過不足算の基本問題
例題１：
クラス全員に鉛筆を配ります。１人に４本ずつ配ると４８本あまり、１人に７本ずつにすると３３本不足します。学級の人数と鉛筆の本数を求めなさい。
（解き方）
１人に４本ずつ配るのと７本ずつ配るのとでは、１人につき３本ちがいます。
鉛筆が４８本あまるのと３３本不足するのとでは、全体で４８＋３３＝８１本ちがいます。
１人で３本ちがって、その合計が８１本ですから、人数は８１÷３＝２７人です。
１つの式にまとめると、（４８＋３３）÷（７−４）＝２７人。
全部のちがいを１人分のちがいでわることで人数を求めることができます。
鉛筆の本数ですが、４本ずつ２７人に配ると４８本あまることから、４×２７＋４８＝１５６本。
または、７本ずつ２７人に配ると３３本不足することから、７×２７−３３＝１５６本。
この問題は、『ほとんどの文章題は１つの式、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で解ける』の代表的なものです。
この問題を少し難しくすると、次のような問題になります。
過不足算の応用問題
例題２：
修学旅行で１室に５人ずつ泊まると３人あまり、１室に６人ずつにすると、ちょうど２室あまります。生徒数は何人ですか。
（解き方１）
まず、例題１と同じように解いてみます。
１室のちがいは６−５＝１人です。
６人ずつだと２室余るということは、全室に泊まるには６人×２＝１２人不足するということです。
３人あまるのと、１２人不足するのとのちがいは、３＋１２＝１５人です。
全体で１５人ちがい、１室でのちがいは１人なので、室数は（３＋１２）÷（６−５）＝１５室。
生徒数は、５×１５＋３＝７８人、または６×（１５−２）＝７８人。
この解き方でよいのですが、もう少し『可視化（かしか）』（目に見えるかたち）してみましょう。
（解き方２）
赤色の線より左の部屋は、１室につき６−５＝１人ずつちがっていることが一目でわかります。
そして、人数のちがいが５×２＋３＝１３人であることも一目瞭然です。
（５×２＋３）÷（６−５）＝１３室（赤色の線より左側の部屋の数）。
部屋の数は１３＋２＝１５室。
生徒の人数は５×１５＋３＝７８人、または６×１３＝７８人。
（解き方１）、（解き方２）のどちらの解き方でもよいのですが、難しい問題ほど、目に見えるかたちにして、目で見ながら考え、正確に解くことが要求されます。
その意味では、（解き方２）のほうが『よい解き方』だと言えるかもしれません。
そして、この「目に見えるかたち」にして解くとき、目をつけるべき場所は、「個数が共通」で、「１つのちがいを比べられる」部分です。
図だと、赤色の線の左側の部分です。
この部分は、室数が共通で、中に泊まる人数だけが違っています。
この部分を見つけて、それを手がかりにしたら、問題がややこしくなっても解くことができます。
もう少し難しい問題を、『目に見えるかたち』にして解いてみましょう。
例題３：
長いテープを１０等分したら短くなりすぎたので、同じ長さのテープを８等分したら前より５ｃｍ長くなりました。このテープの長さを求めなさい。
（解き方）
１０等分と８等分で、個数が共通で「１つのちがい」を比べられる部分は、左の図の赤色の線より左側の部分です。
テープの個数は８本、１本で５ｃｍずつちがっているので、８本分のちがいは５×８＝４０ｃｍ。
この４０ｃｍが、１０等分したテープの２本分にあたるから、１０等分したテープの１本文は４０÷２＝２０ｃｍ。
テープの全長は、２０×１０＝２００ｃｍ。
８等分したときのテープの長さは２０＋５＝２５ｃｍだから、２５×８＝２００でも確かめられます。
例題４：
ある円のまわりに１０ｃｍおきに碁石を置くと４個あまります。そこで４ｃｍおきに碁石を置きなおそうとしたら８個不足します。この円の周の長さは何ｃｍですか。
１０ｃｍおきに碁石を置いたとき、碁石は４個あまっています。４ｃｍおきに置いたとき８個不足するので、置いた碁石のちがいは１２個です。
「１つ分のちがい」を比べられる円周上の長さのちがいは、４ｃｍ×１２個分の４８ｃｍだということです。
この４８ｃｍのちがいは、１つの間隔のちがいである１０−４＝６ｃｍから生じたので、４８÷６＝８個。
つまり、１０ｃｍおきにおいた碁石の個数は８個です。
だから、円の周は、１０×８＝８０ｃｍ。
以上４題の例題の考察からわかるように、過不足算・差集め算の応用問題を解くコツは、
（１）「目に見えるかたち」にして解く
（２）目をつけるべき場所は、「個数が共通」で、「１つのちがいを比べられる」部分である
だと思われます。
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例題１：
クラス全員に鉛筆を配ります。１人に４本ずつ配ると４８本あまり、１人に７本ずつにすると３３本不足します。学級の人数と鉛筆の本数を求めなさい。
（解き方）
１人に４本ずつ配るのと７本ずつ配るのとでは、１人につき３本ちがいます。
鉛筆が４８本あまるのと３３本不足するのとでは、全体で４８＋３３＝８１本ちがいます。
１人で３本ちがって、その合計が８１本ですから、人数は８１÷３＝２７人です。
１つの式にまとめると、（４８＋３３）÷（７−４）＝２７人。
全部のちがいを１人分のちがいでわることで人数を求めることができます。
鉛筆の本数ですが、４本ずつ２７人に配ると４８本あまることから、４×２７＋４８＝１５６本。
または、７本ずつ２７人に配ると３３本不足することから、７×２７−３３＝１５６本。
この問題は、『ほとんどの文章題は１つの式、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で解ける』の代表的なものです。
この問題を少し難しくすると、次のような問題になります。
過不足算の応用問題
例題２：
修学旅行で１室に５人ずつ泊まると３人あまり、１室に６人ずつにすると、ちょうど２室あまります。生徒数は何人ですか。
（解き方１）
まず、例題１と同じように解いてみます。
１室のちがいは６−５＝１人です。
６人ずつだと２室余るということは、全室に泊まるには６人×２＝１２人不足するということです。
３人あまるのと、１２人不足するのとのちがいは、３＋１２＝１５人です。
全体で１５人ちがい、１室でのちがいは１人なので、室数は（３＋１２）÷（６−５）＝１５室。
生徒数は、５×１５＋３＝７８人、または６×（１５−２）＝７８人。
この解き方でよいのですが、もう少し『可視化（かしか）』（目に見えるかたち）してみましょう。
（解き方２）
赤色の線より左の部屋は、１室につき６−５＝１人ずつちがっていることが一目でわかります。そして、人数のちがいが５×２＋３＝１３人であることも一目瞭然です。
（５×２＋３）÷（６−５）＝１３室（赤色の線より左側の部屋の数）。
部屋の数は１３＋２＝１５室。
生徒の人数は５×１５＋３＝７８人、または６×１３＝７８人。
（解き方１）、（解き方２）のどちらの解き方でもよいのですが、難しい問題ほど、目に見えるかたちにして、目で見ながら考え、正確に解くことが要求されます。
その意味では、（解き方２）のほうが『よい解き方』だと言えるかもしれません。
そして、この「目に見えるかたち」にして解くとき、目をつけるべき場所は、「個数が共通」で、「１つのちがいを比べられる」部分です。
図だと、赤色の線の左側の部分です。
この部分は、室数が共通で、中に泊まる人数だけが違っています。
この部分を見つけて、それを手がかりにしたら、問題がややこしくなっても解くことができます。
もう少し難しい問題を、『目に見えるかたち』にして解いてみましょう。
例題３：
長いテープを１０等分したら短くなりすぎたので、同じ長さのテープを８等分したら前より５ｃｍ長くなりました。このテープの長さを求めなさい。
（解き方）
１０等分と８等分で、個数が共通で「１つのちがい」を比べられる部分は、左の図の赤色の線より左側の部分です。テープの個数は８本、１本で５ｃｍずつちがっているので、８本分のちがいは５×８＝４０ｃｍ。
この４０ｃｍが、１０等分したテープの２本分にあたるから、１０等分したテープの１本文は４０÷２＝２０ｃｍ。
テープの全長は、２０×１０＝２００ｃｍ。
８等分したときのテープの長さは２０＋５＝２５ｃｍだから、２５×８＝２００でも確かめられます。
例題４：
ある円のまわりに１０ｃｍおきに碁石を置くと４個あまります。そこで４ｃｍおきに碁石を置きなおそうとしたら８個不足します。この円の周の長さは何ｃｍですか。
１０ｃｍおきに碁石を置いたとき、碁石は４個あまっています。４ｃｍおきに置いたとき８個不足するので、置いた碁石のちがいは１２個です。「１つ分のちがい」を比べられる円周上の長さのちがいは、４ｃｍ×１２個分の４８ｃｍだということです。
この４８ｃｍのちがいは、１つの間隔のちがいである１０−４＝６ｃｍから生じたので、４８÷６＝８個。
つまり、１０ｃｍおきにおいた碁石の個数は８個です。
だから、円の周は、１０×８＝８０ｃｍ。
以上４題の例題の考察からわかるように、過不足算・差集め算の応用問題を解くコツは、
（１）「目に見えるかたち」にして解く
（２）目をつけるべき場所は、「個数が共通」で、「１つのちがいを比べられる」部分である
だと思われます。
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