変域とは

変域とは、「変」=「変数」の、「域」=「範囲」のことです。

そして、変数とは「いろいろな値をとる文字」と定義されますが、関数で「xとyのこと」と覚えたら悩まなくてすみます。

要するに、変域とはxとyの範囲のこと、もっとわかりやすく言うと、「xがいくらからいくらまでか」、「yがいくらからいくらまでか」のことです。

さらに、変域をきかれたときは、答えは□≦x≦□□≦y≦□の形になるとういうことをぼんやりとでもいいので覚えておいてください。


問題を解くときの頭の使い方

例題:深さが30cmの容器に容器がいっぱいになるまで水を入れる。水面の高さが毎分3cmの割合で高くなるとき、水を入れはじめてからx分後の水面の高さをycmとする。xとyの変域を求めなさい。

まず、xから。

最初に、問題の後半を見直して、xが何であるかを確認します。
「x分後」とあるので、xは「分」、つまり水を入れはじめてからの「時間」です。

水を入れはじめた瞬間の「時間」は0です。
だから、□≦x≦□の左の□は0であり、ものごとは0から始まり、0も含みますから、不等号は<ではなくて≦です。

□≦x≦□の右側ですが、永遠に水を入れ続けることはできない、から出発します。
深さ30cmの容器に3cmずつ水を入れていくわけですから、30÷3で10分で容器はいっぱいになるはずです。
だから、□≦x≦□の右側は10です。

以上より、xの変域は0≦x≦10ということになります。

次に、yの変域を考えてみましょう。

まず、問題を見直して、yが何であるかを確認します。「水面の高さをy」と書いてあるので、yは水面の高さです。

水を入れはじめた瞬間の「水面の高さ」は0です。その0も含みますから、不等号は<ではなくて≦です。

□≦y≦□の右側、これは簡単です。問題を見直すだけでわかります。
「深さが30cmの容器」とあるので、30です。

以上より、yの変域は0≦y≦30ということになります。


まとめると、次のようになります。

(1)変域をきかれたとき、答えは□≦x≦□、□≦y≦□と、2つの数ではさむ形になるのが普通です。

例外として、範囲が正の数であるときの0<xがあります。

(2)不等号は、≦であることがほとんどで、その数自身を含まない<であることはまれです。

不等号が<になるのは、図形の問題くらいです。
例えばxが三角形のひとつの角であるとき、xの変域は0<x<180となり、=がつきません。なぜなら、角xがちょうど0や180のときは直線になってしまって、もはや三角形とは言えないからです。

(3)変域の少ないほうの数字、つまり、□≦x≦□の左側の□に入る数字は、問題文中に特別の指定がある以外は、0です。

(4)□≦x≦□の右側は、問題文を読み直してx、yが何なのかを確認したらわかります。
読み直しただけでわかることがほとんどですが、計算が必要なときも30÷3程度の簡単な計算です。


変域の求め方、まとめ

1、答えは□≦x≦□の形であることを思い出す。

2、xが何か、yが何かを、問題を見直して確認する。

3、不等号は、図形の問題以外は<ではなくてになる。

4、□≦x≦□の左側、小さい数はであることがほとんどである。

5、□≦x≦□の右側、大きい数は、もう一度問題文を見直して、xやyが何であるかを確認したらわかる。