2次方程式の解き方は2種類に分類できます。

1つは、平方根を見つけて解く方法。

もう1つは、かけて0になる2つの数のどちらかは0であることを利用する方法(因数分解を利用する解き方はこちらに入ります)。

ここでとりあげるのは、前者の、平方根を見つけて解く解き方のほうです。


2次方程式が解けるわけ


ある数の2乗がaであれば、その数自身はaの平方根の+√aか−√aです。

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この考え方を使って、すべての2次方程式を解くことができます。

例題1:
次の方程式を解け。
x^2−20=0

3
…ある数の2乗=aの形をつくりたいので20を右辺に移項する

…ある数の2乗が20だから、ある数は20の平方根の±√20

…√20を2√5にして、解は±2√5


例題2:
次の方程式を解け。
(x−10)^2−20=0


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…(ある数)の2乗=aの形をつくりたいので20を右辺に移項する

…(ある数)の2乗が20だから、(ある数)は20の平方根の±√20
…√20 を2√5にする
…10を右辺に移項して、解は10±2√5



この問題のように、左辺に(ある数)の2乗があれば、(ある数)の平方根を求めることで2次方程式を解くことができます。

上の2問は、あらかじめ(ある数)の2乗が左辺にあるので、わりと簡単に解くことができました。

さらに、自分で2乗を左辺につくることができたら、すべての2次方程式を平方根を求めることで解くことができます。

この解き方のことを、左辺に2乗(=平方)をつくって(=完成させて)解くので、『平方完成』といいます。

平方完成の仕方は、ちょっとだけコツがいるので苦手な人が多いようです。


平方完成のやり方


平方完成の目標は、左辺に2乗(平方)つくる(完成)ことです。

そして、2乗をつくるための公式は、

原理




だから、左辺にx^2+2ax+a^2をつくることができたら、(a+a)^2の形にすることができるということになります。

そして、目をつける場所は、x^2+2ax+a^2の2番目の項である、2axのところです。
2aの半分の、aを見つけ、そのaの2乗をうしろにつける、これで(x+a)^2の形にすることができます。



例題3:
次の方程式を解け。
x^2+6x=−8


左辺の2番目の項は6xです。
これが、2axにあたります。

2a の半分の、aを見つけ、そのaの2乗をうしろにつける

2aが6ですから、半分のaは3。
その2乗は9ですから、左辺に9をたしたら2乗をつくることができます。

くりかえすと、2番目の項、2axに目をつけて、2aの半分のaを見つける、次にそのaの2乗をたす、という順番です。

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このやり方で、すべての2次方程式を、平方完成の方法で解くことができます。

例題4:
次の方程式を解け。
x^2−6x−55=0


例題3との違いは、数字の項である−55が左辺にあることです。

左辺に2乗をつくるときに考慮するものは2番目の項の−6xです。
定数項の−55は、2乗をつくることには直接関係しません。
だから、考えるじゃまにならないように、最初に右辺に移しておきます。

この点だけが、例題3の解き方に加わります。

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教科書には、2番目の項2axの2aが偶数であるものしかのっていませんが、奇数であっても、やり方はまったく同じです。

例題5:
次の方程式を解け。
x^2−5x−2=0


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最後に、2乗の項に1以外の係数があるときでも、平方完成の方法で解くことができます。

例題6:
次の方程式を解け。
3x^2+2x−6=0


xの2乗の項に係数3があるので、これがじゃまです。
等式は、両辺を同じ数でわることができるので、最初に両辺を3でわって、じゃまな3を消しておくと、あとは、これまでと同じ方法で解くことができます。

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ここまで理解できたら、すべての2次方程式を平方完成の方法で解けるだけでなく、解の公式を自分で導くこともできます(こちらでチャレンジ)。


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