツ：比例の文字を見たらｙ＝ａｘに代入、反比例の文字を見たらａ＝ｘｙ
表と、比例・反比例
例題３：次のような表で表される関数がある。ｙをｘの式で表せ。
（１）
（解き方）
表の下欄のｙがいつも上欄ｘの−２倍になっています。
これは比例の目印。
比例だから、「ｙ＝ａｘに代入」。
できるだけ数字の簡単なｘ＝１、ｙ＝−２を代入します。
−２＝ａ
−ａ＝２
ａ＝−２
ａを求めることができたので
答えはｙ＝−２ｘ
ところがもう一度表を見直すと、この−２は最初から上欄、下欄の関係でわかっていました。
ちょっと悔しいところです。
（２）
（解き方）
表の上の欄と下の欄を見ると、かけたら常に−１２になっています。
これが反比例の目印。
反比例の式はｙ＝ａ／ｘで、「ａ＝ｘｙ」
ｘとｙをかけたらいつも−１２になっているから、
答えはｙ＝−１２／ｘです。
比例のグラフ
例題 ４：（１）比例ｙ＝−３ｘ、（２）ｙ＝３／４ｘのグラフをかけ。
（解き方１）
（１）
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、ｘ＝１をｙ＝−３ｘの式に代入してみます。
そうするとｙ＝−３
ｘ＝１、ｙ＝−３ということは、座標でいうと（１,−３）
以上より、まず原点に点をうち、次に（１,−３）に点をうち、２点を通る直線を引いて終わりです。
（左のグラフは途中でとめていますが、変域が指定されていないときは、実際のグラフはグラフ用紙の端から端までかいてください。）
（２）
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、ｘ＝１をｙ＝３／４ｘの式に代入しようと考えますが、そうするとｙ＝３／４という分数になって困ります。
こういうときは、分母と同じ数、４を代入します。
そうするとｙ＝３
ｘ＝４、ｙ＝３ということは、座標でいうと（４,３）
以上より、まず原点に点をうち、次に（４,３）に点をうち、２点を通る直線を引いて終わりです。
（解き方２）
中２の１次関数と同様、「傾き」という考え方を使ってかく方法です。
（１）（２）
比例のグラフは必ず原点を通るので、原点から出発することは（解き方１）と同じです。
次に、ｙ＝−３ｘだと、マイナスなので「右に下がる」、−３なので右に１進んで、下に３下がったところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフの完成です。
ｙ＝３／４ｘのときは、原点から出発し、４右へ行って、３上に進んだところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフがかけます。
反比例のグラフ
例題５：反比例ｙ＝１２／ｘのグラフをかけ。
（解き方）
反比例ｙ＝ａ／ｘの比例定数はａ＝ｘｙを使って、グラフもかいていきます。
この問題の場合、ａ＝１２だから、ｘｙ＝１２です。
ｘとｙをかけたら１２なので、かけて１２になるｘとｙの組合せを見つけていきます。
（２,６）、（３,４）、（４,３）、（６,２）などが見つかります。
この４つの点をグラフにうち、その点を結んでいきます。
注意すべきは、マイナスの数も考えないといけないこと。
かけて１２になる組合せは、（−２,−６）、（−３,−４）、（−４,−３）、（−６,−２）もあります。
この４つの点もうちこみ、その点を結びます。
反比例のグラフは双曲線ですから、グラフは２ヶ所にないといけません。
しかし、基本的なことをわかりやすく説明し、きちんと理解してもらうことも塾の大切な仕事の一つです。
そこで、子どもたちの苦手な分野を中心に、『超簡単』シリーズを企画しました。
数学の苦手な人でも「こうすれば誰でも簡単に解ける」というコツを書いていきたいと思います。
今日は受験生がよく忘れてしまっている単元、「比例・反比例」です。
これだけは覚えておく
比例の式はｙ＝ａｘ、反比例の式はｙ＝ａ／ｘ
比例、反比例の問題を解くときは、必ずこの式から出発します。
まず、比例・反比例の式の求め方から。
比例の式
ｙ＝ａｘに代入
例題１：ｙはｘに比例し、ｘ＝２のときｙ＝−６である。ｙをｘの式で表せ。
（解き方）
比例の式はｙ＝ａｘだから、「比例」の文字を見たら、ｙ＝ａｘ
ｙ＝ａｘにｘ＝２、ｙ＝−６を代入してａを求める。
−６＝２ａ
−２ａ＝６
ａ＝−３
ａがわかったら式は完成。
ｙ＝−３ｘ
反比例の式
ｙ＝ａ／ｘのａは、ａ＝ｘｙ
例題２：ｙはｘに反比例し、ｘ＝３のとき、ｙ＝４である。ｙをｘの式で表せ。
（解き方）
反比例の式は
そしてａ＝ｘｙだから、「反比例」の文字を見たら、ａ＝ｘｙ
だから、ａ＝ｘｙ＝３×４＝１２
ａ＝１２
答えはｙ＝１２／ｘ
コツ：比例の文字を見たらｙ＝ａｘに代入、反比例の文字を見たらａ＝ｘｙ
表と、比例・反比例
例題３：次のような表で表される関数がある。ｙをｘの式で表せ。
（１）
（解き方）
表の下欄のｙがいつも上欄ｘの−２倍になっています。
これは比例の目印。
比例だから、「ｙ＝ａｘに代入」。
できるだけ数字の簡単なｘ＝１、ｙ＝−２を代入します。
−２＝ａ
−ａ＝２
ａ＝−２
ａを求めることができたので
答えはｙ＝−２ｘ
ところがもう一度表を見直すと、この−２は最初から上欄、下欄の関係でわかっていました。
ちょっと悔しいところです。
（２）
（解き方）
表の上の欄と下の欄を見ると、かけたら常に−１２になっています。
これが反比例の目印。
反比例の式はｙ＝ａ／ｘで、「ａ＝ｘｙ」
ｘとｙをかけたらいつも−１２になっているから、
答えはｙ＝−１２／ｘです。
比例のグラフ
例題 ４：（１）比例ｙ＝−３ｘ、（２）ｙ＝３／４ｘのグラフをかけ。
（解き方１）
（１）
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、ｘ＝１をｙ＝−３ｘの式に代入してみます。
そうするとｙ＝−３
ｘ＝１、ｙ＝−３ということは、座標でいうと（１,−３）
以上より、まず原点に点をうち、次に（１,−３）に点をうち、２点を通る直線を引いて終わりです。
（左のグラフは途中でとめていますが、変域が指定されていないときは、実際のグラフはグラフ用紙の端から端までかいてください。）（２）
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。
次に、もっとも簡単な数、ｘ＝１をｙ＝３／４ｘの式に代入しようと考えますが、そうするとｙ＝３／４という分数になって困ります。
こういうときは、分母と同じ数、４を代入します。
そうするとｙ＝３
ｘ＝４、ｙ＝３ということは、座標でいうと（４,３）
以上より、まず原点に点をうち、次に（４,３）に点をうち、２点を通る直線を引いて終わりです。
（解き方２）
中２の１次関数と同様、「傾き」という考え方を使ってかく方法です。
（１）（２）
比例のグラフは必ず原点を通るので、原点から出発することは（解き方１）と同じです。
次に、ｙ＝−３ｘだと、マイナスなので「右に下がる」、−３なので右に１進んで、下に３下がったところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフの完成です。
ｙ＝３／４ｘのときは、原点から出発し、４右へ行って、３上に進んだところに点をうちます。
原点とその点を結ぶとグラフがかけます。
反比例のグラフ
例題５：反比例ｙ＝１２／ｘのグラフをかけ。
（解き方）
反比例ｙ＝ａ／ｘの比例定数はａ＝ｘｙを使って、グラフもかいていきます。
この問題の場合、ａ＝１２だから、ｘｙ＝１２です。
ｘとｙをかけたら１２なので、かけて１２になるｘとｙの組合せを見つけていきます。
（２,６）、（３,４）、（４,３）、（６,２）などが見つかります。
この４つの点をグラフにうち、その点を結んでいきます。
注意すべきは、マイナスの数も考えないといけないこと。
かけて１２になる組合せは、（−２,−６）、（−３,−４）、（−４,−３）、（−６,−２）もあります。
この４つの点もうちこみ、その点を結びます。
反比例のグラフは双曲線ですから、グラフは２ヶ所にないといけません。
私の質問にお返事をしてくださり、ありがとうございました。
よくわかって、すっきりしました。
私は塾に行っていないので、先生のブログで他の教科も予習をしています。
印刷はお母さんにお願いして、ファイルをして、何度も読み返しています。
理解してから問題を解くのが楽しいです。
この単元は一次関数につながるとアリ先生が書いていたのを読んだので、絶対にがんばります。