分数を循環小数で表す
例題１：
分数５／９を循環小数で表せ。
小学校で学んだように、分数５／９は５÷９を計算して小数で表すことができます。
５÷９＝０.５５５５・・・・
約束事として、中学校では循環する数字の上に黒丸をつけて書き表します。
循環する数字が２けたのときは、２つの数字の上に黒丸をつけます。
（例）４／３３＝０.１２１２１２・・・・
循環する数字が３けた以上のときは、すべての数字の上に黒丸はつけないで、循環する部分の左端と右端だけに黒丸をつけます。
（例）３１／２７＝１.１４８１４８・・・・
次に、この単元でもっとも重要な、循環小数の０.１１１１・・・・が分数の１／９であることを証明してみましょう。
０.１１１１・・・・＝１／９
１が循環する小数、０.１１１・・・・を考えます。
計算したらわかりますが、１／９＝１÷９＝０.１１１・・・・です。
「計算したらわかる」では情けないので、もっとかっこよく説明してみましょう。
文字ｘを使うのがコツです。
０.１１１・・・・をｘと仮定します。
ｘ＝０.１１１・・・・
循環部分が１けたのときは、ｘの１０倍を考えます。
１０倍すると、小数点が右へ１つ動くので、
１０ｘ＝１.１１・・・・
ｘと１０ｘを上下にならべて書いて、上の式から下の式をひいてみます。
・・・・・/ｘ＝０.１１１・・・・
−）１０ｘ＝１.１１１・・・・
小数点以下の１１１・・・・の部分は、上の式と下の式でまったく同じはずです。
ということは、小数点以下の１１１・・・・の部分は、上の式から下の式をひいたらすべて消えてくれます。
・・・・・/ｘ＝０.１１１・・・・
−）１０ｘ＝１.１１１・・・・
−９ｘ＝−１
・・・ｘ＝１／９
以上より、０.１１１・・・・＝１／９です。
同じようにして、０.０１０１０１・・・が１／９９であることを証明してみましょう。
今度は、循環部分が２けただから、小数点以下に同一部分をつくるために１００倍してみるのがコツです。
・・・・・・・ｘ＝０.０１０１０１・・・・
−）１００ｘ＝１.０１０１０１・・・・
・・/−９９ｘ＝−１
ｘ＝１／９９
同様に、０.００１００１００１・・・・＝１／９９９です。
以上の、
０.１１１１・・・・＝１／９
０.０１０１・・・・＝１／９９
０.００１００１・・・・＝１／９９９
を使って、循環小数を分数で表すことができます。
循環小数を分数で表す
例題２：
次の循環小数を分数で表せ。
（１）０.６６６・・・・
（２）０.７２７２７２・・・・
（解答）
（１）
０.１１１・・・・＝１／９を使えば簡単です。
０.６６６・・・・＝０.１１１・・・×６だから、０.６６６・・・・＝（１／９）×６＝６／９
約分して２／３
（２）
０.０１０１０１・・・・＝１／９９を使います。
０.７２７２７２・・・・＝７２／９９
約分して８／１１
最後に、ちょっと考えないといけない問題をしてみましょう。
例題３：
次の循環小数を分数で表せ。
（１）０.１３３３・・・・
（２）０.３２４２４２４・・・・
（解答）
（１）
０.１１１・・・・＝１／９を使いたいのに、ひとつ位がずれています。
だから、０.１１１・・・・＝１／９が使えるようにします。
どうしたらよいか？
１０倍したら、１.３３３・・・・となって、０.３３３・・・・＝３／９が使えます。
１.３３３・・・・＝１と３／９（まず帯分数にする）
１と３／９を約分して１と１／３
帯分数のままでは１０でわってもとにもどせないので仮分数にして１と１／３＝４／３
最後に、４／３を１０でわって、もとの０.１３３３・・・・を求めます。
４／３÷１０＝４／３０＝２／１５
以上のように、１０倍して分数を求めて、その分数を１０でわったら答えが求められます。
（２）
同じように１０倍して、３.２４２４２４・・・・
０.０１０１０１・・・・＝１／９９より、
３.２４２４２４・・・・＝３と２４／９９（帯分数）
約分して３と８／３３
仮分数にして１０７／３３
最後に１０でわってもとの数を求める
答えは１０７／３３０
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例題１：
分数５／９を循環小数で表せ。
小学校で学んだように、分数５／９は５÷９を計算して小数で表すことができます。
５÷９＝０.５５５５・・・・
約束事として、中学校では循環する数字の上に黒丸をつけて書き表します。
循環する数字が２けたのときは、２つの数字の上に黒丸をつけます。
（例）４／３３＝０.１２１２１２・・・・
循環する数字が３けた以上のときは、すべての数字の上に黒丸はつけないで、循環する部分の左端と右端だけに黒丸をつけます。
（例）３１／２７＝１.１４８１４８・・・・
次に、この単元でもっとも重要な、循環小数の０.１１１１・・・・が分数の１／９であることを証明してみましょう。
０.１１１１・・・・＝１／９
１が循環する小数、０.１１１・・・・を考えます。
計算したらわかりますが、１／９＝１÷９＝０.１１１・・・・です。
「計算したらわかる」では情けないので、もっとかっこよく説明してみましょう。
文字ｘを使うのがコツです。
０.１１１・・・・をｘと仮定します。
ｘ＝０.１１１・・・・
循環部分が１けたのときは、ｘの１０倍を考えます。
１０倍すると、小数点が右へ１つ動くので、
１０ｘ＝１.１１・・・・
ｘと１０ｘを上下にならべて書いて、上の式から下の式をひいてみます。
・・・・・/ｘ＝０.１１１・・・・
−）１０ｘ＝１.１１１・・・・
小数点以下の１１１・・・・の部分は、上の式と下の式でまったく同じはずです。
ということは、小数点以下の１１１・・・・の部分は、上の式から下の式をひいたらすべて消えてくれます。
・・・・・/ｘ＝０.１１１・・・・
−）１０ｘ＝１.１１１・・・・
−９ｘ＝−１
・・・ｘ＝１／９
以上より、０.１１１・・・・＝１／９です。
同じようにして、０.０１０１０１・・・が１／９９であることを証明してみましょう。
今度は、循環部分が２けただから、小数点以下に同一部分をつくるために１００倍してみるのがコツです。
・・・・・・・ｘ＝０.０１０１０１・・・・
−）１００ｘ＝１.０１０１０１・・・・
・・/−９９ｘ＝−１
ｘ＝１／９９
同様に、０.００１００１００１・・・・＝１／９９９です。
以上の、
０.１１１１・・・・＝１／９
０.０１０１・・・・＝１／９９
０.００１００１・・・・＝１／９９９
を使って、循環小数を分数で表すことができます。
循環小数を分数で表す
例題２：
次の循環小数を分数で表せ。
（１）０.６６６・・・・
（２）０.７２７２７２・・・・
（解答）
（１）
０.１１１・・・・＝１／９を使えば簡単です。
０.６６６・・・・＝０.１１１・・・×６だから、０.６６６・・・・＝（１／９）×６＝６／９
約分して２／３
（２）
０.０１０１０１・・・・＝１／９９を使います。
０.７２７２７２・・・・＝７２／９９
約分して８／１１
最後に、ちょっと考えないといけない問題をしてみましょう。
例題３：
次の循環小数を分数で表せ。
（１）０.１３３３・・・・
（２）０.３２４２４２４・・・・
（解答）
（１）
０.１１１・・・・＝１／９を使いたいのに、ひとつ位がずれています。
だから、０.１１１・・・・＝１／９が使えるようにします。
どうしたらよいか？
１０倍したら、１.３３３・・・・となって、０.３３３・・・・＝３／９が使えます。
１.３３３・・・・＝１と３／９（まず帯分数にする）
１と３／９を約分して１と１／３
帯分数のままでは１０でわってもとにもどせないので仮分数にして１と１／３＝４／３
最後に、４／３を１０でわって、もとの０.１３３３・・・・を求めます。
４／３÷１０＝４／３０＝２／１５
以上のように、１０倍して分数を求めて、その分数を１０でわったら答えが求められます。
（２）
同じように１０倍して、３.２４２４２４・・・・
０.０１０１０１・・・・＝１／９９より、
３.２４２４２４・・・・＝３と２４／９９（帯分数）
約分して３と８／３３
仮分数にして１０７／３３
最後に１０でわってもとの数を求める
答えは１０７／３３０
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