分数を循環小数で表す

例題1:
分数5/9を循環小数で表せ。


小学校で学んだように、分数5/9は5÷9を計算して小数で表すことができます。
5÷9=0.5555・・・・

約束事として、中学校では循環する数字の上に黒丸をつけて書き表します。
1

循環する数字が2けたのときは、2つの数字の上に黒丸をつけます。
(例)4/33=0.121212・・・・
2

循環する数字が3けた以上のときは、すべての数字の上に黒丸はつけないで、循環する部分の左端と右端だけに黒丸をつけます。
(例)31/27=1.148148・・・・
3


次に、この単元でもっとも重要な、循環小数の0.1111・・・・が分数の1/9であることを証明してみましょう。

0.1111・・・・=1/9

1が循環する小数、0.111・・・・を考えます。
計算したらわかりますが、1/9=1÷9=0.111・・・・です。

「計算したらわかる」では情けないので、もっとかっこよく説明してみましょう。

文字xを使うのがコツです。

0.111・・・・をxと仮定します。

x=0.111・・・・

循環部分が1けたのときは、xの10倍を考えます。

10倍すると、小数点が右へ1つ動くので、
10x=1.11・・・・

xと10xを上下にならべて書いて、上の式から下の式をひいてみます。

・・・・・/x=0.111・・・・
)10x=1.111・・・・

小数点以下の111・・・・の部分は、上の式と下の式でまったく同じはずです。
ということは、小数点以下の111・・・・の部分は、上の式から下の式をひいたらすべて消えてくれます。

・・・・・/x=0.111・・・・
)10x=1.111・・・・
−9x=−1
・・・x=1/9

以上より、0.111・・・・=1/9です。
4


同じようにして、0.010101・・・が1/99であることを証明してみましょう。

今度は、循環部分が2けただから、小数点以下に同一部分をつくるために100倍してみるのがコツです。

・・・・・・・x=0.010101・・・・
)100x=1.010101・・・・

・・/−99x=−1
          x=1/99
5


同様に、0.001001001・・・・=1/999です。
6


以上の、
0.1111・・・・=1/9
0.0101・・・・=1/99
0.001001・・・・=1/999
を使って、循環小数を分数で表すことができます。

循環小数を分数で表す

例題2:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.666・・・・
7

(2)0.727272・・・・
8


(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使えば簡単です。

0.666・・・・=0.111・・・×6だから、0.666・・・・=(1/9)×6=6/9
約分して2/3

(2)
0.010101・・・・=1/99を使います。

0.727272・・・・=72/99
約分して8/11


最後に、ちょっと考えないといけない問題をしてみましょう。

例題3:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.1333・・・・
9

(2)0.3242424・・・・
10


(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使いたいのに、ひとつ位がずれています。
だから、0.111・・・・=1/9が使えるようにします。
どうしたらよいか?
10倍したら、1.333・・・・となって、0.333・・・・=3/9が使えます。

1.333・・・・=1と3/9(まず帯分数にする)
1と3/9を約分して1と1/3
帯分数のままでは10でわってもとにもどせないので仮分数にして1と1/3=4/3
最後に、4/3を10でわって、もとの0.1333・・・・を求めます。
4/3÷10=4/30=2/15

以上のように、10倍して分数を求めて、その分数を10でわったら答えが求められます。

(2)
同じように10倍して、3.242424・・・・
0.010101・・・・=1/99より、
3.242424・・・・=3と24/99(帯分数)
約分して3と8/33
仮分数にして107/33
最後に10でわってもとの数を求める
答えは107/330


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