世の中にある「数」を、分数で表せるかどうかで分類したとき、分数で表せる数を有理数、分数で表せない数を無理数といいます。
ところで、世の中にある「数」には、整数と、分数と、小数しかありません。
整数は、例えば、３が３／１（１分の３）であるように、すべて分母が１の分数で表せますから、全部が有理数です。
分数は、最初から分数ですから有理数です。
結局、有理数と無理数に分かれるのは、小数だけです。
ここまでのまとめ
（１）「数」は、整数か分数か小数の、３つしかない。
（２）
整数・・・有理数
分数・・・有理数
小数・・・有理数と無理数に分かれる
小数
普通の（今まで習ったほとんどの）小数は、例えば、小数第１位の小数であれば０.３＝３／１０、小数第２位の小数であれば０.１３＝１３／１００であるように、分数で表すことができるので有理数です。
小数点以下のどこまでかがわかっていて、わかっているから「１０分の〜」、「１００分の〜」、「１０００分の〜」、・・・と、分数で表せる小数のことを有限小数といいます。
有限小数は、分数で表せるので有理数です。
１／３が、１÷３＝０.３３３３・・・・であることは知っているはずです。
この０.３３３３・・・・のように、どこまでも続いていく小数を無限小数といいます。
無限小数も、０.３３３３・・・・は１／３と分数で表せる有理数です。
では、どんな小数が無理数なのでしょうか？
円周率のπが、３.１４１５９２・・・・とどこまでも続いていく無限小数であることは誰もが知っています。
この３.１４１５９２・・・・は分数では表しようがありません。
無理数です。
では、分数で表せる有理数の０.３３３３・・・・と、分数では表せない無理数の３.１４１５９２・・・・とではどこが違うのか？
０.３３３３・・・・は、３という数字が繰り返し出てきます。これを、同じ数字が繰り返し出てくるので循環小数といいます。
循環小数は分数で表すことができます。
（循環小数が分数で表せることはこちらを参照してください。）
３.１４１５９２・・・・は、不規則にいろいろな数字が並んでいます。
どうやら、不規則にいろいろな数字が並んでいる小数だけが無理数だといえそうです。
この、不規則にいろいろな数字が数字が並んでいる、「無限小数の中で循環小数でないもの」だけが、無理数です。
循環しない無限小数だけが無理数なのです。
小数の分類
（１）小数は、有限小数（有理数）と無限小数に分かれる
（２）無限小数は、さらに循環小数（有理数）と循環しない無限小数に分かれる
（３）循環しない無限小数だけが無理数である
π（パイ）と√（ルート）だけが無理数
では、循環しない無限小数は、円周率のπ以外に何があるでしょうか？
√（ルート）がそうです。
例えば、２の平方根の√２は、√２＝１.４１４２１３５６・・・・という、循環しない無限小数です。
√３は、√３＝１.７３２０５０８・・・・と続く、循環しない無限小数です。
結局、中学３年生が知っている数の中では、円周率のπと√だけが循環しない無限小数であり、つまり無理数だということになります。
まとめ
πと√の２つだけが無理数である
例題：
次の数について、無理数を選び出せ。
５、√６、√９、−１１、０.８、−√１.７、５／３、√（４／２５）
問題を解くときは、「πと√だけが無理数」でやっていくのが一番簡単です。
ただし、√９は√がついてはいますが、√９＝３ですから、実は整数です。
同様に、√４／２５も、√がついてはいるものの、２／５という分数になおせます。
この２つは、ほんとうは整数と分数ですから、「πと√だけ」の√に入れてはいけません。
無理数は、「πと、√のはずせない√だけ」なのです。
ということから、無理数であるのは、√６と、−√１.７の２つです。
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ところで、世の中にある「数」には、整数と、分数と、小数しかありません。
整数は、例えば、３が３／１（１分の３）であるように、すべて分母が１の分数で表せますから、全部が有理数です。
分数は、最初から分数ですから有理数です。
結局、有理数と無理数に分かれるのは、小数だけです。
ここまでのまとめ
（１）「数」は、整数か分数か小数の、３つしかない。
（２）
整数・・・有理数
分数・・・有理数
小数・・・有理数と無理数に分かれる
小数
普通の（今まで習ったほとんどの）小数は、例えば、小数第１位の小数であれば０.３＝３／１０、小数第２位の小数であれば０.１３＝１３／１００であるように、分数で表すことができるので有理数です。
小数点以下のどこまでかがわかっていて、わかっているから「１０分の〜」、「１００分の〜」、「１０００分の〜」、・・・と、分数で表せる小数のことを有限小数といいます。
有限小数は、分数で表せるので有理数です。
１／３が、１÷３＝０.３３３３・・・・であることは知っているはずです。
この０.３３３３・・・・のように、どこまでも続いていく小数を無限小数といいます。
無限小数も、０.３３３３・・・・は１／３と分数で表せる有理数です。
では、どんな小数が無理数なのでしょうか？
円周率のπが、３.１４１５９２・・・・とどこまでも続いていく無限小数であることは誰もが知っています。
この３.１４１５９２・・・・は分数では表しようがありません。
無理数です。
では、分数で表せる有理数の０.３３３３・・・・と、分数では表せない無理数の３.１４１５９２・・・・とではどこが違うのか？
０.３３３３・・・・は、３という数字が繰り返し出てきます。これを、同じ数字が繰り返し出てくるので循環小数といいます。
循環小数は分数で表すことができます。
（循環小数が分数で表せることはこちらを参照してください。）
３.１４１５９２・・・・は、不規則にいろいろな数字が並んでいます。
どうやら、不規則にいろいろな数字が並んでいる小数だけが無理数だといえそうです。
この、不規則にいろいろな数字が数字が並んでいる、「無限小数の中で循環小数でないもの」だけが、無理数です。
循環しない無限小数だけが無理数なのです。
小数の分類
（１）小数は、有限小数（有理数）と無限小数に分かれる
（２）無限小数は、さらに循環小数（有理数）と循環しない無限小数に分かれる
（３）循環しない無限小数だけが無理数である
π（パイ）と√（ルート）だけが無理数
では、循環しない無限小数は、円周率のπ以外に何があるでしょうか？
√（ルート）がそうです。
例えば、２の平方根の√２は、√２＝１.４１４２１３５６・・・・という、循環しない無限小数です。
√３は、√３＝１.７３２０５０８・・・・と続く、循環しない無限小数です。
結局、中学３年生が知っている数の中では、円周率のπと√だけが循環しない無限小数であり、つまり無理数だということになります。
まとめ
πと√の２つだけが無理数である
例題：
次の数について、無理数を選び出せ。
５、√６、√９、−１１、０.８、−√１.７、５／３、√（４／２５）
問題を解くときは、「πと√だけが無理数」でやっていくのが一番簡単です。
ただし、√９は√がついてはいますが、√９＝３ですから、実は整数です。
同様に、√４／２５も、√がついてはいるものの、２／５という分数になおせます。
この２つは、ほんとうは整数と分数ですから、「πと√だけ」の√に入れてはいけません。
無理数は、「πと、√のはずせない√だけ」なのです。
ということから、無理数であるのは、√６と、−√１.７の２つです。
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