四角形以上の多角形で、頂点と頂点を結ぶ線分のうち、辺でないものを対角線といいます。

対角線









1つの頂点からひくことができる対角線の本数

六角形を例に、1つの頂点からひくことができる対角線の本数を考えてみましょう。
六角形頂点Aからひける対角線を考えます。

六角形の頂点の数は6個です。

Aから自分自身であるAに対角線はひけません。
Aと左となりのB、Aと右となりのFを結ぶ線分は辺であり、対角線ではありません。

以上より、1つの頂点Aからひける対角線の本数は、頂点の数6から、自分自身右となり左となりの頂点の数をひいた、6−3=3本だということになります。

この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。

頂点がn個であるn角形を考えると、やはり、1つの頂点からひくことができる対角線の数は、nから自分自身右となり左となり個をひいた(n−3)本です。
n角形
左図で、番号1の頂点からひける対角線の数は、1から1、1から2、1からnにひけないので、(n−3)本です。

まとめますと、頂点の数がn個であるn角形の、1つの頂点からひくことができる対角線の数は、(n−3)本です。



n角形の対角線の本数


まず、六角形を例に、対角線全部の本数を考えてみます。

六角形2頂点Aからひくことができる対角線の本数は3本です。

頂点Bからひくことができる対角線の本数も3本です。







頂点Cからひくことができる対角線の本数も3本ですが、線分ACは、すでに頂点Aからひいた対角線として数えたものです。
六角形3











さらに、頂点Dからひける3本のうち、DB、DAは頂点A、頂点Bで先に数えたものです。
最後に、頂点Eと頂点Fからも3本ひけますが、その3本とも数えるのは2度目となります。
六角形4











以上の経過をまとめると、

(1)6角形の場合、1つの頂点からひくことができる対角線の数は6−3=3本である。

(2)1つの頂点から3本ずつで六角形の頂点の数は6あるので、対角線を計3×6=18本ひくことができる。

(3)しかし、その18本はすべて2回ずつ数えたことになる。だから、2でわって、18÷2=9本が六角形の対角線の本数である。


この理屈は頂点が何個の多角形であろうと成り立ちます。

頂点がn個であるn角形を考えると、

(1)n角形の場合、1つの頂点からひくことができる対角線の数は(n−3)本である。

(2)1つの頂点から(n−3)本ずつでn角形の頂点の数はn個あるので、対角線を計(n−3)×n本ひくことができる。

(3)しかし、その(n−3)×n本はすべて2回ずつ数えたことになる。だから、2でわって、(n−3)×n÷2本が六角形の対角線の本数である。


n角形の対角線の数を求める式

対角線の数




(別解)「場合の数」の考え方を使って求める

やはり最初に六角形で考えてみましょう。

六角形で、2つの頂点を結ぶ線分の個数は、6個から2個を選ぶ「場合の数」となります。

六角形0(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)
(B,C)(B,D)(B,E)(B,D)
(C,D)(C,E)(C,F)
(D,E)(D,F)
(E,F)
の、15通りです。

対角線の数は、上の「場合の数」から、辺である6本、(A,B)(B,C)(C,D)(D,E)(E,F)(A,F)をひいたものです。

よって、15−6=9本ということになります。


組合せの公式で表すと、6個の頂点から2個を取り出す組合せの数は、
(6×5)÷(2×1)・・・組合せを求める公式についてはこちらを参照

対角線の数は、この式から、辺の個数の6をひくので、
(6×5)÷(2×1)−6


次に、以上の考え方を参考に、n角形で考えてみましょう。

n個の頂点から2個を取り出すときの「場合の数」は、
n×(n−1)÷(2×1)

対角線の個数は、これから辺の個数nをひけばよいから、
n×(n−1)÷(2×1)−n

対角線の数2



対角線の数を求める2つの公式の関係

「場合の数」を求める方法でつくった式を変形すると、

対角線の数3















となって、対角線の数を求める公式の2つが同じものであることがわかります。



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