四角形以上の多角形で、頂点と頂点を結ぶ線分のうち、辺でないものを対角線といいます。
１つの頂点からひくことができる対角線の本数
六角形を例に、１つの頂点からひくことができる対角線の本数を考えてみましょう。
頂点Ａからひける対角線を考えます。
六角形の頂点の数は６個です。
Ａから自分自身であるＡに対角線はひけません。
Ａと左となりのＢ、Ａと右となりのＦを結ぶ線分は辺であり、対角線ではありません。
以上より、１つの頂点Ａからひける対角線の本数は、頂点の数６から、自分自身と右となりと左となりの頂点の数３をひいた、６−３＝３本だということになります。
この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。
頂点がｎ個であるｎ角形を考えると、やはり、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、ｎから自分自身と右となりと左となりの３個をひいた（ｎ−３）本です。
左図で、番号１の頂点からひける対角線の数は、１から１、１から２、１からｎにひけないので、（ｎ−３）本です。
まとめますと、頂点の数がｎ個であるｎ角形の、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、（ｎ−３）本です。
ｎ角形の対角線の本数
まず、六角形を例に、対角線全部の本数を考えてみます。
頂点Ａからひくことができる対角線の本数は３本です。
頂点Ｂからひくことができる対角線の本数も３本です。
頂点Ｃからひくことができる対角線の本数も３本ですが、線分ＡＣは、すでに頂点Ａからひいた対角線として数えたものです。
さらに、頂点Ｄからひける３本のうち、ＤＢ、ＤＡは頂点Ａ、頂点Ｂで先に数えたものです。
最後に、頂点Ｅと頂点Ｆからも３本ひけますが、その３本とも数えるのは２度目となります。
以上の経過をまとめると、
（１）６角形の場合、１つの頂点からひくことができる対角線の数は６−３＝３本である。
（２）１つの頂点から３本ずつで六角形の頂点の数は６あるので、対角線を計３×６＝１８本ひくことができる。
（３）しかし、その１８本はすべて２回ずつ数えたことになる。だから、２でわって、１８÷２＝９本が六角形の対角線の本数である。
この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。
頂点がｎ個であるｎ角形を考えると、
（１）ｎ角形の場合、１つの頂点からひくことができる対角線の数は（ｎ−３）本である。
（２）１つの頂点から（ｎ−３）本ずつでｎ角形の頂点の数はｎ個あるので、対角線を計（ｎ−３）×ｎ本ひくことができる。
（３）しかし、その（ｎ−３）×ｎ本はすべて２回ずつ数えたことになる。だから、２でわって、（ｎ−３）×ｎ÷２本が六角形の対角線の本数である。
ｎ角形の対角線の数を求める式
（別解）「場合の数」の考え方を使って求める
やはり最初に六角形で考えてみましょう。
六角形で、２つの頂点を結ぶ線分の個数は、６個から２個を選ぶ「場合の数」となります。
(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)
(B,C)(B,D)(B,E)(B,D)
(C,D)(C,E)(C,F)
(D,E)(D,F)
(E,F)
の、１５通りです。
対角線の数は、上の「場合の数」から、辺である６本、(A,B)(B,C)(C,D)(D,E)(E,F)(A,F)をひいたものです。
よって、１５−６＝９本ということになります。
組合せの公式で表すと、６個の頂点から２個を取り出す組合せの数は、
（６×５）÷（２×１）・・・組合せを求める公式についてはこちらを参照
対角線の数は、この式から、辺の個数の６をひくので、
（６×５）÷（２×１）−６
次に、以上の考え方を参考に、ｎ角形で考えてみましょう。
ｎ個の頂点から２個を取り出すときの「場合の数」は、
ｎ×（ｎ−１）÷（２×１）
対角線の個数は、これから辺の個数ｎをひけばよいから、
ｎ×（ｎ−１）÷（２×１）−ｎ
対角線の数を求める２つの公式の関係
「場合の数」を求める方法でつくった式を変形すると、
となって、対角線の数を求める公式の２つが同じものであることがわかります。
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１つの頂点からひくことができる対角線の本数
六角形を例に、１つの頂点からひくことができる対角線の本数を考えてみましょう。
頂点Ａからひける対角線を考えます。六角形の頂点の数は６個です。
Ａから自分自身であるＡに対角線はひけません。
Ａと左となりのＢ、Ａと右となりのＦを結ぶ線分は辺であり、対角線ではありません。
以上より、１つの頂点Ａからひける対角線の本数は、頂点の数６から、自分自身と右となりと左となりの頂点の数３をひいた、６−３＝３本だということになります。
この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。
頂点がｎ個であるｎ角形を考えると、やはり、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、ｎから自分自身と右となりと左となりの３個をひいた（ｎ−３）本です。
左図で、番号１の頂点からひける対角線の数は、１から１、１から２、１からｎにひけないので、（ｎ−３）本です。
まとめますと、頂点の数がｎ個であるｎ角形の、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、（ｎ−３）本です。
ｎ角形の対角線の本数
まず、六角形を例に、対角線全部の本数を考えてみます。
頂点Ａからひくことができる対角線の本数は３本です。頂点Ｂからひくことができる対角線の本数も３本です。
頂点Ｃからひくことができる対角線の本数も３本ですが、線分ＡＣは、すでに頂点Ａからひいた対角線として数えたものです。
さらに、頂点Ｄからひける３本のうち、ＤＢ、ＤＡは頂点Ａ、頂点Ｂで先に数えたものです。
最後に、頂点Ｅと頂点Ｆからも３本ひけますが、その３本とも数えるのは２度目となります。
以上の経過をまとめると、
（１）６角形の場合、１つの頂点からひくことができる対角線の数は６−３＝３本である。
（２）１つの頂点から３本ずつで六角形の頂点の数は６あるので、対角線を計３×６＝１８本ひくことができる。
（３）しかし、その１８本はすべて２回ずつ数えたことになる。だから、２でわって、１８÷２＝９本が六角形の対角線の本数である。
この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。
頂点がｎ個であるｎ角形を考えると、
（１）ｎ角形の場合、１つの頂点からひくことができる対角線の数は（ｎ−３）本である。
（２）１つの頂点から（ｎ−３）本ずつでｎ角形の頂点の数はｎ個あるので、対角線を計（ｎ−３）×ｎ本ひくことができる。
（３）しかし、その（ｎ−３）×ｎ本はすべて２回ずつ数えたことになる。だから、２でわって、（ｎ−３）×ｎ÷２本が六角形の対角線の本数である。
ｎ角形の対角線の数を求める式
（別解）「場合の数」の考え方を使って求める
やはり最初に六角形で考えてみましょう。
六角形で、２つの頂点を結ぶ線分の個数は、６個から２個を選ぶ「場合の数」となります。
(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,D)
(C,D)(C,E)(C,F)
(D,E)(D,F)
(E,F)
の、１５通りです。
対角線の数は、上の「場合の数」から、辺である６本、(A,B)(B,C)(C,D)(D,E)(E,F)(A,F)をひいたものです。
よって、１５−６＝９本ということになります。
組合せの公式で表すと、６個の頂点から２個を取り出す組合せの数は、
（６×５）÷（２×１）・・・組合せを求める公式についてはこちらを参照
対角線の数は、この式から、辺の個数の６をひくので、
（６×５）÷（２×１）−６
次に、以上の考え方を参考に、ｎ角形で考えてみましょう。
ｎ個の頂点から２個を取り出すときの「場合の数」は、
ｎ×（ｎ−１）÷（２×１）
対角線の個数は、これから辺の個数ｎをひけばよいから、
ｎ×（ｎ−１）÷（２×１）−ｎ
対角線の数を求める２つの公式の関係
「場合の数」を求める方法でつくった式を変形すると、
となって、対角線の数を求める公式の２つが同じものであることがわかります。
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