√６は√６のままで、整数で表すことはできませんが、√４＝２、√９＝３であり、√４や√９は整数になおすことができます。
√ｍとは、２乗するとｍになる数を表す記号ですから、√ｎ＾２であれば√ｎ＾２＝ｎとなり、ルートがとれて、整数で表すことができます。
√４＝√２＾２＝２、√９＝√３＾２＝３、√１６＝√４＾２＝４、√２５＝√５＾２＝５、・・・、つまり、√の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができます。
「√の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」、これがこの稿のポイントです。
例題１：√１８ｎが整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めよ。
（考え方・解き方）
１８より大きい数で、２乗になっている数を探すとまず２５ですが、１８に整数をかけて２５にすることはできません。
さらに探すと、次に２乗である数は３６です。３６＝１８×２であり、√３６＝６となってくれますから、最小のｎは２だということになります。
これで正解ですが、１８が簡単な数だからすぐに見つかっただけで、例えば√５００ｎなどというような大きな数になると、いちいち２乗の数を探していくことはほとんど不可能です。
どんな大きな数になっても簡単に探すことができる方法を見つけないといけません。
ところで、√１８ｎの１８は、１×１８であり、２×９であり、３×６です。
ここで、９が３の２乗であることに注目です。
この問題の目標は、√の中を「ある数の２乗」にすることでした。
√２×９のとき、すでに９は３の２乗になっています。２乗になっていないのは２の部分だけです。だから、ｎ＝２であれば、√１８ｎ＝√１８×２＝√２×９×２＝√２＾２×３＾２となって、√の中が２の２乗と３の２乗となり、√がとれて整数になってくれたわけです。
つまり、√の中の数を積の形に分解して、２乗になっている部分と２乗になっていない部分とに分け、２乗になっていない数をｎとしてかけると、√の中が「ある数の２乗」になってくれて、整数で表せるということです。
では、２乗になっている部分と２乗になっていない部分とはどうしたら見つけることができるか？
１８＝２×３＾２だから２を見つけることができたわけです。
ところで、１８＝２×３＾２は、素因数分解にほかなりません。
結局、この種類の問題を解く方法は、「まず、素因数分解をしてみる」ということになります。
（１）√１８ｎの１８を素因数分解すると２×３＾２
（２）３は２乗になっているから、全体を２乗にするには２をかければよい。
（３）だから、最小のｎは２
まとめると、
（１）素因数分解する
（２）２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるような数字を見つけたらよい
ということになります。
以上の考え方は、問題が複雑になってもそのまま使えます。
例題２：√３３６ｎが整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めよ。また、そのとき、整数はなにか。
（解き方）
（１）素因数分解する
（２）２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるような数字を見つける
３３６を素因数分解すると、２＾４×３×７です。
２は４乗で、２＾４＝（２＾２）＾２ですから、すでに２乗になっています。
２乗になっていないのは３×７なので、かけないといけない自然数ｎは３×７＝２１です。
次に、２１をかけるとどういう整数になるか？
√２＾４×３×７×３×７となるわけですが、
＝√２＾４×３＾２×７＾２
＝√（２＾２×３×７）＾２
＝２＾２×３×７
＝８４
ルートが外れた後の整数は８４です。
例題３：次の数が整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めなさい。
（１）√（２１６／ｎ）
（２）√（８４ｎ／５）
（解き方）
ルートがはずれて整数になるための自然数を見つける問題ですから、
「√ の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」を基本に、
・素因数分解する
・２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるための数字を見つける
であることは共通です。
（１）今度は、２１６をｎでわって、√の中に２乗をつくることが目標です。
２１６を素因数分解してみます。
２１６＝２＾３×３＾３です。
２も３乗、３も３乗で、２乗にするには１つずつ多すぎます。
だから、その多すぎる部分をｎでわって消せばよいということになります。
答えは２×３＝６です。
（２）まず、８４を素因数分解します。
８４＝２＾２×３×７です。
だから、ｎの中に、３×７が必要です。
分母の５がなければｎ＝３×７＝２１で終わりですが、２１だけでは分母の５が残ってしまいます。
この分母の５も消さないといけません。
分子のｎの中に５があれば、約分して分母を１にして消すことができます。
以上より、ｎ＝３×７×５＝１０５です。
ルートを整数にするための数値を見つける問題には、もう１種類、やや毛色の違う問題があります。
例題３：√（３５−ｎ）が整数となる自然数ｎをすべて求めなさい。
（解き方）
この問題は、「√ の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」だけで解く問題で、素因数分解は使わなくてすみそうです。
ｎが自然数であり、ルートの中の数は０か正の数でないといけないので（２乗して負になる数はありません）、だから、３５−ｎの範囲は０以上、３４以下です。
そして、０以上３４以下の整数で、「ある数の２乗」なっている数は、０、１、４、９、１６、２５の６つです。
３５−ｎ＝０のとき、ｎ＝３５
３５−ｎ＝１のとき、ｎ＝３４
３５−ｎ＝４のとき、ｎ＝３１
３５−ｎ＝９のとき、ｎ＝２６
３５−ｎ＝１６のとき、ｎ＝１９
３５−ｎ＝２５のとき、ｎ＝１０
ｎの値は、１０、１９、２６、３１、３４、３５の５つだということになります。
最後に、よくある入試問題です。
例題４：√（１２４−８ｎ）が整数となるとき、自然数ｎの値をすべて求めよ。
（解き方）
１２４−８ｎの範囲は０以上１２４未満ですから、１１の２乗である１２１まで、２乗になる数を探しても解けるでしょうが、芸がないというか、時間がかかりそうです。
１２４も４でわれるし、８ｎの８も４の倍数であることに気づいて、４でくくって（因数分解して）みることを考えます。
√（１２４−８ｎ）＝√４（３１−２ｎ）
√４の部分は２の２乗になっているので、３１−２ｎが「ある数の２乗」になっていたらよいことに気づきます。
３１までの数で、２乗である数は、０、１、４、９、１６、２５です。
３１−２ｎ＝０のとき、ｎは３１／２になって自然数ではないので不適当です。
３１−２ｎ＝１のとき、ｎ＝１５
３１−２ｎ＝４のとき、ｎ＝２７／２で不適当。
３１−２ｎ＝９のとき、ｎ＝１１
３１−２ｎ＝１６のとき、ｎ＝１５／２で不適当。
３１−２ｎ＝２５のとき、ｎ＝３
以上より、ｎは３、１１、１５の３つだとわかります。
√ｍとは、２乗するとｍになる数を表す記号ですから、√ｎ＾２であれば√ｎ＾２＝ｎとなり、ルートがとれて、整数で表すことができます。
√４＝√２＾２＝２、√９＝√３＾２＝３、√１６＝√４＾２＝４、√２５＝√５＾２＝５、・・・、つまり、√の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができます。
「√の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」、これがこの稿のポイントです。
例題１：√１８ｎが整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めよ。
（考え方・解き方）
１８より大きい数で、２乗になっている数を探すとまず２５ですが、１８に整数をかけて２５にすることはできません。
さらに探すと、次に２乗である数は３６です。３６＝１８×２であり、√３６＝６となってくれますから、最小のｎは２だということになります。
これで正解ですが、１８が簡単な数だからすぐに見つかっただけで、例えば√５００ｎなどというような大きな数になると、いちいち２乗の数を探していくことはほとんど不可能です。
どんな大きな数になっても簡単に探すことができる方法を見つけないといけません。
ところで、√１８ｎの１８は、１×１８であり、２×９であり、３×６です。
ここで、９が３の２乗であることに注目です。
この問題の目標は、√の中を「ある数の２乗」にすることでした。
√２×９のとき、すでに９は３の２乗になっています。２乗になっていないのは２の部分だけです。だから、ｎ＝２であれば、√１８ｎ＝√１８×２＝√２×９×２＝√２＾２×３＾２となって、√の中が２の２乗と３の２乗となり、√がとれて整数になってくれたわけです。
つまり、√の中の数を積の形に分解して、２乗になっている部分と２乗になっていない部分とに分け、２乗になっていない数をｎとしてかけると、√の中が「ある数の２乗」になってくれて、整数で表せるということです。
では、２乗になっている部分と２乗になっていない部分とはどうしたら見つけることができるか？
１８＝２×３＾２だから２を見つけることができたわけです。
ところで、１８＝２×３＾２は、素因数分解にほかなりません。
結局、この種類の問題を解く方法は、「まず、素因数分解をしてみる」ということになります。
（１）√１８ｎの１８を素因数分解すると２×３＾２
（２）３は２乗になっているから、全体を２乗にするには２をかければよい。
（３）だから、最小のｎは２
まとめると、
（１）素因数分解する
（２）２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるような数字を見つけたらよい
ということになります。
以上の考え方は、問題が複雑になってもそのまま使えます。
例題２：√３３６ｎが整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めよ。また、そのとき、整数はなにか。
（解き方）
（１）素因数分解する
（２）２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるような数字を見つける
３３６を素因数分解すると、２＾４×３×７です。２は４乗で、２＾４＝（２＾２）＾２ですから、すでに２乗になっています。
２乗になっていないのは３×７なので、かけないといけない自然数ｎは３×７＝２１です。
次に、２１をかけるとどういう整数になるか？
√２＾４×３×７×３×７となるわけですが、
＝√２＾４×３＾２×７＾２
＝√（２＾２×３×７）＾２
＝２＾２×３×７
＝８４
ルートが外れた後の整数は８４です。
例題３：次の数が整数となる自然数ｎのうち、最小の値を求めなさい。
（１）√（２１６／ｎ）
（２）√（８４ｎ／５）
（解き方）
ルートがはずれて整数になるための自然数を見つける問題ですから、
「√ の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」を基本に、
・素因数分解する
・２乗になっていない部分を見つけて、２乗になるための数字を見つける
であることは共通です。
（１）今度は、２１６をｎでわって、√の中に２乗をつくることが目標です。
２１６を素因数分解してみます。
２１６＝２＾３×３＾３です。
２も３乗、３も３乗で、２乗にするには１つずつ多すぎます。
だから、その多すぎる部分をｎでわって消せばよいということになります。
答えは２×３＝６です。
（２）まず、８４を素因数分解します。
８４＝２＾２×３×７です。
だから、ｎの中に、３×７が必要です。
分母の５がなければｎ＝３×７＝２１で終わりですが、２１だけでは分母の５が残ってしまいます。
この分母の５も消さないといけません。
分子のｎの中に５があれば、約分して分母を１にして消すことができます。
以上より、ｎ＝３×７×５＝１０５です。
ルートを整数にするための数値を見つける問題には、もう１種類、やや毛色の違う問題があります。
例題３：√（３５−ｎ）が整数となる自然数ｎをすべて求めなさい。
（解き方）
この問題は、「√ の中がある数の２乗であれば、√は整数で表すことができる」だけで解く問題で、素因数分解は使わなくてすみそうです。
ｎが自然数であり、ルートの中の数は０か正の数でないといけないので（２乗して負になる数はありません）、だから、３５−ｎの範囲は０以上、３４以下です。
そして、０以上３４以下の整数で、「ある数の２乗」なっている数は、０、１、４、９、１６、２５の６つです。
３５−ｎ＝０のとき、ｎ＝３５
３５−ｎ＝１のとき、ｎ＝３４
３５−ｎ＝４のとき、ｎ＝３１
３５−ｎ＝９のとき、ｎ＝２６
３５−ｎ＝１６のとき、ｎ＝１９
３５−ｎ＝２５のとき、ｎ＝１０
ｎの値は、１０、１９、２６、３１、３４、３５の５つだということになります。
最後に、よくある入試問題です。
例題４：√（１２４−８ｎ）が整数となるとき、自然数ｎの値をすべて求めよ。
（解き方）
１２４−８ｎの範囲は０以上１２４未満ですから、１１の２乗である１２１まで、２乗になる数を探しても解けるでしょうが、芸がないというか、時間がかかりそうです。
１２４も４でわれるし、８ｎの８も４の倍数であることに気づいて、４でくくって（因数分解して）みることを考えます。
√（１２４−８ｎ）＝√４（３１−２ｎ）
√４の部分は２の２乗になっているので、３１−２ｎが「ある数の２乗」になっていたらよいことに気づきます。
３１までの数で、２乗である数は、０、１、４、９、１６、２５です。
３１−２ｎ＝０のとき、ｎは３１／２になって自然数ではないので不適当です。
３１−２ｎ＝１のとき、ｎ＝１５
３１−２ｎ＝４のとき、ｎ＝２７／２で不適当。
３１−２ｎ＝９のとき、ｎ＝１１
３１−２ｎ＝１６のとき、ｎ＝１５／２で不適当。
３１−２ｎ＝２５のとき、ｎ＝３
以上より、ｎは３、１１、１５の３つだとわかります。
