分数を循環小数で表す
例題1:
分数5/9を循環小数で表せ。
小学校で学んだように、分数5/9は5÷9を計算して小数で表すことができます。
5÷9=0.5555・・・・
約束事として、中学校では循環する数字の上に黒丸をつけて書き表します。

循環する数字が2けたのときは、2つの数字の上に黒丸をつけます。
(例)4/33=0.121212・・・・

循環する数字が3けた以上のときは、すべての数字の上に黒丸はつけないで、循環する部分の左端と右端だけに黒丸をつけます。
(例)31/27=1.148148・・・・

次に、この単元でもっとも重要な、循環小数の0.1111・・・・が分数の1/9であることを証明してみましょう。
0.1111・・・・=1/9
1が循環する小数、0.111・・・・を考えます。
計算したらわかりますが、1/9=1÷9=0.111・・・・です。
「計算したらわかる」では情けないので、もっとかっこよく説明してみましょう。
文字xを使うのがコツです。
0.111・・・・をxと仮定します。
x=0.111・・・・
循環部分が1けたのときは、xの10倍を考えます。
10倍すると、小数点が右へ1つ動くので、
10x=1.11・・・・
xと10xを上下にならべて書いて、上の式から下の式をひいてみます。
・・・・・/x=0.111・・・・
−)10x=1.111・・・・
小数点以下の111・・・・の部分は、上の式と下の式でまったく同じはずです。
ということは、小数点以下の111・・・・の部分は、上の式から下の式をひいたらすべて消えてくれます。
・・・・・/x=0.111・・・・
−)10x=1.111・・・・
−9x=−1
・・・x=1/9
以上より、0.111・・・・=1/9です。

同じようにして、0.010101・・・が1/99であることを証明してみましょう。
今度は、循環部分が2けただから、小数点以下に同一部分をつくるために100倍してみるのがコツです。
・・・・・・・x=0.010101・・・・
−)100x=1.010101・・・・
・・/−99x=−1
x=1/99

同様に、0.001001001・・・・=1/999です。

以上の、
0.1111・・・・=1/9
0.0101・・・・=1/99
0.001001・・・・=1/999
を使って、循環小数を分数で表すことができます。
循環小数を分数で表す
例題2:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.666・・・・

(2)0.727272・・・・

(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使えば簡単です。
0.666・・・・=0.111・・・×6だから、0.666・・・・=(1/9)×6=6/9
約分して2/3
(2)
0.010101・・・・=1/99を使います。
0.727272・・・・=72/99
約分して8/11
最後に、ちょっと考えないといけない問題をしてみましょう。
例題3:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.1333・・・・

(2)0.3242424・・・・

(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使いたいのに、ひとつ位がずれています。
だから、0.111・・・・=1/9が使えるようにします。
どうしたらよいか?
10倍したら、1.333・・・・となって、0.333・・・・=3/9が使えます。
1.333・・・・=1と3/9(まず帯分数にする)
1と3/9を約分して1と1/3
帯分数のままでは10でわってもとにもどせないので仮分数にして1と1/3=4/3
最後に、4/3を10でわって、もとの0.1333・・・・を求めます。
4/3÷10=4/30=2/15
以上のように、10倍して分数を求めて、その分数を10でわったら答えが求められます。
(2)
同じように10倍して、3.242424・・・・
0.010101・・・・=1/99より、
3.242424・・・・=3と24/99(帯分数)
約分して3と8/33
仮分数にして107/33
最後に10でわってもとの数を求める
答えは107/330
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例題1:
分数5/9を循環小数で表せ。
小学校で学んだように、分数5/9は5÷9を計算して小数で表すことができます。
5÷9=0.5555・・・・
約束事として、中学校では循環する数字の上に黒丸をつけて書き表します。

循環する数字が2けたのときは、2つの数字の上に黒丸をつけます。
(例)4/33=0.121212・・・・

循環する数字が3けた以上のときは、すべての数字の上に黒丸はつけないで、循環する部分の左端と右端だけに黒丸をつけます。
(例)31/27=1.148148・・・・

次に、この単元でもっとも重要な、循環小数の0.1111・・・・が分数の1/9であることを証明してみましょう。
0.1111・・・・=1/9
1が循環する小数、0.111・・・・を考えます。
計算したらわかりますが、1/9=1÷9=0.111・・・・です。
「計算したらわかる」では情けないので、もっとかっこよく説明してみましょう。
文字xを使うのがコツです。
0.111・・・・をxと仮定します。
x=0.111・・・・
循環部分が1けたのときは、xの10倍を考えます。
10倍すると、小数点が右へ1つ動くので、
10x=1.11・・・・
xと10xを上下にならべて書いて、上の式から下の式をひいてみます。
・・・・・/x=0.111・・・・
−)10x=1.111・・・・
小数点以下の111・・・・の部分は、上の式と下の式でまったく同じはずです。
ということは、小数点以下の111・・・・の部分は、上の式から下の式をひいたらすべて消えてくれます。
・・・・・/x=0.111・・・・
−)10x=1.111・・・・
−9x=−1
・・・x=1/9
以上より、0.111・・・・=1/9です。

同じようにして、0.010101・・・が1/99であることを証明してみましょう。
今度は、循環部分が2けただから、小数点以下に同一部分をつくるために100倍してみるのがコツです。
・・・・・・・x=0.010101・・・・
−)100x=1.010101・・・・
・・/−99x=−1
x=1/99

同様に、0.001001001・・・・=1/999です。

以上の、
0.1111・・・・=1/9
0.0101・・・・=1/99
0.001001・・・・=1/999
を使って、循環小数を分数で表すことができます。
循環小数を分数で表す
例題2:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.666・・・・

(2)0.727272・・・・

(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使えば簡単です。
0.666・・・・=0.111・・・×6だから、0.666・・・・=(1/9)×6=6/9
約分して2/3
(2)
0.010101・・・・=1/99を使います。
0.727272・・・・=72/99
約分して8/11
最後に、ちょっと考えないといけない問題をしてみましょう。
例題3:
次の循環小数を分数で表せ。
(1)0.1333・・・・

(2)0.3242424・・・・

(解答)
(1)
0.111・・・・=1/9を使いたいのに、ひとつ位がずれています。
だから、0.111・・・・=1/9が使えるようにします。
どうしたらよいか?
10倍したら、1.333・・・・となって、0.333・・・・=3/9が使えます。
1.333・・・・=1と3/9(まず帯分数にする)
1と3/9を約分して1と1/3
帯分数のままでは10でわってもとにもどせないので仮分数にして1と1/3=4/3
最後に、4/3を10でわって、もとの0.1333・・・・を求めます。
4/3÷10=4/30=2/15
以上のように、10倍して分数を求めて、その分数を10でわったら答えが求められます。
(2)
同じように10倍して、3.242424・・・・
0.010101・・・・=1/99より、
3.242424・・・・=3と24/99(帯分数)
約分して3と8/33
仮分数にして107/33
最後に10でわってもとの数を求める
答えは107/330
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