数学の約束事として、「分母に√（ルート）を残してはいけない」というきまりがあります。
分母にルートがあるときはルートのない形にしないといけないのです（分母を、無理数の√から有理数の整数にかえるので、『有理化』といいます）。
なぜ有理化をしないといけないのか？
わかりやすい説明は、次のようなものです。
「１／√２という分数があるとき、小数になおしたらおよそどれくらいの値になるのかを調べようと思ったとき、このままだと計算がややこしい。
√２＝１.４１４として、１÷√２＝１÷１.４１４の筆算はわずらわしい。
有理化して√２／２にしておくと、√２／２＝√２÷２＝１.４１４÷２＝０.７０７と簡単に求めることができる。」
なぜ有理化ができるのか
分母に根号がない形にするときは、自明の数学の原理２つをもちいます。
１つは、「√aに√aをかけるとaになる」（√a×√a=a、√aとは２乗するとaになる数という意味だから、２乗するとaになる）という平方根の性質を使います。
もう１つは、２／３＝（２×２）／（３×２）＝４／６であるように、「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」という性質を使います。
有理化の仕方
分母に根号がない形にする（有理化をする）ときは、（１）「√aに√aをかけるとaになる」と、（２）「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」の、２つを使います。
例題１：
１／√３を有理化せよ。
（１）分母の√３に√３をかけたら３になる、（２）分母と分子に同じ√３をかけても分数の大きさは変わらない、この２つを利用して、分母と分子に、分母の√３と同じ数の√３をかけます。
例題２：
３／√８を有理化せよ。
分母の√と同じ数を、分数の上と下にかけるのが有理化だと思って、すぐに分母と分子に√８をかけてはいけません。
間違いではありません（後で修正できるから）が、してはいけないことです。
数学の大事なルール、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に反するからです（分数を約分しないとペケになるのも、比を簡単な整数の比にしておかないとバツになるのも、すべてこの原則に違反するからです）。
先に、√８を２√２にしておきます。
その後、分母にも分子にも、分母にある√２と同じ数の√２をかけます。
例題３：
５√２７／３√８０を有理化せよ。
・・・・まず、√２７を３√３、√８０を４√５にしておく
・・・・分母の√５と同じ√５を分母にも分子にもかける
・・・・約分をする
わかりやすいように上のような解き方をしましたが、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に忠実に従うと、次のように解いたほうがよいかもしれません。
・・・・先に分母と分子の３を約分しておく
・・・・分母で４×５をする前に、分母の５と分子の５を約分する
中学校では習わない有理化（私立高校の入試では出題されることがある）
例題４：
１／（√５＋１）を有理化せよ。
この問題の場合、分母に√５があるからといって、分母と分子に√５をかけても分母からルートをなくせません。
分母の１に√５をかけたものが√５として残ってしまうからです。
では、どうするか？
ルートは、同じものを２乗したら、ルートでなくなるわけです。
かけ算をして、２乗だけが出てくるような式がないかを考えます。
習ったばかりの乗法公式、（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）＝ｘ＾２−ｙ＾２を思いうかべられたら大成功。
この公式を使えば、２乗だけの式をつくることができます。
（√５＋１）に、（√５−１）をかければ、（√５＋１）（√５−１）＝５−１＝４となって、ルートが消えてくれます。
つまり、この問題では、分母の（√５＋１）と真ん中の符号だけが違う（√５−１）を、分母と分子にかけます。
例題５：
４／（√５−√３）を有理化せよ。
例題４と同じ考え方で解きます。
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分母にルートがあるときはルートのない形にしないといけないのです（分母を、無理数の√から有理数の整数にかえるので、『有理化』といいます）。
なぜ有理化をしないといけないのか？
わかりやすい説明は、次のようなものです。
「１／√２という分数があるとき、小数になおしたらおよそどれくらいの値になるのかを調べようと思ったとき、このままだと計算がややこしい。
√２＝１.４１４として、１÷√２＝１÷１.４１４の筆算はわずらわしい。
有理化して√２／２にしておくと、√２／２＝√２÷２＝１.４１４÷２＝０.７０７と簡単に求めることができる。」
なぜ有理化ができるのか
分母に根号がない形にするときは、自明の数学の原理２つをもちいます。
１つは、「√aに√aをかけるとaになる」（√a×√a=a、√aとは２乗するとaになる数という意味だから、２乗するとaになる）という平方根の性質を使います。
もう１つは、２／３＝（２×２）／（３×２）＝４／６であるように、「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」という性質を使います。
有理化の仕方
分母に根号がない形にする（有理化をする）ときは、（１）「√aに√aをかけるとaになる」と、（２）「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」の、２つを使います。
例題１：
１／√３を有理化せよ。
（１）分母の√３に√３をかけたら３になる、（２）分母と分子に同じ√３をかけても分数の大きさは変わらない、この２つを利用して、分母と分子に、分母の√３と同じ数の√３をかけます。
例題２：
３／√８を有理化せよ。
分母の√と同じ数を、分数の上と下にかけるのが有理化だと思って、すぐに分母と分子に√８をかけてはいけません。
間違いではありません（後で修正できるから）が、してはいけないことです。
数学の大事なルール、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に反するからです（分数を約分しないとペケになるのも、比を簡単な整数の比にしておかないとバツになるのも、すべてこの原則に違反するからです）。
先に、√８を２√２にしておきます。
その後、分母にも分子にも、分母にある√２と同じ数の√２をかけます。
例題３：
５√２７／３√８０を有理化せよ。
・・・・まず、√２７を３√３、√８０を４√５にしておく
・・・・分母の√５と同じ√５を分母にも分子にもかける
・・・・約分をする
わかりやすいように上のような解き方をしましたが、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に忠実に従うと、次のように解いたほうがよいかもしれません。
・・・・先に分母と分子の３を約分しておく
・・・・分母で４×５をする前に、分母の５と分子の５を約分する
中学校では習わない有理化（私立高校の入試では出題されることがある）
例題４：
１／（√５＋１）を有理化せよ。
この問題の場合、分母に√５があるからといって、分母と分子に√５をかけても分母からルートをなくせません。
分母の１に√５をかけたものが√５として残ってしまうからです。
では、どうするか？
ルートは、同じものを２乗したら、ルートでなくなるわけです。
かけ算をして、２乗だけが出てくるような式がないかを考えます。
習ったばかりの乗法公式、（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）＝ｘ＾２−ｙ＾２を思いうかべられたら大成功。
この公式を使えば、２乗だけの式をつくることができます。
（√５＋１）に、（√５−１）をかければ、（√５＋１）（√５−１）＝５−１＝４となって、ルートが消えてくれます。
つまり、この問題では、分母の（√５＋１）と真ん中の符号だけが違う（√５−１）を、分母と分子にかけます。
例題５：
４／（√５−√３）を有理化せよ。
例題４と同じ考え方で解きます。
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2乗の乗法公式を使って展開するので、ルートが残ってしまいます。