素数

と、その数自身でしかわれない(1と、その数自身しか約数をもたない)自然数を素数といいます。

1と、その数自身しか約数がない、つまり、約数2個の自然数が素数です。

は、約数が、1だけの1個しかないので素数ではありません。

は、素数であり、偶数である、唯一の数です。
2以外の偶数は、1とその数以外に2を約数にもつので素数ではありません。
言い換えると、2以外の素数はすべて奇数です。


素数の見つけ方

エラトステネスのふるい」と呼ばれる方法(ギリシャの人、エラトステネスが、数をふるいにかけて素数を見つける方法を発見したので「エラトステネスのふるい」といいます)が有名です。

最初の素数は2なので、まず、2を残して、2の倍数を消していきます。
残った最小の数は3、3が2番目の素数です。3を残し、3の倍数を消していきます。
次に残った最小の数は5、素数5を残し、5の倍数を消します。
残った最小の数は7、これが4番目の素数で、7を残し、7の倍数を消します。
このようにして、11、13、17、19、・・・と素数を見つけることができます。

素数は無限にあることが、2200年以上前にユークリッドによって証明されています。
現在発見されている最大の素数は、約1300万桁の数である、「2の43112609乗−1」だそうです。


100までの素数

10までの素数、は、すっと口をついて出てくるようにしておくべきです。

30までに素数は、ちょうど10個あります。
2、3、5、7、111317192329で10個です。

50までの素数は15個です(30〜50までに5個)。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、3137414347です。

100までの素数は25個です(50〜100までに10個)。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53596167717379838997の、25個です。

偶然、きりのよい個数になっているので、知っておくと役にたちます。


素因数分解

1以外のすべての自然数は、素数だけの積で表すことができます。



4=2×2

6=2×3

・・・
12=2×2×3
・・・
72=2×2×2×3×3
・・・
2010=2×3×5×67
・・・・

ある数や式が、別の数や式の積(かけ算)の形になっているとき、その、積を構成している別の数や式のことを「因数」といいます。
6=2×3のとき、2と3が6の因数です。
また、ab+a=a(b+1)の式では、a、b+1が因数です。

「約数」とほぼ同じ意味です。

ある数を、素数の因数に分解すること(素数の積の形に表すこと)を素因数分解といいます。

素因数分解の仕方ですが、簡単な数だと、12=2×2×3と暗算で求められます。
やや複雑な数になると、2、3、5、7、・・・の順に素数でわっていきます。
例えば、180の素因数分解だと、

)180
) 90
) 45
) 15
・   5

小さい素数からわっていき、われる間はその素数でわり続けます。
2でわれなくなったら3、3でわれなくなったら次の素数の5、さらに次の素数の7、・・・と、わっていき、最後に素数が現れたらそこで終了です。

180=2×2×3×3×5

長い式になるとわずらわしいので、普通は累乗の部分を指数を使って書き表します。
180=2^2×3^2×5
180



素因数分解を利用すると、平方数(ある数の2乗になっている数)がどういう数の2乗になっているのかや、約数の個数を簡単に見つけることができます。